Teorema – La tangente en cualquier punto de un círculo es perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto – Círculos | Clase 10 Matemáticas

La tangente es una línea recta trazada desde un punto externo que toca un círculo exactamente en un punto de la circunferencia del círculo. Puede haber un número infinito de tangentes de un círculo. Estas tangentes siguen ciertas propiedades que pueden usarse como identidades para realizar cálculos matemáticos en círculos.

Aquí, en este artículo, aprenderemos sobre una de esas propiedades, es decir, la tangente en cualquier punto de un círculo es perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto.

Para probar: la tangente en cualquier punto de un círculo es perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto

Sea un círculo C (0, r) y  una tangente l en el punto A.

Construcción 

Paso 1: Tome cualquier punto B en línea l, que no sea A. 

Paso 2: Únase a OB. 

Paso 3: Digamos que OB se encuentra con el círculo en C. 

Prueba

Por conocimientos previos, sabemos que, entre todos los segmentos de línea que unen el punto O, es decir, el centro del círculo con un punto en l (l es la tangente al círculo), la perpendicular es la más corta a l. 

O es el centro del círculo y el radio del círculo tendrá una longitud fija, por lo que podemos decir que: 

OC = OA (radio) 

También OB = OC+ BC. 

Entonces OC < OB. 

⇒ OA < OB (ya que OA = OC). 

Lo mismo ocurrirá con todos los demás puntos de la tangente (l). 

Entonces, OA es más corto que cualquier otro segmento de línea que une O con cualquier punto de l. 

Por lo tanto, OA ⊥ l

Por lo tanto, la tangente en cualquier punto de un círculo es perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto. 

Ejemplos de problemas basados ​​en el teorema

Problema 1: Dada una circunferencia de centro O.Dos Tangente desde el punto exterior P se dibuja a la circunferencia dada. Encuentra la suma de los ángulos formados entre ambos radios y los ángulos entre ambas tangentes del círculo. 

Solución:

Los ángulos formados entre las tangentes y los radios es de 90 grados . 

Como la suma de los ángulos de los cuadriláteros es 360 grados . Y tenemos dos ángulos de 90 grados formados dentro de él.

Por lo tanto, la suma restante de ángulos, es decir, la suma de los ángulos formados entre ambos radios y los ángulos entre ambas tangentes es 360-180 = 180 grados . 

Problema 2: Encuentra el ángulo ∠CBA dado que CA es una línea trazada desde el centro hasta la tangente en el círculo. La longitud del radio y la longitud de la base se mencionan en la pregunta. 
 

Solución:

Se da que la recta va del centro a la tangente, por lo que concluimos que forma el ángulo recto del teorema. 

Por lo tanto, podemos aplicar fórmulas trigonométricas para obtener el ∠CBA

tan(∠CBA) = CA/AB 
tan(∠CBA) = 3/4 

∠CBA=37 grados

Problema 3: En la figura dada, O es el centro del círculo. Desde el punto R fuera del círculo, como se muestra, RM y RN son tangentes que tocan el círculo en M y N. Si la longitud de OR = 10 cm y el radio del círculo = 5 cm, ¿cuál es la longitud de cada tangente? 

Solución: 

Dado que OM = 5 cm y OR = 10 cm 
In ∆OMR derecha, 

OR^2=OM^2+MR^2 
⇒MR^2=OR^2−OM^2 
⇒MR^2=100−25 
MR=5√3 cm. 
También NR=5√3 cm. 

Por lo tanto, la longitud de cada tangente es 5√3 cm.