Pregunta 1. Exprese las razones trigonométricas sin A, sec A y tan A en términos de cot A
Solución:
(i) pecado A
Lo sabemos
cosec 2 A = 1 + cot 2 A
1/sen 2 A = 1 + cot 2 A
sen 2 A = 1/(1 + cot 2 A)
sen A = 1/(1+cot 2 A) 1/2
(ii) segundo A
seg 2 A = 1 + tan 2 A
Seg 2 A = 1 + 1/cuna 2 A
seg 2 A = (cuna 2 A + 1) / cuna 2 A
seg A = (cuna 2 A + 1) 1/2 / cuna A
(iii) bronceado A
bronceado A = 1 / cuna A
bronceado A = cuna -1 A
Pregunta 2. Escribe todas las demás razones trigonométricas de ∠A en términos de sec A .
Solución:
(i) porque A
cos A = 1/seg A
(ii) pecado A
Lo sabemos
sen 2 A = 1 – cos 2 A
Además, cos 2 A = 1/seg 2 A
sen 2 A = 1 – 1 / seg 2 A
sen 2 A = (seg 2 A – 1) / seg 2 A
sen A = (seg 2 A – 1) 1/2 / seg A
(iii) bronceado A
Lo sabemos
tan 2 A + 1 = seg 2 A
tan A = (seg 2 A – 1)½
(iv) cosec A
Sabemos
cosec A = 1/ sinA
cosec A = seg A / (seg 2 A – 1)½
(v) cuna A
Sabemos
cuna A = cos A / sen A
cot A = (1/seg A) / ((seg 2 A – 1) 1/2 / seg A)
cuna A = 1 / (seg 2 A – 1) 1/2
Pregunta 3. Evaluar:
(i) (sen 2 63° + sen 2 27°)/(cos 2 17° + cos 2 73°)
(ii) sen 25° cos 65° + cos 25° sen 65°
(i) ([sen(90-27)] 2 + sen 2 27) / ([cos(90-73)] 2 + cos 2 73)
Lo sabemos
sen(90-x) = cos x
cos(90-x) = sen x(cos 2 (27) + sen 2 27) / (sen 2 (73) + cos 2 73)
Usando
sen 2 A + cos 2 A = 1
1/1 = 1
(ii) [sen 25 * cos (90-25)] + [cos 25 * sin (90-25)]
Usando
sen(90-x) = cos x
cos(90-x) = sen x= [sen 25 * sen 25] + [cos 25 * cos 25]
= sen 2 25 + cos 2 25
= 1
Pregunta 4. Elija la opción correcta. Justifique su elección.
Solución:
(i) 9 seg 2 A – 9 tan 2 A
( A) 1 (B) 9 (C) 8 (D) 0
Usando sec 2 A – tan 2 A = 1
9 (seg 2 A – tan 2 A ) = 9(1)
Respuesta (B)
(ii) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ)
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) –1
Simplificando todas las proporciones
= (1 + senθ/cosθ + 1/cosθ) (1 + cosθ/senθ – 1/senθ)
= ((cosθ + sinθ + 1)/ cosθ) ((sinθ + cosθ – 1 )/senθ)
= ((cosθ + senθ) 2 – 1) / (senθ cosθ)
= (1 + 2*cosθ*senθ – 1) / (senθ cosθ)
= 2
Respuesta (C)
(iii) (sec A + tan A) * (1 – sin A)
(A) sec A (B) sen A (C) cosec A (D) cos A
Simplificando sec A y tan A
= (1/cos A + sen A/cos A)*(1 – sen A)
= ((1 + sen A)/cos A)*(1 – sen A)
= (1 – sen 2 A)/cos A
= cos 2 A / cos A
= cos A
Respuesta (D)
(iv) (1 + tan 2 A) / (1 + cot 2 A)
(A) seg 2 A (B) –1 (C) cuna 2 A (D) bronceado 2 A
Simplificando tan A y cot A
= (1 + (sen 2 A / cos 2 A)) / (1 + (cos 2 A / sen 2 A))
= ((cos 2 A + sen 2 A) / cos 2 A) / ((cos 2 A + sen 2 A) / sen 2 A)
= sen 2 A / cos 2 A
= bronceado 2 A
Respuesta (D)
Pregunta 5. Demuestra las siguientes identidades, donde los ángulos involucrados son ángulos agudos para los cuales se definen las expresiones.
Solución:
(i) (cosec θ – cot θ) 2 = (1 – cosθ) / (1 + cosθ)
Resolviendo LHS
Simplificando cosec θ y cot θ
= (1-cos θ) 2 / sen 2 θ
= (1-cos θ) 2 / (1-cos 2 θ)
Usando a 2 – b 2 = (a+b)*(ab)
= (1-cos θ) 2 / [(1-cos θ)*(1+cos θ)]
= (1-cos θ) / (1+cos θ) = lado derecho
Por lo tanto probado
(ii) (cos A / (1+sen A) + ((1+sen A) / cos A) = 2 s A
Resolviendo LHS
Tomando MCM
= (cos 2 A + (1+sen A) 2 ) / ((1+sen A) cos A)
= (cos 2 A + 1 + sen 2 A + 2 sen A ) / ((1 + sen A)*cos A)
Usando sen 2 A + cos 2 A = 1
= (2 + 2*sen A) / ((1+sen A)*cos A)
= (2*(1 + sen A)) / ((1 + sen A)*cos A)
= 2 / cos A
= 2 seg A = RHS
Por lo tanto probado
(iii) (tan θ / (1 – cot θ)) + (cot θ / (1 – tan θ)) = 1 + seg θ*cosec θ
Resolviendo LHS
Cambiando tan θ y cot θ en términos de sen θ y cos θ y simplificando
= ((sen 2 θ) / (cos θ *(sen θ-cos θ))) + ((cos 2 θ ) / (sen θ *(sen θ-cos θ)))
= (1 / (sen θ-cos θ)) * [(sen 3 θ – cos 3 θ) / (sen θ * cos θ)]
= (1 / (sen θ – cos θ)) * [ ((sen θ – cos θ) * ( sen 2 θ + cos 2 θ + sen θ * cos θ ))/(sen θ *cos θ)]
= (1+sen θ*cos θ) / (sen θ*cos θ)
= segundo θ*coseg θ + 1 = RHS
Por lo tanto probado
(iv) (1 + segundo A) / segundo A = sen 2 A / (1 – cos A)
Resolviendo LHS
= cos A + 1
Resolviendo RHS
= (1 – cos 2 A) / (1 – cos A)
= (1 – cos A) * (1 + cos A) / (1 – cos A)
= 1 + cos A = lado derecho
Por lo tanto probado
(v) (cos A – sen A + 1) / (cos A + sen A – 1) = cosec A + cot A usando la identidad cosec 2 A = 1 + cot 2 A
Resolviendo LHS
Multiplicando numerador y denominador por (cot A – 1 + cosec A)
= (cot 2 A + 1 + cosec 2 A – 2*cot A – 2*cosec A + 2*cot A*cosec A) / (cot 2 A – (1 + cosec 2 A – 2*cosec A))
= (2*cosec 2 A – 2*cot A – 2*cosec A + 2*cot A*cosec A) / (cot 2 A – 1 – cosec 2 A + 2*cosec A)
= (2* cosec A *(cosec A + cot A) – 2*(cosec A + cot A)) / (cot 2 A – 1 – cosec 2 A + 2*cosec A)
= ((cosec A + cot A) * (2*cosec A – 2 )) / (2*cosec A – 2)
= cosec A + cot A = RHS
Por lo tanto probado
(vi) [(1 + sin A) / (1 – sin A)] ½ = sec A + tan A
Resolviendo LHS
Multiplicar numerador y denominador por (1+sinA)
= [((1 + sen A)*(1 + sen A)) / ((1 – sen A)*(1 + sen A))] ½
= (1 + sen A) / (1 – sen 2 A) ½
= (1 + sen A) / (cos 2 A) 1/2
= (1 + sen A) / (cos A)
= seg A + tan A = RHS
Por lo tanto probado
(vii) (sen θ – 2 sen 3 θ) / (2 cos 3 θ – cos θ) = tan θ
Resolviendo LHS
= (sen θ * (1 – 2*sen 2 θ)) / (cos θ * (2*cos 2 θ – 1))
= (sen θ * (1 – 2*sen 2 θ )) / (cos θ * (2*(1 – sen 2 θ) – 1))
= (sen θ *(1 – 2*sen 2 θ)) / (cos θ * (1 – 2*sen 2 θ))
= bronceado θ = lado derecho
Por lo tanto probado
(viii) (sen A + cosec A) 2 + (cos A + sec A) 2 = 7 + tan 2 A + cot 2 A
Resolviendo LHS
= sen 2 A + cosec 2 A + 2*sen A *cosec A + cos 2 A + sec 2 A + 2*cos A *sec A
Sabemos que cosec A = 1 / sin A
= 1 + 1 + cuna 2 A + 1 + bronceado 2 A + 2 + 2
= 7 + tan 2 A + cot 2 A = RHS
Por lo tanto probado
(ix) (cosec A – sin A)*(sec A – cos A) = 1 / (tan A + cot A)
Resolviendo LHS
= ((1/sen A) – sen A) * ((1/cos A) – cos A)
= ((1 – sen 2 A) / sen A) * ((1 – cos 2 A) / cos A)
= (cos 2 A * sen 2 A) / (sen A * cos A)
= sen A * cos A
Resolviendo RHS
Simplificando tan A y cot A
= (sen A * cos A) / ( sen 2 A + cos 2 A)
= sen A * cos A = lado derecho
Por lo tanto probado
(x) (1 + tan 2 A) / (1 + cot 2 A ) = [(1 – tan A) / (1 – cot A)] 2 = tan 2 A
Resolviendo LHS
Cambiador de cuna A = 1 / bronceado A
= (tan 2 A * (1 + tan 2 A)) / (1 + tan 2 A) = tan 2 A = RHS
= [(1 – tan A) / (1 – cot A)] 2 = (1 + tan 2 A – 2*tan A) / (1 + cot 2 A – 2*cot A)
= (seg 2 A – 2*tan A) / (cosec 2 A – 2*cot A)
Resolviendo esto obtenemos
= bronceado 2 A
Por lo tanto probado
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por TarunYadav4 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA