Pregunta 1. Encuentra el área del triángulo cuyos vértices son:
(i) (2, 3), (-1, 0), (2, -4)
Solución:
Área = 1/2 [x 1 (y 2 – y 3 ) + x 2 (y 3 – y 1 ) + x 3 (y 1 – y 2 )]
Ahora, al poner todos los valores en la fórmula, obtendremos
Área del triángulo = 1/2 [2(0 – (-4)) + (-1)((-4) – (3)) + 2(3 – 0)]
= 1/2 [8 + 7 + 6]
= 21/2
Entonces, el área del triángulo es 21/2 unidades cuadradas.
(ii) (-5, -1), (3, -5), (5, 2)
Solución:
Área = 1/2 [x 1 (y 2 – y 3 ) + x 2 (y 3 – y 1 ) + x 3 (y 1 – y 2 )]
Área del triángulo = 1/2 [(-5)((-5) – (2)) + 3(2 – (-1)) + 5((-1) – (-5))]
= 1/2[35 + 9 + 20]
= 32
Entonces, el área del triángulo es de 32 unidades cuadradas.
Pregunta 2. En cada uno de los siguientes encuentre el valor de ‘k’, para el cual los puntos son colineales.
(i) (7, -2), (5, 1), (3, -k)
Solución:
Como sabemos el resultado, para puntos colineales, el área del triángulo formado por ellos es siempre cero.
Sean los puntos (7, -2) (5, 1) y (3, k) vértices de un triángulo. (Como se indica en la pregunta)
Área del triángulo = 1/2 [7(1 – k) + 5(k – (-2)) + 3((-2) – 1)] = 0
7 – 7k + 5k +10 -9 = 0
-2k + 8 = 0
k = 4
(ii) (8, 1), (k, -4), (2, -5)
Solución:
Como sabemos el resultado, para puntos colineales, el área del triángulo formado por ellos es cero.
Entonces podemos decir que para los puntos (8, 1), (k, – 4) y (2, – 5), área = 0
1/2 [8((-4) – (-5)) + k((-5) – (1)) + 2(1 -(-4))] = 0
8 – 6k + 10 = 0
6k = 18
k = 3
Pregunta 3. Encuentra el área del triángulo formado al unir los puntos medios de los lados del triángulo cuyos vértices son (0, -1), (2, 1) y (0, 3). Encuentra la razón de esta área al área del triángulo dado.
Solución:
Supongamos que los vértices del triángulo son A(0, -1), B(2, 1), C(0, 3).
Supongamos que D, E, F son los puntos medios de los lados del triángulo.
Las coordenadas de D, E y F son
D = ((0 + 2)/2, (-1 + 1)/2) = (1, 0)
E = ((0+ 0)/2, (-1 + 3)/2) = (0, 1)
F = ((2+0)/2, (1 + 3)/2) = (1, 2)
Área (ΔDEF) = 1/2 [1(2 – 1) + 1(1 – 0) + 0(0 – 2)] = 1/2 (1+1) = 1
El área de ΔDEF es 1 unidad cuadrada
Área (ΔABC) = 1/2 [0(1 – 3) + 2(3 – (-1)) + 0((-1) – 1)] = 1/2 [8] = 4
El área de ΔABC es 4 unidades cuadradas
Entonces, la relación requerida es 1:4.
Pregunta 4. Encuentra el área del cuadrilátero cuyos vértices, tomados en orden, son (-4, -2), (-3, -5), (3, -2) y (2, 3).
Solución:
Sean los vértices del cuadrilátero A(-4, -2), B(-3, -5), C(3, -2) y D(2, 3).
Aquí, AC divide el cuadrilátero en dos triángulos.
Ahora, tenemos dos triángulos ΔABC y ΔACD.
Área de ΔABC = 1/2 [(-4)((-5) – (-2)) + (-3)((-2) – (-2)) + 3((-2) – (-5 ))]
= 1/2 [12 + 0 + 9]
= 21/2 unidades cuadradas
Área de ΔACD = 1/2 [(-4)((-2) – (3)) + 3((3) – (-2)) + 2((-2) – (-2))]
= 1/2 [20 + 15 + 0]
= 35/2 unidades cuadradas
Ahora sumaremos el área de ambos triángulos y la resultante dará el área del cuadrilátero
Área del cuadrilátero ABCD = Área de ΔABC+ Área de ΔACD
= (21/2 + 35/2) unidades cuadradas = 28 unidades cuadradas
Pregunta 5. Has estudiado en la Clase IX que la mediana de un triángulo lo divide en dos triángulos de áreas iguales. Verifica este resultado para ΔABC cuyos vértices son A (4, -6), B (3, -2) y C (5, 2).
Solución:
Sean los vértices del triángulo A(4, -6), B(3, -2) y C(5, 2).
Supongamos que D es el punto medio del lado BC de ΔABC. Entonces, AD es la mediana en ΔABC.
Coordenadas del punto D = Punto medio de BC = (4, 0)
Fórmula: Área = 1/2 [x 1 (y 2 – y 3 ) + x 2 (y 3 – y 1 ) + x 3 (y 1 – y 2 )]
Ahora,
Área de ΔABD = 1/2 [(4)((-2) – (0)) + 3((0) – (-6)) + (4)((-6) – (-2))]
= 1/2 [-8 + 18 – 16]
= -3 unidades cuadradas
Como sabemos, el área no puede ser negativa. Entonces, el área de ΔABD es de 3 unidades cuadradas.
Área de ΔACD = 1/2 [(4)(0 – (2)) + 4((2) – (-6)) + (5)((-6) – (0))]
= 1/2 [-8 + 32 – 30]
= -3 unidades cuadradas
Como sabemos, el área no puede ser negativa. Entonces, el área de ΔACD es de 3 unidades cuadradas.
El área de ambos lados es la misma.
Entonces podemos decir que, la mediana AD ha dividido ΔABC en dos triángulos de áreas iguales.
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Artículo escrito por vaibhavkumar303 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA