Pregunta 1) Encuentra la distancia entre los siguientes pares de puntos:
(yo) (2,3), (4,1)
(ii) (-5, 7), (-1, 3)
(iii) (a, b), (-a, -b)
Solución:
La fórmula utilizada en la pregunta anterior es: √(x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 (es decir, fórmula de distancia)
(i) Aquí, x 1 = 2, y 1 = 3, x 2 = 4, y 2 = 1
Ahora, aplicando la fórmula de la distancia:
= √(4-2) 2 + (1-3) 2
=√(2) 2 + (-2) 2
= √8
= 2√2 unidades
(ii) Aquí, x 1 = -5, y 1 = 7, x 2 = -1, y 2 = 3
Ahora, aplicando la fórmula de la distancia:
= √(-1 – (-5)) 2 + (3 – 7) 2
= √(4) 2 + (-4) 2
= 4√2
(iii) Aquí, x 1 = a, y 1 = b . x2 = -a, y2 = -b
Ahora, aplicando la fórmula de la distancia:
= √(-a – a) 2 +(-b – b) 2
= √(-2a) 2 + (-2b) 2
= √4a 2 + 4b 2
= 2√a 2 + b 2
Pregunta 2) Encuentra la distancia entre los puntos (0, 0) y (36, 15). ¿Puede ahora encontrar la distancia entre los dos pueblos A y B discutidos en la sección 7.2 y que se muestran en la siguiente figura?
Solución:
La fórmula utilizada en la pregunta anterior es: √(x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 (es decir, fórmula de distancia)
Considerando el Punto A como (0, 0) y el Punto B como (36, 15) y aplicando la fórmula de la distancia obtenemos:
Distancia entre los dos puntos: √(36 – 0) 2 + (15 – 0) 2
= √(36) 2 + (15) 2
= √1296 + 225
= √1521
= 39 unidades
Por lo tanto, la distancia entre dos pueblos A y B es de 39 unidades.
Pregunta 3) Determina si los puntos (1, 5), (2, 3) y (–2, –11) son colineales.
Solución:
Sean (1, 5), (2, 3) y (-2, -11) los puntos A, B y C respectivamente.
Término colineal significa que estos 3 puntos se encuentran en la misma línea. Entonces, lo revisaremos.
Usando la fórmula de distancia encontraremos la distancia entre estos puntos.
AB = √(2 – 1) 2 + (3 – 5) 2
=√(1) 2 + (-2) 2 =√1 + 4 =√5
BC = √(-2 – 2) 2 + (-11 – 3) 2
= √(-4) 2 + (-14) 2 = √16 + 196 = √212
CA = √(-2 – 1) 2 + (-11 – 5) 2
= √(-3) 2 + (-16) 2 = √9 + 256 =√265
Como, AB + BC ≠ AC (Dado que una distancia no es igual a la suma de otras dos distancias, podemos decir que no están en la misma línea).
Por lo tanto, los puntos A, B y C no son colineales.
Pregunta 4) Comprueba si (5, – 2), (6, 4) y (7, – 2) son los vértices de un triángulo isósceles.
Solución:
Sean (5, – 2), (6, 4) y (7, – 2) los puntos A, B y C respectivamente.
Usando la fórmula de la distancia:
AB = √(6 – 5) 2 + (4 – (-2)) 2
= √(1 + 36) = √37
BC = √(7 – 6) 2 + (-2 – 4) 2
= √(1 + 36) = √37
CA = √(7 – 5) 2 + (-2 – (-2)) 2
= √(4 + 0) = 2
Como, AB = BC ≠ AC (Dos distancias iguales y una distancia no es igual a la suma de las otras dos)
Entonces, podemos decir que son vértices de un triángulo isósceles.
Pregunta 5) En un salón de clases, 4 amigos están sentados en los puntos A, B, C y D como se muestra en la Fig. 7.8. Champa y Chameli entran a la clase y después de observar durante unos minutos, Champa le pregunta a Chameli: «¿No crees que ABCD es un cuadrado?» Chameli no está de acuerdo. Usando la fórmula de distancia, encuentre cuál de ellos es correcto.
Solución:
A partir de la figura dada, encuentre las coordenadas de los puntos
AB = √(6 – 3) + (7 – 4)
= √9+9 = √18 = 3√2
BC = √(9 – 6) + (4 – 7)
= √9+9 = √18 = 3√2
CD = √(6 – 9) + (1 – 4)
= √9 + 9 = √18 = 3√2
AD = √(6 – 3) + (1 – 4)
= √9+9 =√18 =3√2
AB = BC = CD = DA = 3√2
Todos los lados tienen la misma longitud. Por lo tanto, ABCD es un cuadrado y, por lo tanto, Champa estaba en lo correcto.
Pregunta 6) Nombre el tipo de cuadrilátero formado, si lo hubiere, por los siguientes puntos, y justifique su respuesta:
(i) (- 1, – 2), (1, 0), (- 1, 2), (- 3, 0)
(ii) (- 3, 5), (3, 1), (0, 3), (- 1, – 4)
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
Solución:
(i) Aquí, sean los puntos dados P(-1, -2), Q(1, 0), R(-1, 2) y S(-3, 0) respectivamente.
PQ = √(1 – (-1))² + (0 – (-2))²
= √(1+1)²+(0+2)²
= √8 = 2 √2
QR = √(−1−1)²+(2−0)²
= √(−2)²+(2)²
= √8 = 2 √2
RS = √(−3−(−1))²+(0−2)²
= √8 = 2 √2
PD = √((−3−(−1))²+(0−(−2))²
= √8 = 2 √2
Aquí, encontramos que la longitud de todos los lados es igual.
PR diagonal = √(−1−(−1))²+(2−(−2))²
= √ 0+16
= 4
Diagonal QS = √(−3−1)²+(0−0)²
= √ 16 = 4
Finalmente, también encontramos que la longitud de la diagonal también es la misma.
Aquí, PQ = QR = RS = PS = 2√2
y QS = PR = 4
Esta es propiedad de SQUARE. Por lo tanto, la figura dada es CUADRADA.
(ii) Sean los puntos P(-3, 5), Q(3, 1), R(0, 3) y S(-1, -4)
PQ = √(3−(−3))²+(1−5)²
= √(3+3)²+(−4)²
= √36+16 = √52 = 2 √13
QR = √(0−3)²+(3−1)²
= √(−3)²+(2)²
= √9 + 4 = √13
RS = √(−1−0)²+(−4−3)²
= √(−1)²+(−7)²
= √1+49 = √50 = 5 √2
PD = √(−1−(−3))²+(−4−5)²
= √(−1+3)²+(−9)²
= √4+81 = √85
Aquí, Todas las longitudes de los lados son desiguales.
Entonces, los puntos dados no crearán ningún cuadrilátero.
(iii) Sean los puntos P(4, 5), Q(7, 6), R(4, 3) y S(1, 2)
PQ = √(7−4)²+(6−5)²
= √(3)²+(1)² = √9+1 = √10
QR = √(4−7)²+(3−6)²
= √(−3)²+(−3)² = √9+9 =3 √2
RS = √(1−4)²+(2−3)²
= √(−3)²+(−1)² = √9+1 = √10
PD = √(1−4)²+(2−5)²
= √(−3)²+(−3)² = √9+9 =3 √2
Vemos que los lados opuestos son iguales. Vamos a encontrar la diagonal ahora.
PR diagonal = √(4−4)²+(3−5)²
= √0+4 = 2
Diagonal QS = √(1−7)²+(2−6)²
= √36+16
= √52
Aquí, PQ = RS = √10
y QR = PS = 3√2
Vemos que las diagonales no son iguales.
Por lo tanto, el cuadrilátero formado es un PARALELOGRAMO.
Pregunta 7) Encuentra el punto en el eje x que es equidistante de (2, – 5) y (- 2, 9).
Solución:
Sea el punto sobre el eje X (x, 0)
Dado, distancia entre los puntos (2, -5), (x, 0) = distancia entre los puntos (-2, 9), (x, 0)
[Aplicación de fórmula de distancia]
⇒ √(x – 2)²+(0 – (-5))² = √(x – (-2))²+(0 – 9)²
Al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos
⇒ (x – 2)² + 5² = (x + 2)² + 9²
⇒ x² – 4x + 4 + 25 = x² + 4x + 4 + 81
⇒ -4x -4x = 85 – 29
⇒ -8x = 56
⇒ x = -7
Pregunta 8) Encuentra los valores de y para los cuales la distancia entre los puntos P (2, – 3) y Q (10, y) es de 10 unidades.
Solución:
Se da que, la distancia entre dos puntos es de 10 unidades.
Entonces, encontraremos la distancia e igualaremos
PQ = √ (10 – 2) 2 + (y – (-3)) 2
= √ (8) 2 + (y +3) 2
Al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos:
64 +(y+3) 2 = (10) 2
(y+3) 2 = 36
y + 3 = ±6
y + 3 = +6 o y + 3 = −6
Por lo tanto, y = 3 o -9.
Pregunta 9) Si Q (0, 1) es equidistante de P (5, – 3) y R (x, 6), encuentre los valores de x. Halla también la distancia QR y PR.
Solución:
Dado, PQ = QR
Aplicaremos la fórmula de distancia y encontraremos la distancia entre ellos,
PQ = √(5 – 0) 2 + (-3 – 1) 2
= √ ( -5) 2 + (-4) 2
= √ 25 + 16 = √41
QR = √ (0 – x) 2 + (1 – 6) 2
= √ (-x) 2 + (-5) 2
= √ x 2 + 25
Como ambos son iguales entonces al igualarlos, x 2 + 25 = 41
x 2 = 16, x = ± 4
Entonces, poniendo el valor de x y obteniendo el valor de QR y PR a través de la fórmula de distancia
Para x = +4, PR = √ (4 – 5) 2 + (6 – (-3)) 2
= √ (-1) 2 + (9) 2
= √ 82
QR = √ (0 – 4) 2 + (1 – 6) 2
= √ 41
Para x = -4, QR = √ (0 – (-4)) 2 + (1 – 6) 2
= √ 16 + 25 = √ 41
PR = √ (5 + 4) 2 + (-3 -6) 2
= √ 81 + 81 = 9 √ 2
Pregunta 10) Encuentra una relación entre x e y tal que el punto (x, y) sea equidistante del punto (3, 6) y (- 3, 4).
Solución:
Sean (x, y) el punto P y (3, 6), (-3, 4) los puntos A y B respectivamente.
Se da que su distancia es igual, por lo que igualaremos las ecuaciones.
PA = PB (dado)
⇒ √(x – 3) 2 +(y – 6) 2 = √(x-(-3)) 2 + (y – 4) 2 [ Aplicando la fórmula de la distancia ]
Al cuadrar ambos lados,
(x-3) 2 +(y-6) 2 = (x +3) 2 +(y-4) 2
x 2 +9-6x+y 2 +36-12y = x 2 +9+6x+y 2 +16-8y
36-16 = 6x+6x+12y-8y
20 = 12x+4y
3x+y = 5
3x+y-5 = 0