Progresión aritmética: suma de los primeros n términos | Clase 10 Matemáticas

En álgebra, un término es un solo número o variable o números y variables multiplicados entre sí. Los términos están separados por signos + o -, oa veces por la línea divisoria. 
Ejemplos: En la expresión 5x – 10 = 1, 5x, 10 y 1 son los términos.

¿Qué es una progresión aritmética? 

Una progresión aritmética (AP) o serie aritmética es una secuencia de números tal que la diferencia entre dos números (o términos) consecutivos es un valor constante. 
Ejemplos:

Sequence 1 :  1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
Above sequence forms an AP since the difference between any two 
consecutive terms is same, which is equal to 1. See below:-
2 - 1 = 1   (2nd - 1st)
3 - 2 = 1   (3rd - 2nd)
... 
6 - 5 = 1   (6th - 5th)

Sequence 2 : -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...
Similarly above sequence also forms an AP:-
(-2) - (-4) = 2  (2nd - 1st)
(0) - (-2)  = 2  (3rd - 2nd)
...
6 - 4 = 2  (6th - 5th)

Sequence 3 : 1, 3, 5, 9, 4, 10, ...
Above sequence doesn't form an AP as difference between any two 
consecutive terms is not same:-
3 - 1 = 2
5 - 3 = 2
9 - 5 = 4
4 - 9 = -5
10 - 4 = 6

Encontrar la fórmula para la progresión aritmética

De los ejemplos dados arriba, ¿puedes identificar el patrón? ¿Cómo podemos encontrar el término n para cualquier n proporcionada?
Tratemos de averiguar el patrón. Mira de nuevo la secuencia 2 :-

Sequence 2: -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...
We see difference as (-2) - (-4) = 2 = ...= 6 - 4 = 2. So difference (say) d = 2.
1st term (say) a = -4

Podemos escribir todos los términos como:

1º: -4 + (0) × 2

2º: -4 + (1) × 2

3º: -4 + (2) × 2

4º: -4 + (3) × 2

….

….

enésimo: -4 + (n – 1) × 2

Entonces vemos que si a es el primer término y d es la diferencia, entonces cualquier enésimo término, digamos T _n , se puede calcular como:

Ahora calculemos los términos 100, entonces para n = 100, tenemos:

Tn = a + (n - 1) × d
T100 = (-4) + (100 - 1) × 2
T100 = (-4) + (99) × 2
T100 = 194

Entonces un AP es de la forma:

Aplicando AP a la Divisibilidad

La progresión aritmética ayuda a facilitar los cálculos matemáticos. Considere la siguiente pregunta:

Pregunta: ¿Cuántos números son divisibles por 3 en el rango de 20 a 100?
 

Solución: Podemos usar nuestro concepto de AP aquí para resolver el problema de la siguiente manera:

Paso 1: Calcula el primer número divisible por 3 en el rango dado:

20 = 3 × 6 + 2
a = 20 + (3 - remainder)
a = 20 + (3 - 2) 
a = 21

Paso 2: Calcule el último número (nth) en el rango dado: –

100 = 3 × 33 + 1
Tn = 100 - remainder
Tn = 100 - 1
Tn = 99

Así que ahora tenemos un AP cuyo primer término es a y el último término es T _n como sigue:
21, 24, 27, …, 99

Ahora necesitamos encontrar el número de términos en el AP anterior, por lo que usamos nuestra fórmula para el término n para un AP:

Tn = a + (n - 1) × d
a = 21, Tn = 99, d = 3

99 = 21 + (n - 1) 3
n = 27

Por lo tanto, hay 27 números entre 20 y 100 que son divisibles por 3.

Resolución de problemas verbales de secuencias usando AP: patrón de crecimiento

Este tipo de problemas consisten en encontrar una regla (fórmula AP) para la secuencia dada en el problema. Estos son bastante fáciles.
Considere el siguiente problema:

Problem: What equation describe the growth pattern of following sequence of numbers:
     1, 5, 9, 13, ....
     Also calculate 41th term?

Solución: Veamos si la secuencia sigue un AP si lo hay e intentemos encontrar el primer término y la diferencia:

5 - 1 = 4
9 - 5 = 4
13 - 9 = 4

Entonces, la diferencia entre dos términos consecutivos es la misma (igual a 4), por lo que forma un AP:

Tn = 1 + (n - 1) × 4

Entonces, el patrón de crecimiento es 1 + (n – 1) × 4 y el término 41 es: 

T41 = 1 + (41 - 1) × 4
T41 = 161

¿Cómo calcular la suma de los primeros n términos?

Dado n y un AP, ¿cómo calculamos la suma de los primeros n términos? Derivemos la fórmula para ello:
Sea S _n la suma de los primeros n términos, podemos escribir S _n de dos maneras:

Verá que ambos son iguales pero escritos en direcciones opuestas, es decir, en el primero los elementos son del primer término al último término, y en el segundo los elementos son del último al primero. 
Ahora agregue los dos anteriores: –
 

Computación Suma de los primeros n números naturales

Problema: Calcular la suma de los números naturales del 1 al 100. 
 

Según las anécdotas, cuando Gauss estaba en la escuela primaria, fue castigado por su maestro por mala conducta.  Se le dijo a Gauss que sumara los números del 1 al 100 (el maestro lo dio considerando que era un trabajo tedioso). Pero pudo calcular su suma, que es 5050, en cuestión de segundos. ¿Cómo lo hizo?
Hizo algo como: 1 + 2 + 3 + . . . . + 49 + 50 + (100 – 49) + . . . . + (100 – 2) + (100 – 1) + 100
Lo que cancela a 49 * 100 + 100 + 50 = 50 * 100 + 50 = 50 (100 + 1). Gauss fue genial, pero no lo somos menos, ya que tenemos nuestra fórmula, la usaremos.

Solución: Vemos que los números naturales (1, 2, 3, …) forman un AP y, por lo tanto, podemos calcular la suma de los primeros n términos de la siguiente manera:
Primer término, a = 1
Diferencia, d = 1
Entonces, 

Sn = (n/2) × [2a + (n - 1) × d]
Sn = (n/2) × [2 × 1 + (n - 1) × 1]
Sn = (n/2) × (n + 1) 

Para n = 100, tenemos:

S100 = (100/2) × (100 + 1)
S100 = 5050

¡Ahora ya eres bueno en progresiones aritméticas!