Soluciones NCERT de clase 10 – Capítulo 8 Introducción a la trigonometría – Ejercicio 8.1

Pregunta 1. En ∆ ABC, rectángulo en B, AB = 24 cm, BC = 7 cm. Determinar :

(i) sen A, cos A (ii) sen C, cos C

Solución:

Usando el teorema de Pitágoras para ΔABC

CA 2 = AB 2 + BC 2

= (24 cm) 2 + (7 cm) 2

= (576 + 49) cm2

= 625cm2

∴CA = 25 cm       

(i) sen A = opp/hyp

    sen A = 7/25

    cos A = adj/hip = 24/25

    porque A = 24/25

(ii) sen C = opp/hyp

     sen C = 24/25

     porque C = adj./hip.

     porque C = 7/25

Pregunta 2. En la figura 8.13, encuentre tan P – cot R.

Solución:

Aplicando el teorema de Pitágoras para ΔPQR, obtenemos

PR 2 = PQ 2 + QR 2

(13 cm) 2 = (12 cm) 2 + QR 2

169 cm 2 = 144 cm 2 + QR 2

25 cm 2 = QR 2

QR = 5 cm

bronceado P = opp/adj

bronceado P = 5/12

cuna R = adj/opp

cuna R = 5/12

bronceado P – cuna R = 5/12 – 5/12 = 0

Pregunta 3. Si sen A = 3/4, calcula cos A y tan A.

Solución:

Usando sen 2 A + cos 2 A = 1

(3/4) 2 + cos 2 A = 1

cos 2 A = 1 – (3/4) 2 = 1 – 9/16

porque A = 7 1/2 /4

tan A = sen A/cos A

tan A = (3/4)/(7 1/2 /4)

bronceado A = 3/7 1/2

Pregunta 4: Dado 15 cot A = 8. Encuentra sen A y sec A

Solución:

Dado, 15 cot A = 8

               cuna A = 8/15

bronceado A = 1/cuna A

bronceado A = 15/8

Usando, 1 + tan 2 A = seg 2 A

           1 + (15/8) 2 = seg 2 A

           289/64 = seg 2 A

           segundo A = 17/8 

Sabemos, cos 2 A = 1/seg 2 A

                cos 2 A = 64/289

               sen 2 A = 1 – cos2A

               sen 2 A = 225/289

             sen A = 15/17

Pregunta 5: Dado sec θ = 13/12, calcule todas las demás razones trigonométricas.

Solución.

Usando el teorema de Pitágoras,

sen θ = 5/13

cos θ = 12/13

tan θ = 5/12

cosec θ = 13/5

cuna θ = 12/5

Pregunta 6: Si ∠A y ∠B son ángulos agudos tales que cos A = cos B, entonces demuestra que ∠A = ∠B.

Solución:

Consideremos un ΔABC en el que CD ⊥ AB.

Se da que cos A = cos B

AD/AC = BD/BC … (1)

Necesitamos probar ∠A = ∠B. Para probar esto, necesitamos extender AC a P tal que BC = CP.

De la ecuación (1), obtenemos

AD/BD = AC/BC

AD/BD = AC/CP    (BC = CP por construcción)

Usando el inverso de BPT (Teorema de proporcionalidad básica),

CD||BP

∠ACD = ∠CPB (Ángulos correspondientes) … (3)

Y, ∠BCD = ∠CBP (Ángulos interiores alternos) … (4)

Por construcción, tenemos BC = CP.

∴ ∠CBP = ∠CPB (Ángulo opuesto a lados iguales de un triángulo) … (5)

De las ecuaciones (3), (4) y (5), obtenemos

∠ACD = ∠BCD … (6)

En ΔCAD y ΔCBD,

∠ACD = ∠BCD (Usando la ecuación (6))

∠CDA = ∠CDB (Ambos 90°)

Por lo tanto, los ángulos restantes deben ser iguales.

∴∠CAD = ∠CDB

⇒ ∠A = ∠B

Pregunta 7: Si cot θ = 7/8, evalúa

(i) ((1 + sen θ) * (1 – senθ))/(1 + cosθ) * (1 – cosθ )))

(ii) cuna 2 θ

Solución:

(i) Usando (a + b) * (a – b) = a 2 – b 2 en numerador y denominador

Obtenemos

(1 – sen 2 θ)/(1 – cos 2 θ)

Usando sen 2 θ + cos 2 θ = 1

Obtenemos

cos 2 θ/sen 2 θ = cot 2 θ

Ahora

cuna 2 θ = (7/8)2 = 49/64

(ii) cuna 2 θ = (7/8)2 = 49/64

Pregunta 8. Si 3 cot A = 4, comprueba si (1 – tan 2 A)/(1 + tan 2 A) = cos 2 A – sen 2 A

Solución.

Sabemos que, tanA = sinA / cosA ….(1)

Usando (1) en LHS

= (1 – sen 2 A/cos 2 A)/(1 + sen 2 A/cos 2 A)

que al reorganizar se convierte en

= (cos 2 A – sen 2 A)/(cos 2 A + sen 2 A)

Usando la identidad,

cos 2 A + sen 2 A = 1

LHS se convierte en

= (cos 2 A – sen 2 A)

Esto es igual a RHS.

LHS = RHS (para cada valor de cot A)

Por lo tanto, Probado.

Pregunta 9: En Δ ABC, en ángulo recto en B. Si tan A = 1/(3 1/2 ), encuentre el valor de

(i) sen A cos C+ cos A sen C

(ii) cos A cos C − sen A sen C

Solución:

Usando el teorema de Pitágoras

(AB) 2 + (BC) 2 = (AC) 2

(31/2) 2 + (1) 2 = (CA) 2

lo que da

CA = 2 cm

Usando fórmulas

sen A = 1/2

sen C = 3 1/2 /2

porque A = 3 1/2 /2

porque C = 1/2

Ahora, (i) sen A cos C+ cos A sen C

Sustituyendo los valores

= (1/2) * (1/2) + (3 1/2 /2) * (3 1/2 /2)

= 1/4 + 3/4

= 1

Ahora, (ii) cos A cos C − sen A sen C

Sustituyendo los valores

= (3 1/2 /2) * (1/2) – (1/2) * (3 1/2 /2)

= 3 1/2 /4 – 3 1/2 /4

= 0

Pregunta 10: En Δ PQR, rectángulo en Q, PR + QR = 25 cm y PQ = 5 cm. Determine los valores de sen P, cos P y tan P.

Solución:

Dado que, PR + QR = 25

PQ = 5

Sea PR x cm.

Por lo tanto, QR = 25 − x cm

Aplicando el teorema de Pitágoras en ΔPQR, obtenemos

PR 2 = PQ 2 + QR 2

x 2 = (5) 2 + (25 − x) 2

x2 = 25 + 625 + x2 50x

50x = 650

x = 13

Por lo tanto, PR = 13 cm

QR = (25 − 13) cm = 12 cm

Ahora,

sen P = QR/PR = 12/13

porque P = PQ/PR = 5/13

tan P = QR/PQ = 12/5

Pregunta 11. Indique si las siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.

(i) El valor de tan P siempre es menor que 1.

(ii) sec A = 12/5 para algún valor del ángulo A.

(iii) cos A es la abreviatura utilizada para la cosecante del ángulo A.

(iv) cot A es el producto de cot y A

(v) sen θ = 4/3, para algún ángulo θ

Solución:

(i) Considere un ΔPQR, en ángulo recto en Q como se muestra a continuación.

Aquí tan P = 12/5 que seguramente es mayor que 1.

Por lo tanto, la afirmación es falsa.

(ii) Considere ΔABC con AB = 5 cm, AC = 12 cm y BC = x cm

Usando el teorema de Pitágoras en ΔABC

(AB) 2 + (BC)2 = (AC)2

52 + x2 = 122

x = (144 – 25)1/2

x = (119)1/2

x = 10,9 cm

AB < BC < CA

Así que este triángulo es válido,

Por lo tanto, la afirmación dada es verdadera.

(iii) La abreviatura utilizada para la cosecante A es cosec A. Y cos A es la abreviatura utilizada para el coseno A.

Por lo tanto, la afirmación dada es falsa.

(iv) cot A no es el producto de cot y A. Es la cotangente de ∠A.

Por lo tanto, la afirmación dada es falsa.

(v) sen θ = 4/3 

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa siempre es mayor que los dos lados restantes. Por lo tanto, tal valor de sen θ no es posible.

Por lo tanto, la afirmación dada es falsa.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por TarunYadav4 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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