Clase 12 Soluciones NCERT – Matemáticas Parte I – Capítulo 4 Determinantes – Ejercicios varios en el Capítulo 4

Posted on by Rudeus Greyrat

Pregunta 1. Demuestra que el determinante  \begin{vmatrix} x & sin\theta & cos\theta \\ -sin\theta & -x & 1\\ cos\theta & 1 & x \end{vmatrix} es independiente de θ.

Solución: 

un = \begin{vmatrix} x & sin\theta & cos\theta \\ -sin\theta & -x & 1\\ cos\theta & 1 & x \end{vmatrix}

A = x(x 2 – 1) – sinθ(-x sinθ – cosθ) + cosθ(-sinθ + x cosθ)

A = x 3 – x + x sen2θ + senθcosθ – senθcosθ + x cos2θ

A = x 3 – x + x(sen2θ + cos2θ)

A = x 3 – x + x

A = x 3 (Independiente de θ).

Por lo tanto, es independiente de θ

Pregunta 2. Sin expandir el determinante, prueba que

\begin{vmatrix} a & a^{2} & bc\\ b & b^{2} & ca\\ c & c^{2} & ab \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & a^{2} & a^{3}\\ 1 & b^{2} & b^{3}\\ 1 & c^{2} & c^{3} \end{vmatrix}

Solución: 

IZQ = \begin{vmatrix} a & a^{2} & bc\\ b & b^{2} & ca\\ c & c^{2} & ab \end{vmatrix}

= \frac{1}{abc}\begin{vmatrix} a^{2} & a^{3} & abc\\ b^{2} & b^{3} & bca\\ c^{2} & c^{3} & cab \end{vmatrix}

= \frac{1}{abc}.abc\begin{vmatrix} a^{2} & a^{3} & 1\\ b^{2} & b^{3} & 1\\ c^{2} & c^{3} & 1 \end{vmatrix}

(Quitando abc de C3)

= \begin{vmatrix} a^{2} & a^{3} & 1\\ b^{2} & b^{3} & 1\\ c^{2} & c^{3} & 1 \end{vmatrix}

= \begin{vmatrix} 1 & a^{2} & a^{3}\\ 1 & b^{2} & a^{3}\\ 1 & c^{2} & a^{3} \end{vmatrix}

(Aplicando transformación de columna entre C1 y C3 y entre C2 y C3)

= lado derecho

Por lo tanto, se prueba que  \begin{vmatrix} a & a^{2} & bc\\ b & b^{2} & ca\\ c & c^{2} & ab \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & a^{2} & a^{3}\\ 1 & b^{2} & b^{3}\\ 1 & c^{2} & c^{3} \end{vmatrix}

Pregunta 3. Evaluar \begin{vmatrix} cos\alpha cos\beta & cos\alpha sin\beta & -sin\alpha\\ -sin\beta & cos\beta & 0\\ sin\alpha cos\beta & sin\alpha sin\beta & cos\alpha \end{vmatrix}

Solución: 

un = \begin{vmatrix} cos\alpha cos\beta & cos\alpha sin\beta & -sin\alpha\\ -sin\beta & cos\beta & 0\\ sin\alpha cos\beta & sin\alpha sin\beta & cos\alpha \end{vmatrix}

Expansión a lo largo de C3 

A = -sen(-sen sen 2 β – cos 2 β sen) + cos(cos cos 2 β + cos sen 2 β)

A = sen 2 (sen 2 β + cos 2 β) + cos 2 (cos 2 β + sen 2 β)

A = sen 2 (1) + cos 2 (1)

un = 1

Pregunta 4. Si a, b y c son números reales, y Δ =  \begin{vmatrix} b+c & c+a & a+b\\ c+a & a+b & b+c\\ a+b & b+c & c+a \end{vmatrix} = 0

Demuestre que a + b + c = 0 o a = b = c

Solución:

 Δ = \begin{vmatrix} b+c & c+a & a+b\\ c+a & a+b & b+c\\ a+b & b+c & c+a \end{vmatrix}

Aplicando R1 ⇢ R1 + R2 + R3

 Δ = \begin{vmatrix} 2(a+b+c) & 2(a+b+c) & 2(a+b+c)\\ c+a & a+b & b+c\\ a+b & b+c & c+a \end{vmatrix}

= 2(a + b + c) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ c+a & a+b & b+c\\ a+b & b+c & c+a \end{vmatrix}

Aplicando C2 ⇢ C2-C1 y C3 ⇢ C3 – C1

Δ = 2(a + b + c) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ c+a & b-c & b-a\\ a+b & c-a & c-b \end{vmatrix}

Expansión a lo largo de R1

Δ = 2(a + b + c)(1)[(b – c)(c – b) – (b – a)(c – a)]

= 2(a + b + c)[-b 2 – c 2 + 2bc – bc + ba + ac – a 2 ]

= 2(a + b + c)[ab + bc + ca – a 2 – b 2 – c 2 ]

Según la pregunta Δ = 0

2(a + b + c)[ab + bc + ca – a 2 – b 2 – c 2 ] = 0

Desde arriba, puedes ver que a + b + c =0 o ab + bc + ca – a 2 – b 2 – c 2 = 0

Ahora,

ab + bc + ca – a 2 – b 2 – c 2 = 0

-2ab – 2bc – 2ac + 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 = 0

(a – b) 2 + (b – c) 2 + (c – a) 2 = 0

(a – b) 2 = (b – c) 2 = (c – a) 2 = 0 (porque (a – b) 2 , (b – c) 2 , (c – a) 2 no son negativos)

(a – b) = (b – c) = (c – a) = 0

un = segundo = do

Por lo tanto, se prueba que si Δ = 0 entonces a + b + c = 0 o a = b = c.

Pregunta 5. Resuelve las ecuaciones  \begin{vmatrix} x+a & x & x\\ x & x+a & x\\ x & x & x+a \end{vmatrix} = 0, a ≠ 0

Solución:

\begin{vmatrix} x+a & x & x\\ x & x+a & x\\ x & x & x+a \end{vmatrix} = 0

Aplicando R1 ⇢ R1 + R2 + R3

\begin{vmatrix} 3x+a & 3x+a & 3x+a\\ x & x+a & x\\ x & x & x+a \end{vmatrix} = 0

(3x + a) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ x & x+a & x\\ x & x & x+a \end{vmatrix} = 0

Aplicando C2 ⇢ C2-C1 y C3 ⇢ C3 – C1

(3x + a) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ x & a & 0\\ x & 0 & a \end{vmatrix} = 0

Expansión a lo largo de R1

(3x + a)[a 2 ] = 0

un 2 (3x + un) = 0

Pero un ≠ 0

Por lo tanto,

3x + a = 0

x = a/3

Pregunta 6. Demuestra que  \begin{vmatrix} a^{2} & bc & ac+c^{2}\\ a^{2}+ab & b^{2} &ac\\ ab & b^{2}+bc & c^{2} \end{vmatrix} = 4a 2 b 2 c 2

Solución:

un = \begin{vmatrix} a^{2} & bc & ac+c^{2}\\ a^{2}+ab & b^{2} &ac\\ ab & b^{2}+bc & c^{2} \end{vmatrix}

Sacando factores comunes a, b y c de C1, C2 y C3

A = abc \begin{vmatrix} a & c & a+c\\ a+b & b &c\\ b & b+c & c \end{vmatrix}

Aplicando R2 ⇢ R2 – R1 y R3 ⇢ R3 – R1

A = abc \begin{vmatrix} a & c & a+c\\ b & b-c &-c\\ b-a & b & -a \end{vmatrix}  

Aplicando R2 ⇢ R2 + R1

A = abc \begin{vmatrix} a & c & a+c\\ a+b & b &a\\ 2b & 2b & 0 \end{vmatrix}

A = 2ab 2c \begin{vmatrix} a & c & a+c\\ a+b & b &a\\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}  

Aplicando C2 ⇢ C2 – C1

A = 2ab 2c \begin{vmatrix} a & c-a & a+c\\ a+b & -a &a\\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}

Expansión a lo largo de R3

A = 2ab 2 c[a(c – a) + a(a + c)]

= 2ab 2 c[ac – a 2 + a 2 + ac]

= 2ab 2 c(2ac)

= 4a 2 b 2 c 2

Por lo tanto, está probado.

Pregunta 7. Si A -1 = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1\\ -15 & 6 &-5\\ 5 & -2 & 2 \end{vmatrix} y B = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -2\\ -1 & 3 &0\\ 0 & -2 & 1 \end{vmatrix} . Encontrar (AB) -1

Solución:

|B| = 1(3 – 0) + 1(2 – 4) = 1

segundo 11 = 3 – 0 = 3

segundo 12 = 1

segundo 13 = 2 – 0 = 2

B 21 = -(2 – 4) = 2

segundo 22 = 1 – 0 = 1

segundo 23 = 2

segundo 31 = 0 + 6 = 6

B 32 = -(0 – 2) = 2

segundo 33 = 3 + 2 = 5

adj B = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 6\\ 1 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 5 \end{bmatrix}

B -1 = (adj B)/|B|

B – 1 = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 6\\ 1 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 5 \end{bmatrix}

Ahora,

(AB) -1 = B -1 A -1

(AB) -1 = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 6\\ 1 & 1 & 2\\ 1 & 2 &5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1\\ -15 & 6 & -5\\ 5 & -2 & 2 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 9-30+30 & -3+12-12 & 3-10+12\\ 3-15+10 & -1+6-4 & 1-5+4\\ 6+12-10 & -2+12-10 & 2-10+10 \end{bmatrix}

(AB) -1 = \begin{bmatrix} 9 & -3 & 5\\ -2 & 1 & 0\\ 8 & 0 & 2 \end{bmatrix}

Pregunta 8. Sea A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1\\ -2 & 3 & 1\\ 1 & 1 & 5 \end{bmatrix}  verificar que

(i) [adj A] -1 = adj(A -1 )

(ii) (A -1 ) -1 = A

Solución: 

un = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1\\ -2 & 3 & 1\\ 1 & 1 & 5 \end{bmatrix}

|A| = 1(15 – 1) + 2(-10 – 1) + 1(-2 – 3) = 14 – 27 = -13

UN 11 = 14

un 12 = 11

Un 13 = -5

21 = 11

22 = 4

Un 23 = -3

Un 31 = -5

A 32 = -3

A 33 = -1

adj A = \begin{bmatrix} 14 & 11 & -5\\ 11 & 4 & -3\\ -5 & -3 & -1 \end{bmatrix}

Arrr -1 = (ajustado A)/|A|

= -1/13\begin{bmatrix} 14 & 11 & -5\\ 11 & 4 & -3\\ -5 & -3 & -1 \end{bmatrix}

= 1/13\begin{bmatrix} -14 & -11 & 5\\ -11 & -4 & 3\\ 5 & 3 & 1 \end{bmatrix}

(i). |adj A| = 14(-4 – 9) – 11(-11 – 15) – 5(-33 + 20)

= 14(-13) – 11(-26) – 5(-13)

= -182 + 286 + 65 = 169

adj(adj A) = \begin{bmatrix} -13 & 26 & -13\\ 26 & -39 & -13\\ -13 & -13 & -65 \end{bmatrix}

[adj A] -1 = (adj(adj A))/|adj A|

= 1/169\begin{bmatrix} -13 & 26 & -13\\ 26 & -39 & -13\\ -13 & -13 & -65 \end{bmatrix}

= 1/13\begin{bmatrix} -1 & 2 & -1\\ 2 & -3 & -1\\ -1 & -1 & -5 \end{bmatrix}

Ahora, A – 1 = 1/13\begin{bmatrix} -14 & -11 & 5\\ -11 & -4 & 3\\ 5 & 3 & 1 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} \frac{-14}{13} & \frac{-11}{13} & \frac{5}{13}\\ \frac{-11}{13} & \frac{-4}{13} & \frac{3}{13}\\ \frac{5}{13} & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} \end{bmatrix}

adj(A -1 ) = \begin{bmatrix} \frac{-4}{169}-\frac{9}{169} & -(\frac{-11}{169}-\frac{15}{169}) & \frac{-33}{169}+\frac{20}{169}\\ -(\frac{-11}{169}-\frac{-15}{169}) & \frac{-14}{169}-\frac{25}{169} &-(\frac{-42}{169}+\frac{55}{169}) \\ \frac{-33}{169}+\frac{20}{169} & -(\frac{-42}{169}+\frac{55}{169}) & \frac{56}{169}-\frac{121}{169} \end{bmatrix}

= 1/169\begin{bmatrix} -13 & 26 & -13\\ 26 & -39 & -13\\ -13 & -13 & -65 \end{bmatrix}

= 1/13\begin{bmatrix} -1 & 2 & -1\\ 2 & -3 & -1\\ -1 & -1 & -5 \end{bmatrix}

Por lo tanto, [adj A] -1 = adj(A -1 )

(ii). A – 1 = 1/13\begin{bmatrix} -14 & -11 & 5\\ -11 & -4 & 3\\ 5 & 3 & 1 \end{bmatrix}

adj A -1 = 1/13\begin{bmatrix} -1 & 2 & -1\\ 2 & -3 & -1\\ -1 & -1 & -5 \end{bmatrix}

|A -1 | = (1/13)3[-14 × (-13) +11 × (-26) + 5 × (-13)]

= (1/13)3 × (-169)

= -1/13

Ahora, (A -1 ) -1 = (adj A -1 )/|A -1 |

= \frac{1}{(\frac{-1}{13})}*\frac{1}{13}\begin{bmatrix} -1 & 2 & -1\\ 2 & -3 & -1\\ -1 & -1 & -5 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1\\ -2 & 3 & 1\\ 1 & 1 & 5 \end{bmatrix}

= un

Por lo tanto, se prueba que (A -1 ) -1 = A

Pregunta 9. Evaluar \begin{vmatrix} x & y & x+y\\ y & x+y & x\\ x+y & x &y \end{vmatrix}

Solución: 

un = \begin{vmatrix} x & y & x+y\\ y & x+y & x\\ x+y & x &y \end{vmatrix}

Aplicando R1 -> R1+R2+R3

un = \begin{vmatrix} 2(x+y) & 2(x+y) & 2(x+y)\\ y & x+y & x\\ x+y & x &y \end{vmatrix}

= 2(x+y)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ y & x+y & x\\ x+y & x &y \end{vmatrix}

Aplicando C2-> C2 – C1 y C3-> C3 – C1

A = 2(x + y)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ y & x & x-y\\ x+y & -y &-x \end{vmatrix}

Expansión a lo largo de R1

A = 2(x + y)[-x 2 + y(x – y)]

= -2(x + y)(x2 + y2 – yx)

A = -2(x 3 + y 3 )

Pregunta 10. Evaluar \begin{vmatrix} 1 & x & y\\ 1 & x+y & y\\ 1 & x &x+y \end{vmatrix}

Solución:

un = \begin{vmatrix} 1 & x & y\\ 1 & x+y & y\\ 1 & x &x+y \end{vmatrix}

Aplicando R2->R2 – R1 y R3->R3 – R1

un = \begin{vmatrix} 1 & x & y\\ 0 & y & 0\\ 0 & 0 &x \end{vmatrix}

Expansión a lo largo de C1

A = 1(xy – 0)

A = xy

Pregunta 11. Utilizando las propiedades de los determinantes, demuestre que:

\begin{vmatrix} \alpha & \alpha ^{2} & \beta +\gamma \\ \beta & \beta ^{2} & \gamma +\alpha \\ \gamma & \gamma ^{2} &\alpha +\beta \end{vmatrix} = (β – γ)(γ – )(– β)(+ β + γ)

Solución:

un = \begin{vmatrix} \alpha & \alpha ^{2} & \beta +\gamma \\ \beta & \beta ^{2} & \gamma +\alpha \\ \gamma & \gamma ^{2} &\alpha +\beta \end{vmatrix}

Aplicando R2->R2 – R1 y R3->R3 – R1

un = \begin{vmatrix} \alpha & \alpha ^{2} & \beta +\gamma \\ \beta-\alpha & \beta ^{2}-\alpha ^{2} & \alpha-\beta \\ \gamma-\alpha & \gamma ^{2}-\alpha ^{2} &\alpha-\gamma \end{vmatrix}

A = (γ – )(β – )\begin{vmatrix} \alpha & \alpha ^{2} & \beta +\gamma \\ 1 & \beta +\alpha & -1 \\ 1 & \gamma +\alpha &-1 \end{vmatrix}

Aplicando R3->R3 – R2

A = (γ – )(β – )\begin{vmatrix} \alpha & \alpha ^{2} & \beta +\gamma \\ 1 & \beta +\alpha & -1 \\ 0 & \gamma -\beta &0 \end{vmatrix}

Expansión a lo largo de R3

A = (γ – )(β – )[-(γ – β)(-– β – γ)]

A = (γ – )(β – )(γ – β)(+ β + γ)

A = (β – γ)(γ – )(– β)(+ β + γ)

Por lo tanto, está probado.

Pregunta 12. Utilizando las propiedades de los determinantes, demuestre que:

\begin{vmatrix} x & x^{2} & 1+px^{3}\\ y & y^{2} &1+py^{3} \\ z & z^{2} & 1+pz^{3} \end{vmatrix} =(1 + pxyz)(x – y)(y – z)(z – x)

Solución:

 un = \begin{vmatrix} x & x^{2} & 1+px^{3}\\ y & y^{2} &1+py^{3} \\ z & z^{2} & 1+pz^{3} \end{vmatrix}

Aplicando R2->R2 – R1 y R3-> R3 – R1

un = \begin{vmatrix} x & x^{2} & 1+px^{3}\\ y-x & y^{2}-x^{2} &p(y^{3}-x^{3}) \\ z-x & z^{2}-x^{2} & p(z^{3}-x^{3}) \end{vmatrix}

A = (y – x)(z – x)\begin{vmatrix} x & x^{2} & 1+px^{3}\\ 1 & y+x &p(y^{2}+x^{2}+xy) \\ 1 & z+x & p(z^{2}+x^{2}+xz) \end{vmatrix}

Aplicando R3->R3 – R2

A = (y – x)(z – x)\begin{vmatrix} x & x^{2} & 1+px^{3}\\ 1 & y+x &p(y^{2}+x^{2}+xy) \\ 0 & z-y & p(z-y)(x+y+z) \end{vmatrix}

A = (y – x)(z – x)(z – y)\begin{vmatrix} x & x^{2} & 1+px^{3}\\ 1 & y+x &p(y^{2}+x^{2}+xy) \\ 0 & 1 & p(x+y+z) \end{vmatrix}

Expansión a lo largo de R3

A = (x – y)(y – z)(z – x)[(-1)(p)(xy 2 + x 3 + x 2 y) + 1 + px 3 + p(x + y + z) (xy)]

= (x – y)(y – z)(z – x)[-pxy 2 – px 3 – px 2 y + 1 + px 3 + px 2 y + pxy 2 + pxyz]

= (x – y)(y – z)(z – x)(1 + pxyz)

Por lo tanto está probado.

Pregunta 13. Usando las propiedades de los determinantes, demuestre que

\begin{vmatrix} 3a & -a+b & -a+c\\ -b+a & 3b & -b+c\\ -c+a & -c+b & 3c \end{vmatrix} = 3(a + b + c)(ab + bc + ca)

Solución:

un = \begin{vmatrix} 3a & -a+b & -a+c\\ -b+a & 3b & -b+c\\ -c+a & -c+b & 3c \end{vmatrix}

Aplicando C1->C1 + C2 + C3

un = \begin{vmatrix} a+b+c & -a+b & -a+c\\ a+b+c & 3b & -b+c\\ a+b+c & -c+b & 3c \end{vmatrix}

A = (a + b + c)\begin{vmatrix} 1 & -a+b & -a+c\\ 1 & 3b & -b+c\\ 1 & -c+b & 3c \end{vmatrix}

Aplicando R2->R2 – R1 y R3 ->R3 – R1

A = (a + b + c)\begin{vmatrix} 1 & -a+b & -a+c\\ 0 & 2b+a & a-b\\ 0 & a-c & 2c+a \end{vmatrix}

Expansión a lo largo de C1

A = (a + b + c)[(2b + a)(2c + a) – (a – b)(a – c)]

= (a + b + c)[4bc + 2ab + 2ac + a 2 – a 2 + ac + ba – bc]

=(a + b + c)(3ab + 3bc + 3ac)

A = 3(a + b + c)(ab + bc + ca)

Por lo tanto, está probado.

Pregunta 14. Usando las propiedades de los determinantes, demuestre que:

\begin{vmatrix} 1 & 1+p & 1+p+q\\ 2 & 3+2p & 4+3p+2q\\ 3 & 6+3p & 10+6p+3q \end{vmatrix} = 1

Solución:

un = \begin{vmatrix} 1 & 1+p & 1+p+q\\ 2 & 3+2p & 4+3p+2q\\ 3 & 6+3p & 10+6p+3q \end{vmatrix}

Aplicando R2->R2 – 2R1 y R3->R3 – 3R1

un = \begin{vmatrix} 1 & 1+p & 1+p+q\\ 0& 1 & 2+p\\ 0 & 3 & 7+3p \end{vmatrix}

Aplicando R3->R3 – 3R2

\begin{vmatrix} 1 & 1+p & 1+p+q\\ 0& 1 & 2+p\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}

Expansión a lo largo de C1

A = 1 (1 – 0)

un = 1

Por lo tanto, está probado.

Pregunta 15. Usando las propiedades de los determinantes, demuestre que

\begin{vmatrix} sin\alpha & cos\alpha &cos(\alpha +\delta ) \\ sin\beta & cos\beta & cos(\beta +\delta )\\ sin\gamma & cos\gamma & cos(\gamma +\delta ) \end{vmatrix} = 0

Solución:

un = \begin{vmatrix} sin\alpha & cos\alpha &cos(\alpha +\delta ) \\ sin\beta & cos\beta & cos(\beta +\delta )\\ sin\gamma & cos\gamma & cos(\gamma +\delta ) \end{vmatrix}

un = \frac{1}{sin\delta cos\delta }\begin{vmatrix} sin\alpha sin\delta & cos\alpha cos\delta &cos\alpha cos\delta -sin\alpha sin\delta \\ sin\beta sin\delta & cos\beta cos\delta & cos\beta cos\delta-sin\beta sin\delta \\ sin\gamma sin\delta & cos\gamma cos\delta & cos\gamma cos\delta -sin\gamma sin\delta \end{vmatrix}

Aplicando C1->C1 + C3

un = \frac{1}{sin\delta cos\delta }\begin{vmatrix} cos\alpha cos\delta & cos\alpha cos\delta &cos\alpha cos\delta -sin\alpha sin\delta \\ cos\beta cos\delta & cos\beta cos\delta & cos\beta cos\delta-sin\beta sin\delta \\ cos\gamma cos\delta & cos\gamma cos\delta & cos\gamma cos\delta -sin\gamma sin\delta \end{vmatrix}

desde arriba, puede ver que las dos columnas C1 y C2 son idénticas.

Por lo tanto A = 0

Por lo tanto, está probado.

Pregunta 16. Resuelve el sistema de las siguientes preguntas:

2/x + 3/y + 10/z = 4

4/x – 6/y + 5/z = 1

6/x + 9/y – 20/z = 2

Solución:

Suponga que 1/x = p; 1/y = q; 1/z = r

después. las ecuaciones anteriores serán como

2p + 3Q + 10r = 4

4p – 6q + 5r = 1

6p + 9q – 20r = 2

Esto se puede escribir en la forma AX=B

dónde,

un = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 10\\ 4 & -6 & 5\\ 6 & 9 & -20 \end{bmatrix}

X = \begin{bmatrix} p\\ q\\ r \end{bmatrix}

B = \begin{bmatrix} 4\\ 1\\ 2 \end{bmatrix}

Tenemos,

|A| = 2(120 – 45) – 3(-80 – 30) + 10(36 + 36)

|A| = 150 + 330 + 720

|A| = 1200 ≠ 0

Por lo tanto, A es una array invertible.

UN 11 = 75

UN 12 = 110

13 = 72

21 = 150

A 22 = -100

Un 23 = 0

31 = 75

32 = 30

A 33 = -24

A -1 = (adj. A)/|A|

A – 1 = \frac{1}{1200}\begin{bmatrix} 75 & 150 & 75\\ 110 & -100 & 30\\ 72 & 0 & -24 \end{bmatrix}

Ahora,

X = A -1B

\begin{bmatrix} p\\ q\\ r \end{bmatrix} = \frac{1}{1200}\begin{bmatrix} 75 & 150 & 75\\ 110 & -100 & 30\\ 72 & 0 & -24 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4\\ 1\\ 2 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} p\\ q\\ r \end{bmatrix} = \frac{1}{1200}\begin{bmatrix} 300+150+150\\ 440-100+60\\ 288+0-48 \end{bmatrix}

= \frac{1}{1200}\begin{bmatrix} 600\\ 400\\ 240 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} \frac{1}{2}\\ \frac{1}{3}\\ \frac{1}{5} \end{bmatrix}

Desde arriba p = 1/2; q = 1/3 ; r = 1/5

Entonces, x = 2; y = 3; z = 5

Pregunta 17. Elija la respuesta correcta.

Si a, b, c están en AP entonces el determinante

\begin{vmatrix} x+2 & x+3 &x+2a \\ x+3 & x+4 & x+2b\\ x+4 & x+5 & x+2c \end{vmatrix}

(A) 0 (B) 1

(C) × (D) 2x

Solución:

un = \begin{vmatrix} x+2 & x+3 &x+2a \\ x+3 & x+4 & x+2b\\ x+4 & x+5 & x+2c \end{vmatrix}

a, b y c están en AP Entonces, 2b = a + c

un = \begin{vmatrix} x+2 & x+3 &x+2a \\ x+3 & x+4 & x+a+c\\ x+4 & x+5 & x+2c \end{vmatrix}

Aplicando R1->R1 – R2 y R3->R3 – R2

un = \begin{vmatrix} -1 & -1 &a-c \\ x+3 & x+4 & x+a+c\\ 1 & 1 & c-a \end{vmatrix}

Aplicando R1->R1 + R3

un = \begin{vmatrix} 0 & 0 &0 \\ x+3 & x+4 & x+a+c\\ 1 & 1 & c-a \end{vmatrix}

Todos los elementos de la primera fila son 0.

Por lo tanto A = 0

Entonces, la respuesta correcta es A.

Pregunta 18. Elija la respuesta correcta.

Si x, y, z son números reales distintos de cero, entonces el inverso de la array A =  \begin{bmatrix} x & 0 & 0\\ 0 & y &0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix}  es 

(A) \begin{bmatrix} x^{-1} & 0 & 0\\ 0 & y^{-1} &0 \\ 0 & 0 & z^{-1} \end{bmatrix}

(B) xyz\begin{bmatrix} x^{-1} & 0 & 0\\ 0 & y^{-1} &0 \\ 0 & 0 & z^{-1} \end{bmatrix}

(C) \frac{1}{xyz}\begin{bmatrix} x & 0 & 0\\ 0 & y &0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix}

(D) \frac{1}{xyz}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Solución:

un = \begin{bmatrix} x & 0 & 0\\ 0 & y &0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix}

|A| = x(yz – 0) = xyz ≠ 0

Por lo tanto, la array es invertible

Ahora,

A 11 = yz

un 12 = 0

un 13 = 0

21 = 0

A 22 = xz

Un 23 = 0

31 = 0

32 = 0

A 33 = xy

adj A = \begin{bmatrix} yz & 0 & 0\\ 0 & xz &0 \\ 0 & 0 & xy \end{bmatrix}

A -1 = (adj. A)/|A|

A – 1 = \frac{1}{xyz}\begin{bmatrix} yz & 0 & 0\\ 0 & xz &0 \\ 0 & 0 & xy \end{bmatrix}

A – 1 = \begin{bmatrix} \frac{yz}{xyz} & 0 & 0\\ 0 & \frac{xz}{xyz} &0 \\ 0 & 0 & \frac{xy}{xyz} \end{bmatrix}

A – 1 = \begin{bmatrix} \frac{1}{x} & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{y} &0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{z} \end{bmatrix}

A – 1 = \begin{bmatrix} x^{-1} & 0 & 0\\ 0 & y^{-1} &0 \\ 0 & 0 & z^{-1} \end{bmatrix}

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Pregunta 19. Elija la respuesta correcta

Sea A =  \begin{bmatrix} 1 & sin\theta & 1\\ -sin\theta & 1 & sin\theta\\ -1 & -sin\theta & 1 \end{bmatrix} , donde 0 ≤ θ ≤ 2, entonces

(A) Det(A) = 0 (B) Det(A) ∈ (2, ∞)

(C) Det(A) ∈ (2, 4) (D) Det(A) ∈ [2, 4]

Solución:

un = \begin{bmatrix} 1 & sin\theta & 1\\ -sin\theta & 1 & sin\theta\\ -1 & -sin\theta & 1 \end{bmatrix}

|A| = 1(1 + sin2θ) – sinθ(-sinθ + sinθ) + 1(sin2θ + 1)

|A| = 1 + sen2θ + sen2θ + 1

= 2 + 2 sen2θ

= 2(1 + sen2θ)

Ahora 0 ≤ θ ≤ 2

Entonces, 0 ≤ senθ ≤ 1

0 ≤ sin2θ ≤ 1

0 + 1 ≤ 1 + sen2θ ≤ 1 + 1

2 ≤ 2(1 + sen2θ) ≤ 4

Det(A) ∈ [2, 4]

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ntptiwari y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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