Pregunta 1. Encuentra las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas por factorización:
(yo) x 2 – 3x – 10 = 0
Solución:
Aquí, LHS = x 2 – 3x – 10
= x 2 – 5x + 2x – 10
= x(x-5) + 2(x-5)
= (x – 5)(x + 2)
Las raíces de esta ecuación, x 2 – 3x – 10 = 0 son los valores de x para los cuales
(x – 5)(x + 2) = 0
Por lo tanto, x – 5 = 0 o x + 2 = 0
⇒ x = 5 o x = -2
(ii) 2x 2 + x – 6 = 0
Solución:
Aquí, LHS = 2x 2 + x – 6
= 2x 2 + 4x – 3x – 6
= 2x(x+2) – 3(x+2)
= (2x– 3)(x + 2)
Las raíces de esta ecuación, 2x 2 + x – 6 = 0 son los valores de x para los cuales
(2x– 3)(x + 2) = 0
Por lo tanto, 2x– 3 = 0 o x + 2 = 0
⇒ x = 3/2 o x = –2
(iii) √2x 2 + 7x + 5√2 = 0
Solución:
Aquí, LHS = √2x 2 + 7x + 5√2
= √2x 2 + 5x + 2x + 5√2
= x(√2x + 5) + √2(√2x + 5)
= (√2x + 5) (x +√2)
Las raíces de esta ecuación, √2x 2 + 7x + 5√2 = 0 son los valores de x para los cuales
(√2x + 5) (x +√2) = 0
Por lo tanto, √2x + 5 = 0 o x +√2 = 0
⇒ x = –5/√2 o x = –√2
(iv) 2x 2 – x + 1/8 = 0
Solución:
Aquí, LHS = 2x 2 – x + 1/8
= 1/8(16x 2 – 8x + 1)
= 1/8(16x 2 – 4x -4x + 1)
= 1/8(4x(4x-1) -1 (4x-1))
= 1/8 (4x-1) (4x-1)
Las raíces de esta ecuación, 2x 2 – x + 1/8 = 0 son los valores de x para los cuales
1/8 (4x-1) (4x-1) = 0
(4x-1) 2 = 0
Por lo tanto, 4x-1 = 0 o 4x-1 = 0
⇒ x = 1/4 o x = 1/4
(v) 100x 2 – 20x + 1 = 0
Solución:
Aquí, LHS = 100x 2 – 20x + 1
= 100x 2 – 10x – 10x + 1
= 10x(10x – 1) – 1(10x – 1)
= (10x – 1) (10x – 1)
Las raíces de esta ecuación, 100x 2 – 20x + 1 = 0 son los valores de x para los cuales
(10x – 1) (10x – 1) = 0
(10x – 1) 2 = 0
Por lo tanto, 10x – 1 = 0 o 10x – 1 = 0
⇒ x = 1/10 o x = 1/10
Pregunta 2. Resuelve matemáticamente las siguientes situaciones:
(i) John y Jivanti juntos tienen 45 canicas. Ambos perdieron 5 canicas cada uno y el producto del número de canicas que ahora tienen es 124. Nos gustaría saber con cuántas canicas tenían al principio.
Solución:
Digamos,
El número de canicas que tiene Juan = x.
Entonces, número de canicas que Jivanti tiene = 45 – x
Después de perder 5 canicas cada uno,
Número de canicas que tiene Juan = x – 5
Número de canicas que Jivanti tiene = 45 – x – 5 = 40 – x
Aquí, de acuerdo con la condición dada
(x-5)(40-x) = 124
x2 – 45x + 324 = 0
x 2 – 36x – 9x + 324 = 0
x(x-36) -9(x-36) = 0
(x-36)(x-9) = 0
Por lo tanto, x – 36 = 0 o x – 9 = 0
x = 36 o x = 9
Por lo tanto,
Si las canicas de John = 36, entonces las canicas de Jivanti = 45 – 36 = 9
Y si las canicas de John = 9, entonces las canicas de Jivanti = 45 – 9 = 36
(ii) Una industria artesanal produce cierta cantidad de juguetes en un día. Se encontró que el costo de producción de cada juguete (en rupias) era 55 menos la cantidad de juguetes producidos en un día. En un día en particular, el costo total de producción fue de ₹ 750. Nos gustaría saber la cantidad de juguetes producidos ese día.
Solución:
Déjanos decir,
Número de juguetes producidos en un día sea x.
Por lo tanto, costo de producción de cada juguete = Rs(55 – x)
Dado, el costo total de producción de los juguetes = Rs 750
Entonces, x(55 – x) = 750
x2 – 55x + 750 = 0
x 2 – 25x – 30x + 750 = 0
x(x-25) -30(x-25) = 0
(x-25)(x-30) = 0
Por lo tanto, x – 25 = 0 o x – 30 = 0
x = 25 o x = 30
Por lo tanto, la cantidad de juguetes producidos en un día será 25 o 30.
Pregunta 3. Encuentra dos números cuya suma sea 27 y el producto sea 182.
Solución:
Digamos,
El primer número es x y el segundo número es 27 – x.
Por tanto, el producto de dos números será:
x(27 – x) = 182
x 2 – 27x – 182 = 0
x 2 – 13x – 14x + 182 = 0
x(x-13) -14(x-13) = 0
(x-13)(x-14) = 0
Por lo tanto, x – 13 = 0 o x – 14= 0
x = 13 o x = 14
Por lo tanto, si el primer número = 13, entonces el segundo número = 27 – 13 = 14
Y si el primer número = 14, entonces el segundo número = 27 – 14 = 13
Por lo tanto, los números son 13 y 14.
Pregunta 4. Encuentra dos números enteros positivos consecutivos, cuya suma de cuadrados sea 365.
Solución:
Digamos,
Dos enteros positivos consecutivos sean x y x + 1.
Aquí, de acuerdo con la condición dada,
x2 + (x + 1)2 = 365
x2 + x2 + 1 + 2x = 365
2x 2 + 2x – 364 = 0
x 2 + x – 182 = 0
x2 + 14x – 13x – 182 = 0
x(x + 14) -13(x + 14) = 0
⇒ (x + 14)(x – 13) = 0
Por lo tanto, x – 13 = 0 o x + 14= 0
x = 13 o x = – 14
Como aquí se dice enteros positivos, entonces x puede ser 13, solamente.
Asi que,
x = 13
y, x + 1 = 13 + 1 = 14
Por lo tanto, dos enteros positivos consecutivos serán 13 y 14.
Pregunta 5. La altura de un triángulo rectángulo es 7 cm menor que su base. Si la hipotenusa mide 13 cm, encuentra los otros dos lados.
Solución:
Digamos,
La base del triángulo rectángulo sea x cm.
Entonces, la altura del triángulo rectángulo = (x – 7) cm
Base 2 + Altitud 2 = Hipotenusa 2 ( teorema de Pitágoras )
x 2 + (x – 7) 2 = 132
x 2 + x 2 + 49 – 14x = 169 (usando la identidad (ab) 2 = a 2 – 2ab + b 2 )
2x 2 – 14x – 120 = 0
x 2 – 7x – 60 = 0 (Dividiendo por 2)
x 2 – 12x + 5x – 60 = 0
x(x-12) + 5(x-12) = 0
(x – 12)(x + 5) = 0
Por lo tanto, x – 12 = 0 o x + 5= 0
x = 12 o x = – 5
Como, aquí el lado será un número entero positivo, por lo que x puede ser 12, solo.
Por lo tanto, la base del triángulo dado es de 12 cm y,
la altura de este triángulo será (12 – 7) cm = 5 cm.
Pregunta 6. Una industria artesanal produce una cierta cantidad de artículos de cerámica en un día. Se observó en un día particular que el costo de producción de cada artículo (en rupias) era 3 más del doble del número de artículos producidos ese día. Si el costo total de producción ese día fue de ₹ 90, encuentre la cantidad de artículos producidos y el costo de cada artículo.
Solución:
Digamos,
Número de artículos producidos sea x.
Entonces, costo de producción de cada artículo = ₹ (2x + 3)
Aquí, de acuerdo con la condición dada
x(2x + 3) = 90
2x 2 + 3x – 90 = 0
2x 2 + 15x -12x – 90 = 0
x(2x + 15) -6(2x + 15) = 0
(2x + 15)(x – 6) = 0
Por lo tanto, 2x +15 = 0 o x – 6= 0
x = –15/2 o x = 6
Como el número de artículos producidos solo puede ser un número entero positivo,
Entonces, x = 6.
Por lo tanto, número de artículos producidos = 6
Costo de cada artículo = 2 × 6 + 3 = ₹ 15.