Clase 12 Soluciones NCERT – Matemáticas Parte I – Capítulo 1 Relaciones y funciones – Ejercicio 1.3

Pregunta 1. Sean f : {1, 3, 4} -> {1, 2, 5} y g : {1, 2, 5} -> {1, 3} dadas por f = {(1, 2) , (3, 5), (4, 1) y g = {(1, 3), (2, 5), (5, 1)}. Anota gof.

Solución:

f= {(1, 2), (3, 5), (4, 1)}

g= {(1, 3), (2, 3), (5, 1)}

f(1)= 2, g(2) = 3 => gof(1) = 3

f(3) = 5, g(5) = 1 => gof(3) = 1

f(4) =1, g(1) = 3 => gof(4) = 3

=> golf = {(1,3), (3,1), (4,3)}

Pregunta 2. Sean f, g y h funciones de R a R. Demostrar que (f+g) oh = foh + goh, (f * g) oh = (foh) * (goh).

Solución:

f: R-> R, g: R-> R, h: R-> R

(f+g) oh(x) = (f+g) oh(x)

= (f+g) [h(x)]

= f[h(x)] + g[h(x)]

= foh(x) + goh(x)

(f+g) oh = foh + goh

(f * g) oh (x) = (f * g) oh (x)

= (f * g) [h(x)]

= f[h(x)] * g[h(x)]

= foh(x) * goh (x)

(f * g) oh = (foh) * (goh)

Pregunta 3. Encuentra gof y niebla, si

(i) f(x) = |x| yg(x) = |5x – 2|

(ii) f(x) = 8x ³ y g(x) = x ^1/3

Solución:

(yo) Tenemos,

f(x) = |x| yg(x) = | 5x – 2 |

gof(x) = g(f(x)) = g(|x|)

=> gof(x) = | 5 |x|-2 |

niebla(x) = f(g(x)) = f(|5x-2|)

=> niebla(x) = || 5x-2|| = | 5x -2 |

(ii) Tenemos,

f(x) = 8x ³ y g(x) = x ^1/3

gof(x) = g(f(x)) = g(8x ³ )

=> gof(x) = (8x ³ ) ^1/3 = 2x

niebla(x) = f(g(x)) = f(x ^1/3 )

=> niebla(x) = 8(x ^1/3 ) ³ = 8x

Pregunta 4. Si f(x) = $\frac{4x+3}{6x-4}x \neq \frac{2}{3}$ , demuestre que fof(x) = x para todo $x \neq \frac{2}{3}$ . ¿Cuál es el inverso de f?

Solución:

Dado que,

$f (x) = \frac{4x+3}{6x-4}x \neq \frac{2}{3}$

Ahora,

fof(x) = f(f(x)) = $f(\frac{4x+3}{6x-4})$

= $f(\frac{4(\frac{4x+3}{6x-4})+3}{6(\frac{4x+3}{6x-4})-4})$

Al simplificar tomando MCM = (6x-4)

fo(x) = $\frac{16x + 12 + 18x - 12}{24x + 18 -24x + 16}$

=> fof (x) = $\frac{34x}{34}$ = x

=> fof(x) = I _A (x) para todos $x \neq \frac{2}{3}$

=> fof(x) = I _A tal que A = R – ${\frac{2}{3}}$ que es el dominio de f

=> f ^-1 = f

Por lo tanto, probado.

Pregunta 5. Indique con razón si las siguientes funciones tienen inversa. Encuentre la inversa, si existe.

(yo) f : {1, 2, 3, 4} -> {10}

con f = {(1, 10), (2, 10), (3,10), (4,10)}

(ii) g: {5, 6, 7, 8} -> {1, 2, 3, 4}

con g = {(5, 4), (6, 3), (7, 4), (8, 2)}

(iii) h : {2, 3, 4, 5} -> {7, 9, 11, 13}

con h : {(2, 7), (3, 9), (4, 11), (5, 13)}

Solución:

(i) Tenemos f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 10 lo que significa que f es muchos-uno

y no uno-uno, por lo que la inversa de f no existe.

(ii) Aquí g(5) = g(7) =4, es decir, g es muchos-uno, por lo que el inverso de g no existe.

(iii) Dado que el rango de h = {7, 9, 11, 13} = codominio, por lo tanto, h es sobre,

Además, cada elemento de dominio tiene una imagen única en h, por lo tanto h es uno-uno.

Ahora, dado que h es tanto uno como sobre uno, entonces existe el inverso de h.

h ^-1 = {(7, 2), (9, 3), (11, 4), (13, 5)}

Pregunta 6. Demostrar que f : [-1, 1] -> R, dado por f(x) = $\frac{x}{x+2}$ es uno-uno. Encuentra el inverso de la función f : {-1,1} -> Rango f.

Solución:

Sean x, y [-1, 1] $\in$

f(x) = $\frac{x}{x+2}$

f(y) = $\frac{y}{y+2}$

Ahora,

Sea f(x) = f(y)

$\frac{x}{x+2} = \frac{y}{y+2}$

=> x(x+2) = y(x+2)

=> xy + 2x = xy + 2y

=> 2x = 2y

=> x = y

=> f es uno-uno

También,

X = [-1, 1] y,

Y = { $y \in R : y = \frac{x}{x+2} , x \in X$ } = rango de f.

=> f está sobre

Como f es uno y sobre, entonces existe el inverso de f.

Sea y = f(x) => x =f ^-1 (y)

=> y = $\frac{x}{x+2}$

=> xy + 2y = x

=> 2y = x(1 – y)

=> x = $\frac{2y}{1 - y}, y \ne 1$

Por tanto, f : Y-> X está definida por f(y) = $\frac{2y}{1-y}, y \ne 1$ .

Pregunta 7. Considere f : R -> R viene dado por f(x) = 4x + 3 . Demuestre que f es invertible. Encuentra el inverso de f.

Solución:

Se da que,

f(x) = 4x + 3 donde f : R -> R

Dejar,

f(x) = f(y)

=> 4x + 3 = 4y + 3

=> 4x = 4y

=> x = y

=> f es una función uno a uno

También,

Sea y = 4x + 3 donde y $\in$ R

=> x = $\frac{y-3}{4}$ $\in R$

Ya que para cualquier $y \in R$ . existe $x = \frac{y-3}{4} \in R$ tal que

f(x) = $f(\frac{y-3}{4})$ = 4 $(\frac{y-3}{4})$ +3 = y

=> f está sobre

Dado que f es tanto uno como sobre uno, entonces existe f ^-1

=> f ^-1 (y) = $\frac{y-3}{4}$

Pregunta 8. Considere f : R ₊ -> [4, $\infty$ ) dada por f(x) = x ² + 4. Demuestre que f es invertible con la inversa f ^-1 de f dada por f ^-1 (y) = $\sqrt{ y -4}$ , donde R ₊ es el conjunto de todos los números reales no negativos.

Solución:

Sea f(x) = f(y)

=> x + 4 = y + 4

=> ^x2 = ^y2

=> x = y [ x,y $\in$ R ₊ ]

=> f es uno-uno

Sea y = x ² + 4 donde y $\in [4, \infty )$

=> x ² = y – 4 $\geq$ 4 [ y $\geq 4 ]$

=> x = $\sqrt{y -4}$

Por lo tanto, para cualquier y $\in R$ , existe x = $\sqrt{y-4}$ $\in R$

=> f está sobre

Como f es tanto uno como sobre uno, f ^-1 existe para todo $y \geq 4$ ,

=> f ^-1 (y) = $\sqrt{y-4}$

Pregunta 9. Considere R ₊ -> [ -5, $\infty$ ) dada por f (x) = 9x ² + 6x -5. Demostrar que f es invertible con f ^-1 (y) = $(\frac{(\sqrt{(y+6)}-1}{3})$

Solución:

Sea f(x) = f(y)

=> 9x ² + 6x -5 = 9y ² + 6y – 5

=> 9x ² + 6x = 9y ² + 6y

=> 9(x ² – y ² ) + 6 (x – y) = 0

=> (x – y) [9 (x + y) + 6] = 0

=> x – y =0

=> x = y

=> f es uno-uno

Ahora, sea y = 9x ² + 6x – 5

=> 9x ² + 6x – 5 (x + y) = 0

=> x = $\frac{-6 \pm \sqrt{6*6 + 4*9(5+y)} }{18} = \frac{\sqrt{(y+6)}-1}{3}$

=> f(x) = $f(\frac{\sqrt{(y+6)}-1}{3}) = 9 (\frac{\sqrt{(y+6)}-1}{3})^{2}+(\frac{\sqrt{(y+6)}-1}{3}) -5$

Al simplificar, tenemos f (x) = y

=> f está sobre

Dado que f es tanto uno como sobre uno. f ^-1 existe

f ^-1 (y) = $\frac{\sqrt{(y+6)}-1}{3}$

Pregunta 10. Sea f : X -> Y una función invertible. Demostrar que f tiene inversa única.

Solución:

Tenemos,

f : X -> Y es una función invertible

Sean g y h dos inversos distintos de f.

Entonces, para todo y $\in$ Y,

niebla (y) = yo (y) = foh (y)

=> fg (y)) = f(h (y))

=> g(y) = h(y) [f es uno-uno]

=> g = h [g es uno-uno]

lo que contradice nuestra suposición.

Por lo tanto, f tiene un único inverso.

Pregunta 11. Considere f : {1, 2, 3} -> {a, b, c} dada por f (1) = a, f (2) = b, f (3) = c. Encuentre f y demuestre que (f ^-1 )f ^-1 = f.

Solución:

Dado que,

f(1) = una, f(2) = segundo, f(3) = c

Tenemos,

f = {(1, a), (2, b), (c, 3)}

lo que muestra que f es tanto uno como sobre uno y, por lo tanto, f es invertible.

Por lo tanto,

f ^-1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)}

También,

(f ^-1 ) ^-1 = {(1, a), (2, b), (3, c)}

=> (f ^-1 ) ^-1 = f

Por lo tanto probado.

Pregunta 12. Sea f: X -> Y una función invertible. Muestre que el inverso de f ^-1 es f, es decir, (f ^-1 ) ^-1 = f.

Solución:

Como f es una función invertible,

=> f es a la vez uno-uno y sobre

También,

Sea g : Y -> X , donde g es una función uno y sobre tal que

gof (x) = yo _x y niebla (y) = yo _y => g = f ^-1

=> f ^-1 o (f ^-1 ) ^-1 = yo

=> fo [f ^-1 o (f ^-1 ) ^-1 ] = fo I

=> (fo ^-1 ) o (f ^-1 ) ^-1 = f

=> Yo o (f ^-1 ) ^-1 = f

Por lo tanto, (f ^-1 ) ^-1 = f

Pregunta 13. Si f : R -> R dada por f (x) = (3 – x ³ ) ^1/3 , entonces fof (x) es:

(A) x ^1/3 (B) x ³ (C) x. (D) (3 – x ³ )

Solución:

Respuesta: (C)

Tenemos,

f(x) = (3 – x ³ ) ^1/3 donde f : R -> R

Ahora,

fof(x) = f(f(x))

=> fof(x) = f((3 – x ³ ) ^1/3 )

=> fo(x) = [3 – ((3 – x ³ ) ^1/3 ) ³ ] ^1/3

=> fo(x) = [3 – (3 – x ³ )] ^1/3

=> fo(x) = (x ³ ) ^1/3

=> fo(x) = x

Por lo tanto, la opción C es correcta.

Pregunta 14. Sea f : R -{ $-\frac{4}{3}$ } -> R una función definida como f(x) = $\frac{4x}{3x+4}$ . El inverso de f es el mapa g : Rango f -> R – { $-\frac{4}{3}$ } dado por

(A) g(y) = $\frac{3y}{3-4y}$ (B) g(y) = $\frac{4y}{4-3y}$

(C) g(y) = $\frac{4y}{3-4y}$ (D) g(y) = $\frac{3y}{4-3y}$

Solución:

Respuesta: (B)

Sea y = f(x)

=> y = $\frac{4x}{3x+4}$

=> 3xy + 4y = 4x

=> x( 4 – 3y) = 4y

=> x = $\frac{4y}{4-3y}$

f ^-1 (y) = g (y) = $\frac{4y}{4-3y}$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por sarthaksaxena9 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1. Sean f : {1, 3, 4} -> {1, 2, 5} y g : {1, 2, 5} -> {1, 3} dadas por f = {(1, 2) , (3, 5), (4, 1) y g = {(1, 3), (2, 5), (5, 1)}. Anota gof.

Pregunta 2. Sean f, g y h funciones de R a R. Demostrar que (f+g) oh = foh + goh, (f * g) oh = (foh) * (goh).

Pregunta 3. Encuentra gof y niebla, si

(i) f(x) = |x| yg(x) = |5x – 2|

(ii) f(x) = 8x 3 y g(x) = x 1/3

Pregunta 4. Si f(x) = , demuestre que fof(x) = x para todo . ¿Cuál es el inverso de f?

Pregunta 5. Indique con razón si las siguientes funciones tienen inversa. Encuentre la inversa, si existe.

Pregunta 6. Demostrar que f : [-1, 1] -> R, dado por f(x) = es uno-uno. Encuentra el inverso de la función f : {-1,1} -> Rango f.

Pregunta 7. Considere f : R -> R viene dado por f(x) = 4x + 3 . Demuestre que f es invertible. Encuentra el inverso de f.

Pregunta 8. Considere f : R + -> [4, ) dada por f(x) = x 2 + 4. Demuestre que f es invertible con la inversa f -1 de f dada por f -1 (y) = , donde R + es el conjunto de todos los números reales no negativos.

Pregunta 9. Considere R + -> [ -5, ) dada por f (x) = 9x 2 + 6x -5. Demostrar que f es invertible con f -1 (y) =

Pregunta 10. Sea f : X -> Y una función invertible. Demostrar que f tiene inversa única.

Pregunta 11. Considere f : {1, 2, 3} -> {a, b, c} dada por f (1) = a, f (2) = b, f (3) = c. Encuentre f y demuestre que (f -1 )f -1 = f.

Pregunta 12. Sea f: X -> Y una función invertible. Muestre que el inverso de f -1 es f, es decir, (f -1 ) -1 = f.

Pregunta 13. Si f : R -> R dada por f (x) = (3 – x 3 ) 1/3 , entonces fof (x) es:

(A) x 1/3 (B) x 3 (C) x. (D) (3 – x 3 )

Pregunta 14. Sea f : R -{ } -> R una función definida como f(x) = . El inverso de f es el mapa g : Rango f -> R – { } dado por

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(ii) f(x) = 8x ³ y g(x) = x ^1/3

Pregunta 4. Si f(x) = $\frac{4x+3}{6x-4}x \neq \frac{2}{3}$ , demuestre que fof(x) = x para todo $x \neq \frac{2}{3}$ . ¿Cuál es el inverso de f?

Pregunta 6. Demostrar que f : [-1, 1] -> R, dado por f(x) = $\frac{x}{x+2}$ es uno-uno. Encuentra el inverso de la función f : {-1,1} -> Rango f.

Pregunta 8. Considere f : R ₊ -> [4, $\infty$ ) dada por f(x) = x ² + 4. Demuestre que f es invertible con la inversa f ^-1 de f dada por f ^-1 (y) = $\sqrt{ y -4}$ , donde R ₊ es el conjunto de todos los números reales no negativos.

Pregunta 9. Considere R ₊ -> [ -5, $\infty$ ) dada por f (x) = 9x ² + 6x -5. Demostrar que f es invertible con f ^-1 (y) = $(\frac{(\sqrt{(y+6)}-1}{3})$

Pregunta 11. Considere f : {1, 2, 3} -> {a, b, c} dada por f (1) = a, f (2) = b, f (3) = c. Encuentre f y demuestre que (f ^-1 )f ^-1 = f.

Pregunta 12. Sea f: X -> Y una función invertible. Muestre que el inverso de f ^-1 es f, es decir, (f ^-1 ) ^-1 = f.

Pregunta 13. Si f : R -> R dada por f (x) = (3 – x ³ ) ^1/3 , entonces fof (x) es:

(A) x ^1/3 (B) x ³ (C) x. (D) (3 – x ³ )

Pregunta 14. Sea f : R -{ $-\frac{4}{3}$ } -> R una función definida como f(x) = $\frac{4x}{3x+4}$ . El inverso de f es el mapa g : Rango f -> R – { $-\frac{4}{3}$ } dado por