Pregunta 1. Verifique que los números dados junto a los polinomios cúbicos a continuación sean sus ceros. Además , verifique la relación entre los ceros y los coeficientes en cada caso:
(i) 2x 3 + x 2 – 5x + 2; 1/2, 1, -2
Solución:
p(x) =2x 3 +x 2 -5x+2
p(1/2) = 2(1/2) 3 +(1/2) 2 -5(1/2)+2
= (1/4)+(1/4)-(5/2)+2
= 0
p(1) = 2(1) 3 +(1) 2 -5(1)+2 = 0
p(-2) = 2(-2) 3 +(-2) 2 -5(-2)+2 = 0
Por tanto, 1/2, 1, -2 son los ceros de 2x 3 +x 2 -5x+2.
Ahora, comparando el polinomio dado con la expresión general
hacha 3 +bx 2 +cx+d = 2x 3 +x 2 -5x+2
a=2, b=1, c= -5 y d = 2
α, β, γ son los ceros del polinomio cúbico ax 3 +bx 2 +cx+d
α +β+γ = –b/a
αβ+βγ+γα = c/a
α βγ = – d/a.
α+β+γ = ½+1+(-2)
= -1/2 = –b/a
αβ+βγ+γα = (1/2×1)+(1 ×-2)+(-2×1/2)
= -5/2 = c/a
α β γ = ½×1×(-2)
= -2/2 = -d/a
Por tanto, se cumple la relación entre los ceros y los coeficientes.
(ii) x 3 – 4x 2 + 5x – 2 ; 2, 1, 1
Solución:
p(x) = x 3 -4x 2 +5x-2
Los ceros son 2,1,1.
p(2)= 2 3 -4(2) 2 +5(2)-2
= 0
p(1) = 1 3 -(4)(1 2 )+(5)(1)-2 = 0
Por lo tanto, probado, 2, 1, 1 son los ceros de x 3 -4x 2 +5x-2
Al comparar el polinomio dado con la expresión general
hacha 3 +bx 2 +cx+d = x 3 -4x 2 +5x-2
a = 1, b = -4, c = 5 y d = -2
Por lo tanto,
α + β + γ = –b/a
= 2+1+1
= 4
–b/a = -(-4)/1
αβ + βγ + γα = c/a
= 2×1+1×1+1×2
= 5
c/a = 5/1
α β γ = – d/a.
= 2×1×1
= 2
-d/a = -(-2)/1
Por tanto, se cumple la relación entre los ceros y los coeficientes.
Pregunta 2. Encuentra un polinomio cúbico con la suma, la suma del producto de sus ceros tomando dos a la vez, y el producto de sus ceros como 2, -7, -14 respectivamente.
Solución:
Consideremos el polinomio cúbico como ax 3 +bx 2 +cx+d y los ceros de los polinomios sean α, β, γ.
α+β+γ = -b/a = 2/1
αβ +βγ+γα = c/a = -7/1
α βγ = -d/a = -14/1
Al comparar
a = 1, b = -2, c = -7, d = 14
Por lo tanto, el polinomio cúbico es x 3 -2x 2 -7x+14
Pregunta 3. Si los ceros del polinomio x 3 – 3x 2 + x + 1 son a – b, a, a + b, encuentra a y b.
Solución:
p(x) = x3 -3×2 + x +1
Los ceros se dan como a – b, a, a + b
px 3 +qx 2 +rx+s = x 3 -3x 2 +x+1
Al comparar
p = 1, q = -3, r = 1 y s = 1
Suma de ceros = a – b + a + a + b
-q/p = 3a
Poniendo los valores q y p.
-(-3)/1 = 3a
un=1
Por lo tanto, los ceros son 1-b, 1, 1+b.
Producto de ceros = 1(1-b)(1+b)
-s/p = 1-b 2
-1/1 = 1-b 2
segundo 2 = 1+1 = 2
segundo = √2
Por lo tanto,1-√2, 1,1+√2 son los ceros de x 3 -3x 2 +x+1.
Pregunta 4. Si dos ceros del polinomio x 4 -6x 3 -26x 2 +138x-35 son 2 ± √ 3, encuentra otros ceros.
Solución:
El grado del polinomio es 4
Por lo tanto, tiene cuatro raíces.
f(x) = x 4 -6x 3 -26x 2 +138x-35
Como 2 +√3 y 2-√3 son ceros del polinomio dado f(x).
Por lo tanto, [x−(2+√3)] [x−(2-√3)] = 0
(x−2−√3)(x−2+√3) = 0
Por lo tanto, x 2 -4x+1 es un factor del polinomio f(x).
Sea g(x) = x 2 -4x+1
Dividiendo f(x) por g(x) obtenemos otro factor de f(x)
x 4 -6x 3 -26x 2 +138x-35 = (x 2 -4x+1)(x 2 –2x−35)
Al factorizar (x 2 –2x−35) dividiendo el término medio
x2 –(7−5)x −35 = x2 – 7x+5x- 35
=x(x−7)+5(x−7)
(x+5)(x−7) = 0
x= −5 y x = 7.
Por lo tanto, los cuatro ceros de la ecuación polinomial dada son: 2+√3, 2-√3, −5 y 7.
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Artículo escrito por kashika1145 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA