Pregunta 1. Evalúa lo siguiente:
(i) sen 60° cos 30° + sen 30° cos 60°
Solución:
Fórmulas a utilizar: sen 30° = 1/2
cos 30° = √3/2
sen 60° = 3/2
cos 60° = 1/2
=> (√3/2) * (√3/2) + (1/2) * (1/2)
=> 3/4 +1/4
=> 4 /4
=> 1
(ii) 2 tan 2 45° + cos 2 30° – sen 2 60°
Solución:
Fórmulas a utilizar: sen 60° = √3/2
cos 30° = √3/2
tan 45° = 1
=> 2(1)(1) + (√3/2)(√3/2)-(√3/2)(√3/2)
=> 2 + 3/4 – 3/4
=> 2
(iii) cos 45°/(seg 30°+coseg 30°)
Solución:
Fórmulas a utilizar: cos 45° = 1/√2
seg 30° = 2/√3
cosec 30° = 2
=> 1/√2 / (2/√3 + 2)
=> 1/√2 / (2+2√3)/√3
=> √3/√2×(2+2 √3) = √3/(2√2+2√6)
=> √3(2√6-2√2)/(2√6+2√2)(2√6-2√2)
=> 2√3(√6-√2) / (2√6)²-(2√2)²
=> 2√3(√6-√2)/(24-8) = 2 √3(√6-√2)/16
=> √3(√6-√2)/8
=> (√18-√6)/8
=> (3√2-√6)/8
(iv) (sen 30° + tan 45º – cosec 60°)/(sec 30° + cos 60° + cot 45°)
Solución:
Fórmulas a utilizar: sen 30° = 1/2
tan 45° = 1
cosec 60° = 2/√3
seg 30° = 2/√3
cos 60° = 1/2
cuna 45° = 1
=> (1/2+1-2/√3) / (2/√3+1/2+1)
=> (3/2-2/√3)/(3/2+2/√3)
=> (3√3-4/2 √3)/(3√3+4/2 √3)
=> (3√3-4)(3√3-4)/(3√3+4)(3√3-4)
=> (27+16-24√3) / (27-16)
=> (43-24√3)/11
(v) (5 cos 2 60° + 4 seg 2 30° – tan 2 45°)/(sen 2 30° + cos²30°)
Solución:
Fórmulas a utilizar: cos 60° = 1/2
seg 30° = 2/√3
tan 45° = 1
sen 30° = 1/2
cos 30° = √3/2
=> 5(1/2) 2 +4(2/√3)²-1²/(1/2)+(√3/2)
=> (5/4+16/3-1) / (1/4+3/4)
=> (15+64-12) / 12/(4/4)
=> 67/12
Pregunta 2. Elija la opción correcta y justifique su elección:
(i) 2tan 30°/1+tan 2 30° =
(A) sen 60° (B) cos 60° (C) tan 60° (D) sen 30°
(ii) 1-tan 2 45°/1+tan 2 45° =
(A) tan 90° (B) 1 (C) sen 45° (D) 0
(iii) sen 2A = 2 sen A es verdadero cuando A =
(A) 0° (B) 30° (C) 45° (D) 60°
(iv) 2tan30°/1-tan 2 30° =
(A) cos 60° (B) sen 60° (C) tan 60° (D) sen 30°
Solución:
(i) En la ecuación dada, sustituyendo el valor de tan 30°
Tan 30° = 1/√3
2 bronceado 30°/1+bronceado 2 30° = 2(1/√3)/1+(1/√3) 2
=> (2/√3)/(1+1/3) = (2/√3)/(4/3)
=> 6/4√3 = √3/2
=> sen 60°
El ans es sen 60°.
La opción correcta es (A) .
(ii) En la ecuación dada, sustituyendo el de tan 45°
Tan 45° = 1
1-bronceado 2 45°/1+bronceado 2 45° = (1-1 2 )/(1+1 2 )
= 0/2 => 0
La respuesta es 0.
La opción correcta es (D) .
(iii) sen 2A = 2 sen A es verdadero cuando A = 0°
sen 2A = sen 0° = 0
2 sen A = 2 sen 0° = 2 × 0 = 0
De otra manera :
sen 2A = 2 sen A cos A
=> 2 sen A cos A = 2 sen A
=> 2 cos A = 2 => cos A = 1
Ahora, tenemos que verificar qué valor de grado se debe aplicar para obtener la solución como 1.
Cuando se aplica 0 grados al valor cos obtenemos 1, es decir, cos 0 = 1
Por lo tanto, A = 0°
La opción correcta es (A) .
(iv) Como tan 30° = 1/√3
2 bronceado 30°/1 bronceado 2 30° = 2(1/√3)/1-(1/√3) 2
=> (2/√3)/(1-1/3) = (2/√3)/(2/3) = √3 = bronceado 60°
La opción correcta es (C) .
Pregunta 3. Si tan (A + B) = √3 y tan (A – B) = 1/√3, 0° < A + B ≤ 90°; A > B, encuentre A y B.
Solución:
bronceado (A + B) = √3
bronceado (A + B) = bronceado 60°
(A + B) = 60° … (yo)
bronceado (A – B) = 1/√3
bronceado (A – B) = bronceado 30°
(A – B) = 30° … (ii)
Ahora sumamos la ecuación (i) y (ii), obtenemos
A + B + A – B = 60° + 30°
A= 45°
Sustituyendo el valor de A en la ecuación (i) para encontrar el valor de B
45° + B = 60°
B = 60° – 45°
B = 15°
Por lo tanto, A = 45° y B = 15°
Pregunta 4. Indique si las siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.
(i) sen (A + B) = sen A + sen B.
(ii) El valor de sen θ aumenta a medida que aumenta θ.
(iii) El valor de cos θ aumenta a medida que aumenta θ.
(iv) sen θ = cos θ para todos los valores de θ.
(v) cot A no está definido para A = 0°.
Solución:
(i) Tomemos A = 60° y B = 30°, entonces
Sustituyendo los valores de A y B en la fórmula sin (A + B), obtenemos
sen (A + B) = sen (60° + 30°) = sen 90° = 1 y,
sen A + sen B = sen 60° + sen 30°
= √3/2 + 1/2 = (√3 + 1 ) / 2, sen(A + B) ≠ sen A + sen B
Ya que ambos los valores obtenidos no son iguales.
Por lo tanto, la afirmación es falsa .
(ii) A partir de los valores dados a continuación, podemos ver que a medida que aumenta el ángulo (theta), el valor también aumenta.
sen 0° = 0, sen 30° = 1/2, sen 45° = 1/√2, sen 60° = √3/2 , sen 90° = 1
Por lo tanto, el valor de sen θ aumenta a medida que aumenta θ.
Por lo tanto, la afirmación es verdadera.
(iii) A partir de los valores dados a continuación, podemos ver que a medida que el ángulo (theta) aumenta, el valor disminuye.
cos 0° = 1, cos 30° = √3/2 , cos 45° = 1/√2, cos 60° = 1/2, cos 90° = 0
Por lo tanto, el valor de cos θ disminuye a medida que θ aumenta.
Por lo tanto, la afirmación anterior es falsa .
(iv) sen θ = cos θ, solo es cierto para theta = 45°
Por lo tanto, la afirmación anterior es falsa .
(v) Como tan 0° = 0
cuna 0° = 1 / bronceado 0°
= 1 / 0 => indefinido
Por lo tanto, la afirmación dada es verdadera .