Formas de Ecuaciones Lineales de Dos Variables – Líneas Rectas | Clase 11 Matemáticas

• Forma de pendiente de punto
• Forma de dos puntos
• Forma Pendiente – Intersección
• Formulario de intercepción
• forma normal

Punto – Forma de pendiente

La ecuación de la recta que pasa por el punto (x ₁ ,y ₁ ) y la pendiente ‘m’ se puede escribir como:

 

Prueba:

Sea el punto que se encuentra en la curva (x ₁ , y ₁ ) y cualquier punto general puede ser denotado por (h, k) .

Entonces, la pendiente de la recta se puede escribir como 

Pendiente=(ky ₁ ) / (hx ₁ )

Además, sabemos que la pendiente de la línea es m .

Por eso,

(ky ₁ ) / (hx ₁ )= m

Reemplace k por y y h por x

Y obtenemos y – y ₁  = m(x – x ₁ )

Ejemplo 1. Escribir la ecuación de la recta que pasa por (5,6) y pendiente igual a 3

Solución:

Poniendo el valor de (x1,y1) como (5,6) y m = 3, obtenemos

 y-6 = 3* (x-5)

 y-6 = 3x-15

 y = 3x – 9 

Ejemplo 2. Escribir la ecuación de la recta que pasa por (0,0) y pendiente igual a 1

Solución:

Poniendo el valor de (x1,y1) como (0,0) y m=1, obtenemos

 y – 0 = 1* (x -0)

 y = x   

Forma de dos puntos

La ecuación de la recta que pasa por el punto (x ₁ ,y ₁ ) y (x ₂ ,y ₂ ) se puede escribir como:

 

Prueba:

Como conocemos dos puntos cualesquiera de la recta, podemos escribir la pendiente de la recta como 

m = (y ₂ -y ₁ ) / (x ₂ -x ₁ )

Y también sabemos por la forma punto pendiente que 

yy ₁ = m(xx ₁ ) 

Sustituyendo el valor de m en la ecuación anterior, obtenemos

yy ₁ = ((y ₂ -y ₁ ) / (x ₂ -x ₁ ) * (xx ₁ )

Ejemplo 1. Escribe la ecuación de la recta que pasa por (5,6) y (6,7)

Solución:

 Poniendo el valor de (x1,y1) como (5,6) y (x2,y2) como (6,7), obtenemos

 y-6 = (7-6)/(6-5) * (x-5)

 y-6 = 1* (x-5)

 y = x + 1

Ejemplo 2. Escribir la ecuación de la recta que pasa por (0,5) y (5,5)

Solución:

Poniendo el valor de (x1,y1) como (0,5) y (x2,y2) como (5,5), obtenemos

 y-5 = (5-5)/(5-0) * (x-0)

 y = 0

Forma Pendiente – Intersección

La ecuación de la línea con pendiente ‘m’ y cortando una intersección ‘c’ en el eje y se puede escribir como:     

 

Prueba:

Dado que el intercepto en y=c

La ecuación de la recta que pasa por (0,c) viene dada por

y-c = m(x-0)

y = mx + c

Ejemplo 1. Escriba la ecuación de la línea que tiene pendiente = 5 y el intercepto en y es 3

Solución:

 Poniendo el valor de m=5 y c=3 en la Ecuación y = mx + c 

  y = 5x+3

Ejemplo 2. Escriba la ecuación de la línea que tiene pendiente = 1 e intersección en y como 1

Solución:

Poniendo el valor de m=1 y c=1 en la Ecuación y = mx + c

 y = x+1

Formulario de intercepción

La ecuación de la intersección de corte de línea ‘a’ en el eje x y ‘b’ en el eje y se puede escribir como:

 

Prueba:

Entonces sabemos que la línea pasa por el punto (a,0) y (0,b), podemos escribir la ecuación usando la forma de dos puntos

y – y ₁ = (y ₂ – y ₁ ) / (x ₂ – x ₁ ) * (x – x ₁ )

Haciendo x ₁ = a, y ₁ = 0, x ₂ = 0 , y ₂ = b

Obtenemos,

y = (b/(-a) * (xa)

Dividiendo ambos lados por b y simplificando RHS obtenemos

y/b = -(x/a)+1

⇒x/a + y/b =1

Ejemplo 1. Escriba la ecuación de la línea que tiene la intersección x como 5 y la intersección y como 3 

Solución:

Poniendo el valor de a=5 y b=3 en la Ecuación x / a + y / b = 1 

 x/5 + y/3 =1

Ejemplo 2. Escriba la ecuación de la línea que tiene la intersección x como 1 y la intersección y como 1

Solución:

Poniendo el valor de a=1 y b=1 en la Ecuación x / a + y / b = 1 

x/1 + y/1 =1

forma normal

La ecuación de la línea recta sobre la cual la longitud de la perpendicular desde el origen es ‘p’ y esta perpendicular forma un ángulo ‘∝’ con dirección positiva del eje x es:

 

Prueba:

Sea la recta AB tal que la longitud de la perpendicular OQ desde el origen O hasta la recta sea p y <XOQ =∝.

Del diagrama, usando la forma de intersección obtenemos

La ecuación de la recta AB es

x/p seg∝ + y/p cosec∝ =1

o

xcos∝ + ysen∝ =p 

Ejemplo 1. Escribe la ecuación de la línea para la cual la longitud de la perpendicular desde el origen es de 5 unidades y esta perpendicular forma un ángulo de 45 ⁰ con dirección positiva del eje x.

Solución:

Entonces, básicamente se nos da el valor de p=5 y ∝=45 ⁰

Poniendo los valores en la ecuación anterior obtenemos, 

x /√2 + y√2 = 5

x + y = 5√2

Ejemplo 2. Escribe la ecuación de la línea para la cual la longitud de la perpendicular desde el origen es de 1 unidad y esta perpendicular forma un ángulo de 60 ⁰ con dirección positiva del eje x.

Solución:

Entonces, básicamente se nos da el valor de p=1 y ∝=60 ⁰

Poniendo los valores en la ecuación anterior obtenemos,

x * (1/2) + y * (√3/2) = 1

x + y√3 = 2