Pregunta 1. Evaluar:
(i) sen 18° / cos 72°
Solución:
Ya que,
cos 72° = cos ( 90° – 18° ) = sen 18°
Por lo tanto,
sen 18° / cos 72° = sen 18° / sen 18° = 1
Por tanto, sen 18° / cos 72° = 1.
(ii) bronceado 26° / cuna 64°
Solución:
Ya que,
cuna 64° = cuna ( 90° – 26° ) = bronceado 26°
Por lo tanto,
bronceado 26° / cuna 64° = bronceado 26° / bronceado 26° = 1
Por lo tanto, tan 26° / cot 64° = 1.
(iii) cos 48° – sen 42°
Ya que,
cos 48° = cos ( 90° – 42° ) = sen 42°
Por lo tanto,
cos 48° – sen 42° = sen 42° – sen 42° = 0
Por lo tanto, cos 48° – sen 42° = 0.
(iv) cosec 31° – sec 59°
Solución:
Ya que,
seg 59° = seg ( 90° – 31° ) = cosec 31°
Por lo tanto ,
cosec 31° – seg 59° = cosec 31° – cosec 31° = 0
Por lo tanto, cosec 31° – sec 59° = 0.
Pregunta 2. Demuestra que:
(i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1
Solución:
Sea A = tan 48° tan 23° tan 42° tan 67°
Ya que ,
tan 23° = tan( 90° – 23° ) = cot 67° y,
bronceado 42° = cuna ( 90° – 42° ) = cuna 48°
Por lo tanto,
A = bronceado 48° cuna 67° cuna 48° bronceado 67°
A = 1 (Ya que, tan B° cot B° = 1)
Por lo tanto, tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1
(ii) cos 38° cos 52° – sen 38° sen 52° = 0
Sea A = cos 38° cos 52° – sen 38° sen 52°
Ya que,
sen 52° = sen (90° – 38°) = cos 38° y,
cos 52° = cos(90° – 52°) = sen 38°
Por lo tanto,
A = cos 38° sen 38° – sen 38° cos 38°
un = 0
Por lo tanto, cos 38° cos 52° – sen 38° sen 52° = 0.
Pregunta 3. Si tan 2A = cot (A – 18°), donde 2A es un ángulo agudo, encuentre el valor de A.
Solución:
Tenemos,
bronceado 2A = cuna ( A – 18° ) —(1)
Ya que,
bronceado (2A) = cuna ( 90° – 2A ) — (2)
Poniendo (2) en (1),
cuna ( 90° – 2A ) = cuna ( A – 18° )
Por lo tanto,
90° – 2A = A – 18°
3A = 108°
A = 36°
Por lo tanto, A = 36°.
Pregunta 4. Si tan A = cot B, demuestre que A + B = 90°.
Solución:
Tenemos,
bronceado A = cuna B —(1)
Ya que,
bronceado (A) = cuna (90° – A) — (2)
Poniendo (2) en (1),
cuna (90° – A) = cuna (B)
Por lo tanto,
90° – A = B
Por lo tanto, A + B = 90°.
Pregunta 5. Si sec 4A = cosec (A – 20°), donde 4A es un ángulo agudo, encuentra el valor de A.
Solución:
Tenemos,
seg 4A = cosec ( A – 20° ) —(1)
Ya que,
seg 4A = cosec ( 90° – 4A ) — (2)
Poniendo (2) en (1),
cosec ( 90° – 4A ) = cosec ( A – 20° )
Por lo tanto,
90° – 4A = A – 20°
5A = 110°
A = 22°
Por lo tanto, A = 22° .
Pregunta 6. Si A, B y C son ángulos interiores de un triángulo ABC, entonces demuestre que sen ((B + C) / 2) = cos (A / 2).
Solución:
Sea T = sen ((B + C) / 2) — (1)
A, B y C son los ángulos interiores del triángulo ABC, por lo tanto,
A + B + C = 180°
Dividiendo por 2 en ambos lados
(B + C)/2 = 90° – (A / 2) —(2)
Poniendo (2) en (1)
T = sen (90° – (A / 2)
= porque (A / 2)
Por tanto, sen ((B + C)/2) = cos (A/2).
Pregunta 7. Expresar sen 67° + cos 75° en términos de razones trigonométricas de ángulos entre 0° y 45°
Solución:
Sea A = sen 67° + cos 75°
Ya que,
sen 67° = sen(90° – 23°) = coseno (23°)
coseno 75° = coseno (90° – 15°) = sen (15°)
Por lo tanto,
sen 67° + cos 75° = cos 23° + sen 15°