Clase 10 Soluciones NCERT – Capítulo 1 Números reales – Ejercicio 1.2

Pregunta 1: Exprese cada número como un producto de sus factores primos:

(yo) 140

(ii) 156

(iii) 3825

(iv) 5005

(v) 7429

Soluciones:

(yo) 140

Tomando el MCM de 140,

140 = 2 × 2 × 5 × 7 × 1 = 2 ² × 5 × 7

Por lo tanto, el producto de los factores primos es 2 ² × 5 × 7

(ii) 156

Tomando el MCM de 156,

156 = 2 × 2 × 3 × 13 × 1 = 2 ² × 3 × 13

Por lo tanto, el producto de los factores primos es 2 ² × 3 × 13

(iii) 3825

Tomando el LCM de 3825,

3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17 × 1 = 3 ² × 5 ² × 17

Por lo tanto, el producto de los factores primos es 3 ² × 5 ² × 17

(iv) 5005

Tomando el LCM de 5005,

5005 = 5 × 7 × 11 × 13 × 1 = 5 × 7 × 11 × 13

Por tanto, el producto de los factores primos es 5 × 7 × 11 × 13

(v) 7429

Tomando el LCM de 7429,

7429 = 17 × 19 × 23 × 1 = 17 × 19 × 23

Por tanto, el producto de los factores primos es 17 × 19 × 23

Pregunta 2: Encuentra el LCM y el HCF de los siguientes pares de enteros y verifica que LCM × HCF = producto de los dos números.

(i) 26 y 91

(ii) 510 y 92

(iii) 336 y 54

Soluciones:

(i) 26 y 91

Tomando el MCM de 26,

26 = 2 × 13 × 1

Tomando el MCM de 91,

91 = 7 × 13 × 1

Por lo tanto, MCM de 26 y 91 juntos = 2 × 7 × 13 × 1 = 182

HCF de 26 y 91 = 13

Ahora, el producto de 26 y 91 = 26 × 91 = 2366

Y el producto de LCM y HCF = 182 × 13 = 2366

Por lo tanto, LCM × HCF = producto de 26 y 91.

(ii) 510 y 92

Tomando el MCM de 510,

510 = 2 × 3 × 17 × 5 × 1

Tomando el MCM de 92,

92 = 2 × 2 × 23 × 1

Por lo tanto, MCM de 510 y 92 = 2 × 2 × 3 × 5 × 17 × 23 = 23460

HCF de 510 y 92 = 2

Ahora, el producto de 510 y 92 = 510 × 92 = 46920

Y el producto de LCM y HCF = 23460 × 2 = 46920

Por lo tanto, LCM × HCF = producto de 510 y 92.

(iii) 336 y 54

Tomando el MCM de 336,

336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 3 × 1

Tomando el MCM de 54,

54 = 2 × 3 × 3 × 3 × 1

Por lo tanto, MCM de 336 y 54 = 3024

HCF de 336 y 54 = 2×3 = 6

Ahora, el producto de 336 y 54 = 336 × 54 = 18144

Y el producto de LCM y HCF = 3024 × 6 = 18144

Por lo tanto, LCM × HCF = producto de 336 y 54.

Pregunta 3: Encuentra el MCM y el HCF de los siguientes números enteros aplicando el método de factorización prima.

(i) 12, 15 y 21

(ii) 17, 23 y 29

(iii) 8, 9 y 25

Soluciones:

(i) 12, 15 y 21

Tomando el MCM de 12,

12=2×2×3

Tomando el MCM de 15,

15=5×3

Tomando el MCM de 21,

21=7×3

Por lo tanto,

HCF de 12, 15 y 21 = 3

MCM de 12, 15 y 21 = 2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 420

(ii) 17, 23 y 29

Tomando el MCM de 17,

17=17×1

Tomando el MCM de 23,

23=23×1

Tomando el MCM de 29,

29=29×1

Por lo tanto,

HCF de 17, 23 y 29 = 1

MCM de 17, 23 y 29 = 17 × 23 × 29 = 11339

(iii) 8, 9 y 25

Tomando el MCM de 8,

8=2×2×2×1

Tomando el MCM de 9,

9=3×3×1

Tomando el MCM de 25,

25=5×5×1

Por lo tanto,

HCF de 8, 9 y 25 = 1

MCM de 8, 9 y 25 = 2×2×2×3×3×5×5 = 1800

Pregunta 4: Dado que HCF (306, 657) = 9, encuentre MCM (306, 657).

Solución: 

Dado: HCF (306, 657) = 9

Lo sabemos,

HCF×LCM=Producto de los dos números dados

Por lo tanto, sustituyendo el valor que obtenemos,

9 × mcm = 306 × 657

MCM = (306×657)/9 = 22338

mcm (306657) = 22338

Por lo tanto, el MCM (306657) = 22338

Pregunta 5: Comprueba si 6 ⁿ puede terminar con el dígito 0 para cualquier número natural n.

Solución: 

Si el número dado 6 ⁿ termina con el dígito 0, entonces debería ser divisible por 5.

Sabemos que si cualquier número con la unidad como 0 o 5 es divisible por 5.

Por lo tanto,

Por descomposición en factores primos de 6 ⁿ = (2×3) ⁿ

Dado que la descomposición en factores primos de 6 ⁿ no contiene el número primo 5.

Por lo tanto, 6 ⁿ no puede terminar con el dígito 0 para ningún número natural.

Pregunta 6: Explica por qué 7 × 11 × 13 + 13 y 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 son números compuestos.

Solución: 

Sabemos por la definición de un número compuesto, que el número compuesto tiene factores distintos de 1 y él mismo. 

Por lo tanto, en la expresión dada

7 × 11 × 13 + 13

Tomando 13 como factor común, obtenemos,

=13(7×11×1+1) 

= 13(77+1) 

= 13×78 [tomando factores primos de 78]

= 13×3×2×13

Por lo tanto, 7 × 11 × 13 + 13 es un número compuesto.

Ahora, para el ^segundo número

7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5

Tomando 5 como factor común, obtenemos,

=5(7×6×4×3×2×1+1) 

= 5(1008+1) 

= 5×1009

Por lo tanto, 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 es un número compuesto.

Pregunta 7: Hay un camino circular alrededor de un campo deportivo. Sonia tarda 18 minutos en dar una vuelta al campo, mientras que Ravi tarda 12 minutos en hacer lo mismo. Supongamos que ambos comienzan en el mismo punto y al mismo tiempo y van en la misma dirección. ¿Después de cuántos minutos se volverán a encontrar en el punto de partida?

Solución: 

Dado: Tanto Sonia como Ravi se mueven en la misma dirección y al mismo tiempo.

Ahora, el tiempo en que se volverán a encontrar en el punto de partida se puede calcular encontrando el MCM de 18 y 12

Por lo tanto, 

MCM (18, 12) = 2×3×3×2×1 = 36

Finalmente, ambos se volverán a encontrar en el punto de partida tras 36 minutos.