Pregunta 1. ¿En cuál de las siguientes situaciones, la lista de números involucrados hace una progresión aritmética y por qué?
(i). La tarifa de taxi después de cada kilómetro cuando la tarifa es de Rs. 15 para los primeros km y Rs. 8 por cada km adicional.
Solución:
Tarifa inicial = 0
Después de completar 1 km, tarifa = 15
Después de completar 2 km, tarifa = 15 + 8 = 23
Después de completar 3 km, tarifa = 23 + 8 = 31
Y así
Entonces puedes escribir la tarifa en serie como
15, 23, 31, 39,……… y así sucesivamente
Aquí puedes ver que el primer término es 15 y la diferencia entre dos términos cualquiera es 8. Entonces, esta serie está en progresión aritmética.
Nota: Se dice que una serie está en progresión aritmética si cualquier término se puede encontrar sumando un número fijo al término anterior. El primer término se denota como y el número fijo se conoce como una diferencia que se denota por d.
En la serie anterior a = 15 y d = 8
(ii). La cantidad de aire presente en un cilindro cuando una bomba de vacío elimina 1/4 del aire que queda en el cilindro a la vez.
Solución:
Volumen inicial de aire en el cilindro = R 2 H
Cantidad de aire eliminado por la bomba de vacío = R 2 H/4
Aire restante = 3 * R 2 H/4
De nuevo, cantidad de aire eliminado por la bomba de vacío = 3 * R 2 H/16
Aire restante = 3 * R 2 H/4 – 3 * R 2 H/16 = 9 * R 2 H/16
y así
La serie se puede escribir como: R 2 H, 3 * R 2 H/4, 9*R 2 H/16,……… y así sucesivamente
Puede ver que aquí no hay una diferencia común entre dos términos. Entonces, esta serie no es una progresión aritmética.
(iii). El costo de cavar un pozo después de cada metro de excavación, cuando cuesta Rs. 150 para el primer metro y se eleva por Rs. 50 por cada metro subsiguiente.
Solución:
El costo de excavar un pozo para el primer metro es de 150 rupias
El costo de excavar un pozo de dos metros es 150 + 50 = 200 rupias
El costo de excavar un pozo de tres metros es 200 + 50 = 250 rupias
Y así
Las series para el costo de excavar un pozo parecen 150, 200, 250, 300,……… y así sucesivamente.
Aquí puede ver que después del primer término, cualquier término se puede encontrar sumando 50 al término anterior. Por lo tanto, la serie anterior está en progresión aritmética con el primer término 150 y la diferencia común es 50.
(iv). La cantidad de dinero en la cuenta cada año, cuando se depositan Rs 10000 a un interés compuesto del 8% anual.
Solución:
La fórmula para el interés compuesto viene dada por P(1 + r/100) n donde P es el monto principal, r es la tasa de interés y n es la duración del tiempo.
Entonces, la serie se puede escribir como: 10000(1 + 8/100), 10000(1 + 8/100) 2 ,10000(1 + 8/100) 3 ,……… y así sucesivamente
A medida que aumenta la duración del tiempo, el interés compuesto aumentará exponencialmente. Por lo tanto, esto no puede formar una serie en series aritméticas porque no hay una diferencia común fija entre dos términos.
Pregunta 2. Escribe los cuatro términos del AP cuando el primer término a y la diferencia común d se dan de la siguiente manera:
(i). a = 10, d = 10
Solución:
Dado:
un 1 = un = 10
re = 10
Ahora encontramos los términos restantes:
Segundo término(a 2 ) = a 1 + d = 10 + 10 = 20
Tercer término(a 3 ) = a 2 + d = 20 + 10 = 30
Cuarto término(a 4 ) = a 3 + d = 30 + 10 = 40
y así.
Entonces, cuatro términos de este AP serán los siguientes
10, 20, 30, 40,….
(ii) a = -2, d = 0
Solución:
Dado:
un 1 = un = -2
re = 0
Ahora encontramos los términos restantes:
Segundo término(a 2 ) = a 1 + d = -2 + 0 = -2
Tercer término (a 3 ) = a 2 + d = -2 + 0 = -2
Cuarto término(a 4 ) = a 3 + d = -2 + 0 = -2
y así.
Entonces, cuatro términos de este AP serán los siguientes
-2, -2, -2, -2,….
(iii). a = 4, d = -3
Solución:
Dado:
un 1 = un = 4
d = -3
Ahora encontramos los términos restantes:
Segundo término(a 2 ) = a 1 + d = 4 + (-3) = 1
Tercer término(a 3 ) = a 2 + d = 1 + (-3) = -2
Cuarto término(a 4 ) = a 3 + d = -2 + (-3) = -5
y así.
Entonces, cuatro términos de este AP serán los siguientes
4, 1, -2, -5,….
(iv). a = -1, d = 1/2
Solución:
Dado:
un 1 = un = -1
re = 1/2
Ahora encontramos los términos restantes:
Segundo término(a 2 ) = a 1 + d = -1 + 1/2 = -1/2
Tercer término(a 3 ) = a 2 + d = (-1/2) + (1/2) = 0
Cuarto término(a 4 ) = a 3 + d = 0 + (1/2) = 1/2
y así.
Entonces, cuatro términos de este AP serán los siguientes
-1, -1/2, 0, 1/2,….
(v). a = -1,25, d = -0,25
Solución:
Dado:
un 1 = un = -1.25
d = -0,25
Ahora encontramos los términos restantes:
Segundo término(a 2 ) = a 1 + d = -1.25 – 0.25 = – 1.50
Tercer término (a 3 ) = a 2 + d = -1.50 – 0.25 = -1.75
Cuarto término(a 4 ) = a 3 + d = -1.75 – 0.25 = -2.00
y así.
Entonces, cuatro términos de este AP serán los siguientes
-1,25, -1,50, -1,75, -2,00,….
Pregunta 3: Para los siguientes AP, escriba el primer término y la diferencia común.
(i). 3, 1, -1, -3,….
Solución:
Del AP anterior, primer término (a) = 3
Diferencia común (d) = segundo término – primer término
= 1 – 3 = -2
(ii). -5, -1, 3, 7,….
Solución:
Del AP anterior, primer término (a) = -5
Diferencia común (d) = segundo término – primer término
= -1 – (-5)
= -1 + 5 = 4
(iii). 1/3, 5/3, 9/3, 13/3,….
Solución:
Del AP anterior, primer término (a) = 1
Diferencia común (d) = segundo término – primer término
= 5/3 – 1/3
= 4/3
(iv). 0,6, 1,7, 2,8, 3,9,….
Solución:
Del AP anterior, primer término (a) = 0.6
Diferencia común (d) = segundo término – primer término
= 1,7 – 0,6
= 1,1
Pregunta 4. ¿Cuáles de los siguientes son AP? Si forman un AP, encuentra la diferencia común d y escribe tres términos más.
(i). 2, 4, 8, 16,….
Solución:
Primero verificamos que la serie dada sea AP o no al encontrar una diferencia común:
re 1 = un 2 + un 1 = 4 – 2 = 2
re 2 = un 3 + un 2 = 8 – 4 = 4
Entonces d 1 ≠ d 2
Por lo tanto, esta serie no forma un AP porque no hay una diferencia común fija.
(ii). 2, 5/2, 3, 7/2,….
Solución:
Primero verificamos que la serie dada sea AP o no al encontrar una diferencia común:
re 1 = un 2 + un 1 = 5/2 – 2 = 1/2
re 2 = un 3 + un 2 = 3 – 5/2 = 1/2
Entonces d 1 = d 2
Por lo tanto, la serie anterior está en progresión aritmética y la diferencia común es 1/2.
Ahora encontramos los términos restantes de la AP:
Quinto término(a 5 ) = a 4 + d = 7/2 + 1/2 = 4
Sexto término(a 6 ) = a 5 + d = (4) + (1/2) = 9/2
Séptimo término(a 7 ) = a 6 + d = 9/2 + (1/2) = 5
Entonces, los siguientes tres términos son: 4, 9/2, 5
(iii). -1.2, -3.2, -5.2, -7.2,….
Solución:
Primero verificamos que la serie dada sea AP o no al encontrar una diferencia común:
re 1 = un 2 + un 1 = -3.2 – (-1.2) = -2.0
re 2 = un 3 + un 2 = -5.2 – (-3.2) = -2.0
Entonces d 1 = d 2
Por lo tanto, la serie anterior está en progresión aritmética y la diferencia común es -2.0
Ahora encontramos los términos restantes de la AP:
Quinto término(a 5 ) = a 4 + d = (-7.2) + (-2.0) = -9.2
Sexto término(a 6 ) = a 5 + d = (-9.2) + (-2.0) = -11.2
Séptimo término(a 7 ) = a 6 + d = (-11.2) + (-2.0) = -13.2
Entonces, los siguientes tres términos son: -9.2, -11.2, -13.2
(iv). -10, -6, -2, 2,….
Solución:
Primero verificamos que la serie dada sea AP o no al encontrar una diferencia común:
re 1 = un 2 + un 1 = -6 – (-10) = 4
re 2 = un 3 + un 2 = -2 – (-6) = 4
Entonces d 1 = d 2
Por lo tanto, la serie anterior está en progresión aritmética y la diferencia común es 4
Ahora encontramos los términos restantes de la AP:
Quinto término(a 5 ) = a 4 + d = 2 + 4 = 6
Sexto término(a 6 ) = a 5 + d = 6 + 4 = 10
Séptimo término(a 7 ) = a 6 + d = 10 + 4 = 14
Entonces, los siguientes tres términos son 6, 10, 14
(v). 3, 3+√2, 3+2√2, 3+3√2,….
Solución:
Primero verificamos que la serie dada sea AP o no al encontrar una diferencia común:
re 1 = un 2 + un 1 = 3 + √2 – 3 = √2
re 2 = un 3 + un 2 = 3 + 2√2 – (3 + √2) = √2
Entonces d 1 = d 2
Por lo tanto, la serie anterior está en progresión aritmética y la diferencia común es √2
Ahora encontramos los términos restantes de la AP:
Quinto término(a 5 ) = a 4 + d = (3 + 3√2) + √2 = 3 + 4√2
Sexto término(a 6 ) = a 5 + d = (3 + 4√2) + √2 = 3 + 5√2
Séptimo término(a 7 ) = a 6 + d = (3 + 5√2) + √2 = 3 + 6√2
Entonces, los próximos tres términos son 3+4√2, 3+5√2, 3+6√2
(vi). 0,2, 0,22, 0,222, 0,2222,….
Solución:
Primero verificamos que la serie dada sea AP o no al encontrar una diferencia común:
re 1 = un 2 + un 1 = 0,22 – 0,2 = 0,02
d2 = a3 + a2 = 0,222 – 0,22 = 0,002
Entonces d 1 ≠ d 2
Por lo tanto, esta serie no forma un AP porque no hay una diferencia común fija.
(vii). 0, -4, -8, -12,….
Solución:
Primero verificamos que la serie dada sea AP o no al encontrar una diferencia común:
re 1 = un 2 + un 1 = -4 – 0 = -4
re 2 = un 3 + un 2 = -8 – (-4) = -4
Entonces d 1 = d 2
Por lo tanto, la serie anterior está en progresión aritmética y la diferencia común es -4
Ahora encontramos los términos restantes de la AP:
Quinto término(a 5 ) = a 4 + d = (-12) + (-4) = -16
Sexto término(a 6 ) = a 5 + d = (-16) + (-4) = -20
Séptimo término(a 7 ) = a 6 + d = (-20) + (-4) = -24
Entonces, los siguientes tres términos son -16, -20, -24
(viii). -1/2, -1/2, -1/2, -1/2,….
Solución:
Primero verificamos que la serie dada sea AP o no al encontrar una diferencia común:
re 1 = un 2 + un 1 =-1/2 – (-1/2) = 0
re 2 = un 3 + un 2 = -1/2 – (-1/2) = 0
Entonces d 1 = d 2
Por lo tanto, la serie anterior está en progresión aritmética y la diferencia común es 0
Ahora encontramos los términos restantes de la AP:
Quinto término(a 5 ) = a 4 + d = (-1/2) + 0 = -1/2
Sexto término(a 6 ) = a 5 + d = (-1/2) + 0 = -1/2
Séptimo término(a 7 ) = a 6 + d = (-1/2) + 0 = -1/2
Entonces, los siguientes tres términos son -1/2, -1/2, -1/2
(ix). 1, 3, 9, 27,….
Solución:
Primero verificamos que la serie dada sea AP o no al encontrar una diferencia común:
re 1 = un 2 + un 1 = 3 – 1 = 2
re 2 = un 3 + un 2 = 9 – 3 = 6
Entonces d 1 ≠ d 2
Por lo tanto, esta serie no forma un AP porque no hay una diferencia común fija.
(X). una, 2a, 3a, 4a,….
Solución:
Primero verificamos que la serie dada sea AP o no al encontrar una diferencia común:
re 1 = un 2 + un 1 = 2a – un = un
re 2 = un 3 + un 2 = 3a – 2a = un
Entonces d 1 = d 2
Por lo tanto, la serie anterior está en progresión aritmética y la diferencia común es una
Ahora encontramos los términos restantes de la AP:
Quinto término(a 5 ) = a 4 + d = 4a + a = 5a
Sexto término(a 6 ) = a 5 + d = 5a + a = 6a
Séptimo término(a 7 ) = a 6 + d = 6a + a = 7a
Entonces, los siguientes tres términos son 5a, 6a, 7a
(xi). un, un 2 , un 3 , un 4 ,….
Solución:
Primero verificamos que la serie dada sea AP o no al encontrar una diferencia común:
re 1 = un 2 + un 1 = un 2 – un
re 2 = un 3 + un 2 = un 3 – un 2
Entonces d 1 ≠ d 2
Por lo tanto, esta serie no forma un AP porque no hay una diferencia común fija.
(xii). √2, √8, √18, √32,….
Solución:
Primero verificamos que la serie dada sea AP o no al encontrar una diferencia común:
re 1 = un 2 + un 1 =2√2 – √2 = √2
re 2 = un 3 + un 2 = 3√2 – 2√2 = √2
Entonces d 1 = d 2
Por lo tanto, la serie anterior está en progresión aritmética y la diferencia común es √2
Ahora encontramos los términos restantes de la AP:
Quinto término(a 5 ) = a 4 + d = √32 + √2 = 5√2
Sexto término(a 6 ) = a 5 + d = 5√2 + √2 = 6√2
Séptimo término(a 7 ) = a 6 + d = 6√2 + √2 = 7√2
Entonces, los próximos tres términos son 5√2, 6√2, 7√2
(xii). √3, √6, √9, √12,….
Solución:
Primero verificamos que la serie dada sea AP o no al encontrar una diferencia común:
re 1 = un 2 + un 1 = √6 – √3 = √3(√2 – 1)
re 2 = un 3 + un 2 = √9 – √6 = √3(√3 – √2)
Entonces d 1 ≠ d 2
Por lo tanto, esta serie no forma un AP porque no hay una diferencia común fija.
(xiv). 1 2 , 3 2 , 5 2 , 7 2 ,….
Solución:
Primero verificamos que la serie dada sea AP o no al encontrar una diferencia común:
re 1 = un 2 + un 1 = 9 – 1 = 8
re 2 = un 3 + un 2 = 25 – 9 = 16
Entonces d 1 ≠ d 2
Por lo tanto, esta serie no forma un AP porque no hay una diferencia común fija.
(xv). 1 2 , 5 2 , 7 2 , 73,….
Solución:
Primero verificamos que la serie dada sea AP o no al encontrar una diferencia común:
re 1 = un 2 + un 1 = 25 – 1 = 24
re 2 = un 3 + un 2 = 49 – 25 = 24
Entonces d 1 = d 2
Por lo tanto, la serie anterior está en progresión aritmética y la diferencia común es 24
Ahora encontramos los términos restantes de la AP:
Quinto término(a 5 ) = a 4 + d = 73 + 24 = 97
Sexto término(a 6 ) = a 5 + d = 97 + 24 = 121
Séptimo término(a 7 ) = a 6 + d = 121 + 24 = 145
Entonces, los próximos tres términos son 97, 121, 145