Clase 10 Soluciones NCERT – Capítulo 4 Ecuaciones cuadráticas – Ejercicio 4.4

Pregunta 1. Encuentra la naturaleza de las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas. Si las raíces reales existen, encuéntralas:

(yo) 2x ² -3x+5=0

(ii) 3x ² -4√3x+4=0

(iii) 2x ² -6x+3=0

Solución:

(i) Dado: 2x ² -3x+5=0

Aquí a=2,b=-3 y c=5

$\therefore$ Discriminante, D=b ² -4ac

= (-3) ² – 4 × 2 × 5)

= 9-40 = -31 < 0

Por lo tanto, las raíces son imaginarias.

(ii) Dado: 3x ² -4√3x + 4 = 0

Aquí a=3,b=√3 y c=4

$\therefore$ Discriminante, D=b ² -4ac

= (-4√3) ² – (4 × 3 × 4)

= 48 – 48 = 0

Por lo tanto, las raíces son reales e iguales.

Usando la fórmula,

$x=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}$ , obtenemos

$x=\frac {-(-4\sqrt3)\pm\sqrt{(-4\sqrt3)^2-4\times3\times4}} {2\times3}$

$= \frac {4\sqrt3\pm\sqrt{48-48}} {6}=\frac {4\sqrt3} {6}=\frac {2} {\sqrt3}$

Por lo tanto, las raíces iguales son $\frac 2 {\sqrt3}$ y $\frac 2 {\sqrt3}$ .

(iii) Dado: 2x ² -6x+3=0

Aquí, a=2,b=-6 y c=3

$\therefore$ Discriminante, D=b ² -4ac

= (-6) ² – (4 × 2 × 3)

= 36 – 24 = 12 > 0

Por lo tanto, las raíces son distintas y reales.

Usando la fórmula,

$x=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}$ ,obtenemos

$x=\frac {-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\times2\times3}} {2\times2}$

$x=\frac {6\pm\sqrt{36-24}} {4}$

$x=\frac {6\pm\sqrt{12}} {4}$

$x=\frac {6\pm2\sqrt{3}} {4}$

$x=\frac {3\pm\sqrt{3}} {2}$

Por lo tanto, las raíces iguales son $\frac {3+\sqrt{3}} {2}$ y $\frac {3-\sqrt{3}} {2}$

Pregunta 2. Encuentra los valores de k para cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas, de modo que tengan dos raíces iguales.

(yo) 2x ² +kx+3

(ii) kx(x-2)+6=0

Solución:

(yo) 2x+kx+3=0

Esta ecuación tiene la forma ax ² +bx+x, donde a=2, b=k y c=3.

Discriminante, D=b ² -4ac

= k ² – 4 × 2 × 3

= k ² -24

Para raíces iguales D=0

$\implies$ k2 ^-24 =0

$\implies$ k ² = 24

$\implies$ k2 ⁼ ±24 = ±2√6

(ii) kx(x-2)+6=0

$\implies$ kx ² -2kx+6=0

Esta ecuación tiene la forma ax ² +bx+c=0, donde a=k, b=-2k y c=6.

Discriminante, D=b ² -4ac

=(-2k) ² – 4 × k × 6

=4k ² -24k

Para raíces iguales D=0

$\implies$ 4k ² -24k=0

$\implies$ 4k(k-24)=0

$\implies$ k=0 (no posible) o 4k-24=0

$\implies$ k= 24/4=6

Pregunta 3. ¿Es posible diseñar una arboleda de mango rectangular cuyo largo sea el doble de su ancho, y el área sea de 800 m ² ? Si es así, encuentra su largo y ancho.

Solución:

Sea x m el ancho de la arboleda rectangular de mangos.

Entonces, la longitud de la arboleda de mango rectangular será de 2x m.

El área de la arboleda de mango rectangular = largo × ancho

De acuerdo con la pregunta, tenemos

x × 2x = 800

$\implies$ 2×2 ⁼ 800

$\implies$ × ² =400

$\implies$ x=20

Por lo tanto, es posible diseñar la huerta de mango rectangular cuyo largo = 40 m y ancho = 20 m.

Pregunta 4. ¿Es posible la siguiente situación? Si es así, determine sus edades actuales. La suma de las edades de dos amigos es 20 años. Hace cuatro años, el producto de sus edades en años era 48.

Solución:

Sea la edad actual de un amigo x años.

Entonces, la edad actual de otro amigo será (20-x) años.

Hace 4 años, la edad de un amigo era (x-4) años

Hace 4 años, la edad de otro amigo era (20-x-4)=(16-x) años.

Según la pregunta,

(x-4)(16-x)=48

$\implies$ 16x-64-x ² +4x=48

$\implies$ x2 -20x+112= ⁰

Esta ecuación tiene la forma ax ² +bx+c=0, donde a=1, b=-20 y c=112.

Discriminante, D=b ² -4ac

= (-20) ² -4 × 1 × 112 = -48 < 0

Ya que, no hay raíces reales.

Entonces la situación dada no es posible.

Pregunta 5. ¿Es posible diseñar un parque rectangular de 80 m de perímetro y 400 m ² de área ? Si es así, encuentra su largo y ancho.

Solución:

Sea x la longitud del parque rectangular.

El perímetro del parque rectangular = 2 (largo + ancho)

$\implies$ 2(x + ancho)=80

$\implies$ ancho=40-x

El área del parque rectangular = largo × ancho

$\implies$ x(40-x)=400

\implica 40x-x ² =400

\implica x ² -40x+400=0

\implica x ² -20x-20x+400=0

$\implies$ (x-20)(x-20)=0

$\implies$ x=20

Por lo tanto, el parque rectangular es posible de diseñar. Entonces, la longitud del parque es de 20 m y la anchura = 40-20 = 20 m.

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Artículo escrito por manandeep1610 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1. Encuentra la naturaleza de las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas. Si las raíces reales existen, encuéntralas:

Pregunta 2. Encuentra los valores de k para cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas, de modo que tengan dos raíces iguales.

Pregunta 3. ¿Es posible diseñar una arboleda de mango rectangular cuyo largo sea el doble de su ancho, y el área sea de 800 m 2 ? Si es así, encuentra su largo y ancho.

Pregunta 4. ¿Es posible la siguiente situación? Si es así, determine sus edades actuales. La suma de las edades de dos amigos es 20 años. Hace cuatro años, el producto de sus edades en años era 48.

Pregunta 5. ¿Es posible diseñar un parque rectangular de 80 m de perímetro y 400 m 2 de área ? Si es así, encuentra su largo y ancho.

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Pregunta 3. ¿Es posible diseñar una arboleda de mango rectangular cuyo largo sea el doble de su ancho, y el área sea de 800 m ² ? Si es así, encuentra su largo y ancho.

Pregunta 5. ¿Es posible diseñar un parque rectangular de 80 m de perímetro y 400 m ² de área ? Si es así, encuentra su largo y ancho.