Clase 10 Soluciones NCERT – Capítulo 6 Triángulos – Ejercicio 6.3 | conjunto 2

Pregunta 11. En la siguiente figura, E es un punto del lado CB producido a partir de un triángulo isósceles ABC con AB = AC. Si AD ⊥ BC y EF ⊥ AC, demuestre que ΔABD ~ ΔECF.

Solución:

Dado, ABC es un triángulo isósceles.

Como los lados de un triángulo isósceles son iguales, tenemos,

∴ AB = CA

⇒ ∠ABD = ∠ECF

En ΔABD y ΔECF,

Ya que, cada uno de los siguientes ángulos son 90°.

∠ADB = ∠EFC 

Como ya hemos probado, 

∠MALO = ∠CEF 

Por el criterio de similitud AA, tenemos,

∴ ΔABD ~ ΔECF 

Pregunta 12. Los lados AB y BC y la mediana AD de un triángulo ABC son respectivamente proporcionales a los lados PQ y QR y la mediana PM de ΔPQR (ver Fig. 6.41). Demuestre que ΔABC ~ ΔPQR.

Solución:

Dado que en ΔABC y ΔPQR, 

AB es proporcional a PQ

BC es proporcional a QR

AD es proporcional a PM

Es decir, AB/PQ = BC/QR = AD/PM

Sabemos,

AB/PQ = BC/QR = AD/PM

Dado que D es el punto medio de BC y M es el punto medio de QR

⇒AB/PQ = BC/QR = AD/PM 

Por el criterio de similitud SSS, tenemos,

⇒ ΔABD ~ ΔPQM 

Ahora, como los ángulos correspondientes de dos triángulos semejantes son iguales, obtenemos,

∴ ∠ABD = ∠PQM 

⇒ ∠ABC = ∠PQR

Ahora,

En ΔABC y ΔPQR

AB/PQ = BC/QR ………….(i)

∠ABC = ∠PQR ……………(ii)

De la ecuación (i) y (ii), obtenemos,

Por el criterio de similitud SAS, tenemos,

ΔABC ~ ΔPQR 

Pregunta 13. D es un punto en el lado BC de un triángulo ABC tal que ∠ADC = ∠BAC. Demostrar que CA2 = CB.CD

Solución:

Dado, D es un punto en el lado BC de un triángulo ABC tal que ∠ADC = ∠BAC.

En ΔADC y ΔBAC,

∠CAD = ∠BAC

∠ACD = ∠BCA (ángulos comunes)

Por el criterio de similitud AA, tenemos,

∴ ΔADC ~ ΔBAC 

Como los lados correspondientes de triángulos semejantes están en proporción, obtenemos,

∴ CA/CB = CD/CA

Es decir, CA 2 = CB.CD.

Por lo tanto, probado.

Pregunta 14. Los lados AB y AC y la mediana AD de un triángulo ABC son respectivamente proporcionales a los lados PQ y PR ya la mediana PM de otro triángulo PQR. Demuestre que ΔABC ~ ΔPQR.

Solución:

Dados, Dos triángulos ΔABC y ΔPQR en los que AD y PM son medianas tales que;

Ahora,

AB/PQ = AC/PR = AD/PM

Construcción, 

Produzca AD más allá de E de modo que AD = DE. Ahora, únete a CE.

De manera similar, produzca PM más hasta N tal que PM = MN. Únete a RN.

En ΔABD y ΔCDE, tenemos

De la construcción hecha,

AD = DE 

Ahora, como AP es la mediana,

BD = CC

y, ∠ADB = ∠CDE [Los ángulos verticalmente opuestos son iguales]

Por criterio SAS,

∴ ΔABD ≅ ΔCDE 

Por CPCT, tenemos,

⇒ AB = CE………………..(i)

En ΔPQM y ΔMNR,

De la construcción hecha,

PM = MN

Ahora, como PM es la mediana,

QM = MR 

y, ∠PMQ = ∠NMR [Los ángulos verticalmente opuestos son iguales]

Por criterio SAS,

∴ ΔPQM = ΔMNR 

por CPCT, 

⇒ PQ = RN …………………(ii)

Ahora, AB/PQ = AC/PR = AD/PM

De la ecuación (i) y (ii), concluimos,

⇒CE/RN = AC/PR = AD/PM

⇒ CE/RN = AC/PR = 2AD/2PM

Sabemos, 

2AD = AE y 2PM = PN.

⇒ CE/RN = AC/PR = AE/PN 

Por criterio de similitud SSS,

∴ ΔACE ~ ΔPRN 

De este modo,

∠2 = ∠4

Y, ∠1 = ∠3

∴ ∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4

⇒ ∠A = ∠P ………………….(iii)

Ahora, en ΔABC y ΔPQR, tenemos

AB/PQ = AC/PR [Dado]

De la ecuación (iii), tenemos, 

∠A = ∠P

Por criterio de similitud SAS,

∴ ΔABC ~ ΔPQR 

Pregunta 15. Un poste vertical de 6 m de largo proyecta una sombra de 4 m de largo sobre el suelo y al mismo tiempo una torre proyecta una sombra de 28 m de largo. Encuentra la altura de la torre.

Solución:

Dado, Longitud del poste vertical = 6m

Longitud de la sombra de la torre = 28 m

Sombra del poste = 4 m

Supongamos que la altura de la torre es h m.

En ΔABC y ΔDEF,

∠C = ∠E (Por elevación angular de la suma)

Ya que los siguientes ángulos son equivalentes a 90°

∠B = ∠F 

Por el criterio de similitud AA, tenemos,

∴ ΔABC ~ ΔDEF 

Ya que, si dos triángulos son semejantes los lados correspondientes son proporcionales

∴ AB/DF = BC/EF 

Sustituyendo valores, 

∴ 6/hora = 4/28

⇒h = (6×28)/4

⇒ h = 6 × 7

⇒ h = 42 metros

Por lo tanto, la altura de la torre especificada es de 42 m.

Pregunta 16. Si AD y PM son medianas de los triángulos ABC y PQR, donde ΔABC ~ ΔPQR respectivamente, demuestre que AB/PQ = AD/PM.

Solución:

Dado, ΔABC ~ ΔPQR

Ya que, los lados correspondientes de triángulos semejantes están en proporción.

∴ AB/PQ = AC/PR = BC/QR………………(i)

Y, ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R ………….…..(ii)

Dado que AD y PM son las medianas, dividirán sus lados opuestos de manera correspondiente.

∴ BD = BC/2 y QM = QR/2 ………….(iii)

De las ecuaciones (i) y (iii), obtenemos,

AB/PQ = BD/QM …………….(iv)

En ΔABD y ΔPQM,

De la ecuación (ii), tenemos

∠B = ∠Q

De la ecuación (iv), tenemos,

AB/PQ = BD/QM

Por el criterio de similitud SAS, tenemos,

∴ ΔABD ~ ΔPQM 

Es decir, AB/PQ = BD/QM = AD/PM

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por mallikagupta90 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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