Soluciones NCERT Clase 10 – Capítulo 2 Polinomios – Ejercicio 2.4

Pregunta 1. Verifique que los números dados junto a los polinomios cúbicos a continuación sean sus ceros. Además , verifique la relación entre los ceros y los coeficientes en cada caso:

(i) 2x 3 + x 2 – 5x + 2; 1/2, 1, -2

Solución:

p(x) =2x 3 +x 2 -5x+2

p(1/2) = 2(1/2) 3 +(1/2) 2 -5(1/2)+2 

           = (1/4)+(1/4)-(5/2)+2 

           = 0

p(1) = 2(1) 3 +(1) 2 -5(1)+2 = 0

p(-2) = 2(-2) 3 +(-2) 2 -5(-2)+2 = 0

Por tanto, 1/2, 1, -2 son los ceros de 2x 3 +x 2 -5x+2.

Ahora, comparando el polinomio dado con la expresión general

hacha 3 +bx 2 +cx+d = 2x 3 +x 2 -5x+2

a=2, b=1, c= -5 y d = 2

α, β, γ son los ceros del polinomio cúbico ax 3 +bx 2 +cx+d

α +β+γ = –b/a

αβ+βγ+γα = c/a

α βγ = – d/a.

α+β+γ = ½+1+(-2) 

            = -1/2 = –b/a

αβ+βγ+γα = (1/2×1)+(1 ×-2)+(-2×1/2) 

                  = -5/2 = c/a

α β γ = ½×1×(-2) 

         = -2/2 = -d/a

Por tanto, se cumple la relación entre los ceros y los coeficientes.

(ii) x 3 – 4x 2 + 5x – 2 ; 2, 1, 1

Solución:

p(x) = x 3 -4x 2 +5x-2

Los ceros son 2,1,1.

p(2)= 2 3 -4(2) 2 +5(2)-2 

      = 0

p(1) = 1 3 -(4)(1 2 )+(5)(1)-2 = 0

Por lo tanto, probado, 2, 1, 1 son los ceros de x 3 -4x 2 +5x-2

Al comparar el polinomio dado con la expresión general

hacha 3 +bx 2 +cx+d = x 3 -4x 2 +5x-2

a = 1, b = -4, c = 5 y d = -2

Por lo tanto,

α + β + γ = –b/a

                = 2+1+1 

                = 4 

         –b/a = -(-4)/1

αβ + βγ + γα = c/a

                      = 2×1+1×1+1×2 

                      = 5 

                c/a = 5/1 

α β γ = – d/a.

          = 2×1×1 

          = 2 

 -d/a = -(-2)/1

Por tanto, se cumple la relación entre los ceros y los coeficientes.

Pregunta 2. Encuentra un polinomio cúbico con la suma, la suma del producto de sus ceros tomando dos a la vez, y el producto de sus ceros como 2, -7, -14 respectivamente.

Solución:

Consideremos el polinomio cúbico como ax 3 +bx 2 +cx+d y los ceros de los polinomios sean α, β, γ.

α+β+γ = -b/a = 2/1

αβ +βγ+γα = c/a = -7/1

α βγ = -d/a = -14/1

Al comparar

a = 1, b = -2, c = -7, d = 14

Por lo tanto, el polinomio cúbico es x 3 -2x 2 -7x+14

Pregunta 3. Si los ceros del polinomio x 3 – 3x 2 + x + 1 son a – b, a, a + b, encuentra a y b.

Solución:

p(x) = x3 -3×2 + x +1

Los ceros se dan como a – b, a, a + b

px 3 +qx 2 +rx+s = x 3 -3x 2 +x+1

Al comparar

p = 1, q = -3, r = 1 y s = 1

Suma de ceros = a – b + a + a + b

-q/p = 3a

Poniendo los valores q y p.

-(-3)/1 = 3a

un=1

Por lo tanto, los ceros son 1-b, 1, 1+b.

Producto de ceros = 1(1-b)(1+b)

-s/p = 1-b 2

-1/1 = 1-b 2

segundo 2 = 1+1 = 2

segundo = √2

Por lo tanto,1-√2, 1,1+√2 son los ceros de x 3 -3x 2 +x+1.

Pregunta 4. Si dos ceros del polinomio x 4 -6x 3 -26x 2 +138x-35 son 2 ±3, encuentra otros ceros.

Solución:

El grado del polinomio es 4

Por lo tanto, tiene cuatro raíces.

f(x) = x 4 -6x 3 -26x 2 +138x-35

Como 2 +√3 y 2-√3 son ceros del polinomio dado f(x).

Por lo tanto, [x−(2+√3)] [x−(2-√3)] = 0

(x−2−√3)(x−2+√3) = 0

Por lo tanto, x 2 -4x+1 es un factor del polinomio f(x).

Sea g(x) = x 2 -4x+1

Dividiendo f(x) por g(x) obtenemos otro factor de f(x)

x 4 -6x 3 -26x 2 +138x-35 = (x 2 -4x+1)(x 2  –2x−35)

Al factorizar (x 2 –2x−35) dividiendo el término medio

x2 –(7−5)x −35 = x2 7x+5x- 35

                         =x(x−7)+5(x−7)

(x+5)(x−7) = 0

x= −5 y x = 7.

Por lo tanto, los cuatro ceros de la ecuación polinomial dada son: 2+√3, 2-√3, −5 y 7.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por kashika1145 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *