Pregunta 1. Resuelva el siguiente par de ecuaciones lineales por el método de eliminación y el método de sustitución:
(i) x + y = 5 y 2x – 3y = 4
Solución:
Aquí, las dos ecuaciones dadas. son como sigue:
x + y = 5 ……….(yo)
2x – 3y = 4 ………..(II)
MÉTODO DE ELIMINACIÓN:
Multiplique la ecuación (I) por 2, y luego reste (II) de ella, obtenemos
5 años = 6
y = 6/5
Ahora poniendo y=6/5 en la ecuación. (yo), obtenemos
x + 6/5 = 5
x = (5–(6/5))
x = 19/5
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
De (I), obtenemos
y=5–x…….(III)
Ahora sustituyendo el valor de y en la ecuación. (II), obtenemos
2x – 3(5–x) = 4
2x – 15+3x = 4
5x = 4+15
x = 19/5
Como, poniendo x = 19/5, en la ecn. (III), obtenemos
y = 5 – 19/5
y = 6/5
Por lo tanto, por el método de eliminación y el método de sustitución obtenemos,
x = 19/5 ey = 6/5.
(ii) 3x + 4y = 10 y 2x – 2y = 2
Solución:
Aquí, las dos ecuaciones dadas. son como sigue:
3x + 4y = 10 ……….(yo)
2x – 2y = 2 ………..(II)
MÉTODO DE ELIMINACIÓN:
Multiplique la ecuación (II) por 2, y luego súmela a (I), obtenemos
7x = 14
X = 14/7
x = 2
Ahora poniendo x = 2 en la ecuación. (yo), obtenemos
3(2) + 4y = 10
4 años = 10 – 6
y = 4/4
y = 1
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
De (II), obtenemos
x = (2+2y)/2
x = y+1 …….(III)
Ahora sustituyendo el valor de x en la ecuación. (yo), obtenemos
3(y+1) + 4y = 10
3 años + 3 + 4 años = 10
7 años = 10 – 3
y = 7/7
y = 1
Como, poniendo y = 1, en la ecuación. (III), obtenemos
x = 1+1
x = 2
Por lo tanto, por el método de eliminación y el método de sustitución obtenemos,
x = 2 y y = 1.
(iii) 3x – 5y – 4 = 0 y 9x = 2y + 7
Solución:
Aquí, las dos ecuaciones dadas. son como sigue:
3x – 5y – 4 = 0
9x = 2y + 7
Reordenando obtenemos,
3x – 5y = 4 ……….(I)
9x – 2y = 7 ………..(II)
MÉTODO DE ELIMINACIÓN:
Multiplique la ecuación (I) por 3, y luego reste (II) de ella, obtenemos
–13y = 5
y = -5/13
Ahora poniendo y = – 5/13 en la ecuación. (yo), obtenemos
3x – 5(– 5/13) = 4
3x = 4 – (25/13)
3x = 27/13
X = 9/13
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
De (I), obtenemos
3x – 5y = 4
x = (4+5y)/3 …….(III)
Ahora sustituyendo el valor de x en la ecuación. (II), obtenemos
9((4+5años)/3) – 2años = 7
3(4+5y) – 2y = 7
12+15 años – 2 años = 7
13 años = – 5
y = – 5/13
Como, poniendo y = – 5/13, en la ec. (III), obtenemos
x=(4+5(– 5/13))/3
X = 9/13
Por lo tanto, por el método de eliminación y el método de sustitución obtenemos,
x=9/13 yy= – 5/13.
(iv) x/2 + 2y/3 = -1 y x – y/3 = 3
Solución:
Aquí, las dos ecuaciones dadas. son como sigue:
x/2 + 2y/3 = –1 ………..(A)
x – y/3 = 3 ……………….(B)
al reorganizar (multiplicar (A) por 6 y multiplicar (B) por 3) obtenemos,
3x + 4y = – 6 ……….(I)
3x – y = 9 ………..(II)
MÉTODO DE ELIMINACIÓN:
Restamos (II) de (I), obtenemos
5 años = – 15
y = – 3
Ahora poniendo y = -3 en la ecuación. (II), obtenemos
3x – (– 3) = 9
3x = 9 – 3
X = 6/3
x = 2
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
De (II), obtenemos
3x – y = 9
y = 3x – 9 …….(III)
Ahora sustituyendo el valor de y en la ecuación. (yo), obtenemos
3x + 4(3x – 9) = – 6
3x + 12x – 36 = – 6
15x = – 6 + 36
X = 30/15
x = 2
Como, poniendo x = 2, en la ecn. (III), obtenemos
y = 3(2) – 9
y = – 3
Por lo tanto, por el método de eliminación y el método de sustitución obtenemos,
x=2 y y= – 3.
Pregunta 2. Forme el par de ecuaciones lineales en los siguientes problemas y encuentre sus soluciones (si existen) por el método de eliminación:
(i) Si sumamos 1 al numerador y restamos 1 al denominador, una fracción se reduce a 1. Se convierte en ½ si solo sumamos 1 al denominador. ¿Cuál es la fracción?
Solución:
Sea la fracción p/q, donde p es el numerador y q el denominador.
Aquí, de acuerdo con la condición dada,
(p+1)/(q – 1) = 1 ………………..(A)
y,
p/(q+1) = 1/2 …………………..(B)
Resolviendo (A), obtenemos
(p+1) = q – 1
p – q = – 2 ……………………….(I)
Ahora, resolviendo (B), obtenemos
2p = (q+1)
2p – q = 1 ……………………….(II)
Cuando la ecuación (I) se resta de la ecuación (II) obtenemos,
p = 3
Ahora poniendo p = 3 en la ecuación. (yo), obtenemos
3 – q = – 2
q = 3+2
q = 5
Entonces, p = 3 y q = 5.
Por lo tanto, la fracción p/q es 3/5.
(ii) Hace cinco años, Nuri tenía tres veces la edad de Sonu. Diez años después, Nuri tendrá el doble de la edad de Sonu. ¿Qué edad tienen Nuri y Sonu?
Solución:
Supongamos que la edad actual de Nuri es x
Y la edad actual de Sonu es y.
Aquí, de acuerdo con la condición dada, la ecuación formada será la siguiente:
x-5 = 3(y-5)
x – 3y = – 10 …………………………………..(I)
Ahora,
x + 10 = 2(y +10)
x – 2y = 10 ……………………………………….(II)
Reste la ecuación. (I) de (II), obtenemos
y = 20
Ahora poniendo y = 20 en la ecuación. (II), obtenemos
x-2(20) = 10
x = 10+40
x = 50
Por eso,
La edad de Nuri es 50 años.
La edad de Sonu es de 20 años.
(iii) La suma de los dígitos de un número de dos dígitos es 9. Además, nueve veces este número es el doble del número obtenido al invertir el orden de los dígitos. Encuentra el número.
Solución:
Sean x e y respectivamente el dígito de la unidad y el dígito de las decenas de un número.
Entonces, Número = 10y + x
Y, número inverso = 10x + y
por ejemplo: 23
x = 3 y y = 2
Entonces, 23 se puede representar como = 10(2) + 3 = 23
Aquí, de acuerdo con la condición dada
x + y = 9 …………………….(I)
y,
9(10y + x) = 2(10x + y)
90y + 9x = 20x + 2y
88y = 11x
x = 8y
x – 8y = 0 …………………………………………………………….. (II)
Reste la ecuación. (II) de (I) obtenemos,
9 años = 9
y = 1
Ahora poniendo y = 1 en la ecuación. (II), obtenemos
x-8(1) = 0
x = 8
Por lo tanto, el número es 10y + x
=10 × 1 + 8
Número = 18
(iv) Meena fue a un banco a retirar ₹ 2000. Le pidió al cajero que le diera solo billetes de ₹ 50 y ₹ 100. Meena recibió 25 billetes en total. Encuentra cuántos billetes de ₹ 50 y ₹ 100 recibió.
Solución:
Sea x el número de billetes de 50 rupias y y y el número de billetes de 100 rupias
Aquí, de acuerdo con la condición dada
x + y = 25 ……………………………….. (I)
50x + 100y = 2000 ………………………………(II)
Divide (II) por 50 y luego resta (I) de él.
y = 15
Ahora poniendo y = 15 en la ecuación. (yo), obtenemos
X + 15 = 25
X = 10
Por lo tanto, Manna tiene 10 billetes de ₹ 50 y 15 billetes de ₹ 100.
(v) Una biblioteca de préstamo tiene un cargo fijo durante los primeros tres días y un cargo adicional por cada día posterior. Saritha pagó 27 rupias por un libro que guardó durante siete días, mientras que Susy pagó 21 rupias por el libro que guardó durante cinco días. Encuentra el cargo fijo y el cargo por cada día adicional.
Solución:
Sea el cargo fijo para los primeros tres días ₹ x y,
El cargo por cada día adicional será de ₹ y.
Aquí, de acuerdo con la condición dada,
x + 4y = 27 …….…………………………. (YO)
x + 2y = 21 …………………………………………….. (II)
Restamos (II) de (I), obtenemos
2 años = 6
y = 3
Ahora poniendo y = 3 en la ecuación. (II), obtenemos
x + 4(3) = 27
x = 27 – 12
X = 15
Por lo tanto, el cargo fijo es ₹ 15
Y el cargo por día es de ₹ 3
