Clase 12 Soluciones NCERT – Matemáticas Parte I – Capítulo 5 Continuidad y diferenciabilidad – Ejercicio misceláneo en el Capítulo 5

Diferenciar wrt x la función en el Ejercicio 1 al 11.

Pregunta 1. (3 x ² – 9x – 5) ⁹

Solución:

Supongamos y = (3x ² – 9x – 5) ⁹

Ahora, diferencie wrt x

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(3x^2 -9x +5)^9$

Usando la regla de la string, obtenemos

= 9(3x ² – 9x + 5) ⁸ $\frac{d}{dx}(3x^2 -9x +5)$

= 9(3x ² – 9x + 5) ⁸ .(6x – 9)

= 9(3x ² – 9x + 5) ⁸ .3(2x – 3)

= 27(3x ² – 9x + 5) ⁸ (2x – 3)

Pregunta 2. sen ³ x + cos ⁶ x

Solución:

Supongamos y = sen ³ x + cos ⁶ x

Ahora, diferencie wrt x

$\frac{dy}{dx}= \frac{d}{dx}(sen^3x + cos^6x)$

Usando la regla de la string, obtenemos

= $\frac{d}{dx}sen^3x +\frac{d}{dx}cos^6x$

= $3sen^2x.\frac{d}{dx}(senx)+6sen^2x.\frac{d}{dx}(cosx)$

= 3 sen ² x. cos x + 6 cos ⁵ x.(-sen x)

= 3 sen x cos x (sen x – 2 cos ⁴ x)

Pregunta 3. 5x ^{3 cos 2 x}

Solución:

Supongamos y = 5x ^{3 cos 2x}

Ahora estamos tomando logaritmo en ambos lados

logía = 3 cos 2 x log 5 x

Ahora, diferencie wrt x

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=3[log5x.\frac{d}{dx}(cos2x)+cos2x.\frac{d}{dx}(log5x)]$

$\frac{dy}{dx}=3y[log 5x(-sen2x).\frac{d}{dx}(2x)+cos2x.\frac{1}{5x}.\frac{d}{dx}( 5x)]$

$\frac{dy}{dx}=3y[-2sin2xlog5x+\frac{cos2x}{x}]$

$\frac{dy}{dx}=3y[\frac{3cos2x}{x}-6sin2xlog5x]$

$\frac{dy}{dx}=5x^{3cos2x}[\frac{3cos2x}{x}-6sin2xlog5x]$

Pregunta 4. sen ^-1 (x√x), 0 ≤ x ≤ 1

Solución:

Supongamos y = sen ^-1 (x√x)

Ahora, diferencie wrt x

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}sin^{-1}(x\sqrt{x})$

Usando la regla de la string, obtenemos

= $\frac{1}{\sqrt{1-(x\sqrt{x})^2}}.\frac{d}{dx}(x\sqrt{x})$

= $\frac{1}{\sqrt{1-x^3}}.\frac{d}{dx}[x^{\frac{3}{2}}]$

= $\frac{1}{\sqrt{1-x^3}}.\frac{3}{2}.x^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{1-x^3}}$

= $\frac{3}{2}\sqrt{\frac{x}{1-x^3}}$

Pregunta 5. $\frac{cos^{-1}\frac{x}{2}}{\sqrt{2x+7}}$ ,-2 < x < 2

Solución:

Supongamos y = $\frac{cos^{-1}\frac{x}{2}}{\sqrt{2x+7}}$

Ahora, derivar wrt x y por la regla del cociente, obtenemos

$\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{2x+7}\frac{d}{dx}(cos^{-1}\frac{x}{2})-(cos^{-1}\frac{x}{2})\frac{d}{dx}(\sqrt{2x+7})}{(\sqrt{2x+7})^2}$

= $\frac{\sqrt{2x+7}[\frac{-1}{\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}.\frac{d}{dx}(\frac{x}{2})]-(cos^{-1}\frac{x}{2})\frac{1}{2\sqrt{2x+7}}.\frac{d}{dx}(2x+7)}{2x+\frac{7}{2}}$

= $\frac{\sqrt{2x+7}\frac{-1}{\sqrt{4-x^2}}-[cos^{-1}\frac{x}{2}]\frac{2}{2\sqrt{2x+7}}}{2x+7}$

= $\frac{-\sqrt{2x+7}}{\sqrt{4-x^2}(2x+7)}-\frac{cos^{-1}\frac{x}{2}}{(\sqrt{2x+7})(2x+7)}$

= $-[\frac{1}{\sqrt{4-x^2}\sqrt{2x+7}}+\frac{cos^{-1}\frac{x}{2}}{(2x+7)^\frac{1}{2}}]$

Pregunta 6. $cot^{-1}\frac{\sqrt{1+sinx}+\sqrt{1-sinx}}{\sqrt{1+sinx}-\sqrt{1-sinx}}$ , 0 < x < π/2

Solución:

Supongamos y = $cot^{-1}\frac{\sqrt{1+sinx}+\sqrt{1-sinx}}{\sqrt{1+sinx}-\sqrt{1-sinx}}$ ……(1)

ahora resuelve $\frac{\sqrt{1+sinx}+\sqrt{1-sinx}}{\sqrt{1+sinx}-\sqrt{1-sinx}}$

= $\frac{(\sqrt{1+sinx}+\sqrt{1-sinx})^2}{(\sqrt{1+sinx}-\sqrt{1-sinx})(\sqrt{1+sinx}+\sqrt{1-sinx})}$

= $\frac{(1+sinx)+(1-sinx)+2\sqrt{(1-sinx)(1+sinx)}}{(1+sinx)-(1-sinx)}$

= $\frac{2+2\sqrt{1-sin^2x}}{2sinx}$

= $\frac{1+cosx}{sinx}$

= $\frac{2cos^2\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}$

= cox/2

Ahora ponga este valor en la ecuación (1), obtenemos

y = cuna ^-1 (cotx/2)

y = x/2

Ahora, diferencie wrt x

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(x)$

dy/dx = 1/2

Pregunta 7. (log x) ^{log x} , x > 1

Solución:

Supongamos y = (log x) ^{log x}

Ahora estamos tomando logaritmos en ambos lados,

registro y = registro x . registro (registro x)

Ahora, diferencie wrt x en ambos lados, obtenemos

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}[logx.log(logx)]$

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=log(logx).\frac{d}{dx}(log x)+logx.\frac{d}{dx}[log(logx)]$

$\frac{dy}{dx}=y[log(logx).\frac{1}{x}+logx.\frac{1}{logx}.\frac{d}{dx}(logx)]$

$\frac{dy}{dx}=y[\frac{1}{x}log(logx)+\frac{1}{x}]$

$\frac{dy}{dx}=(logx)^{logx}[\frac{1}{x}+\frac{log(logx)}{x}]$

Pregunta 8. cos(a cos x + b sen x), para alguna constante a y b.

Solución:

Supongamos y = cos(a cos x + b sen x)

Ahora, diferencie wrt x

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}cos(acosx+bsinx)$

Usando la regla de la string, obtenemos

$\frac{dy}{dx}=-sin(acosx+bsinx).\frac{d}{dx}(acosx+bsinx)$

= -sen x(a cos x + b sen x).[a (-sen x) + b cos x]

= (a sen x – b cos x). sen (a cos x + b sen x)

Pregunta 9. (sen x – cos x) ^{(sen x – cos x)} , π/4 < x < 3π/4

Solución:

Supongamos y = (sen x – cos x) ^{(sen x – cos x)}

Ahora estamos tomando logaritmos en ambos lados,

log y = (sen x – cos x).log(sen x – cos x)

Ahora, diferencie wrt x, obtenemos

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}[(sinx-cosx)log(sinx-cosx)]$

Usando la regla de la string, obtenemos

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=log(sinx-cosx).\frac{d}{dx}(sinx-cosx)+(sinx-cosx).\frac{d}{dx}log(sinx-cosx)$

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=log(sinx-cosx).(cosx+sinx)+(sinx-cosx).\frac{1}{(sinx-cosx)}.\frac{d}{dx}(sinx-cosx)$

dy/dx = (senx – cosx) ^{(senx – cosx)} [(cosx + senx).log(senx – cosx) + (cosx + senx)]

dy/dx = (senx – cosx) ^{(senx – cosx)} (cosx + senx)[1 + log (senx – cosx)]

Pregunta 10. x ^x + x ^a + a ^x + a ^a para algunos fijos a > 0 y x > 0

Solución:

Supongamos y = x ^x + x ^a + a ^x + a ^a

Además, supongamos que x ^x = u, x ^a = v, a ^x = w, a ^a = s

Por lo tanto, y = u + v + w + s

Entonces, al diferenciar wrt x, obtenemos

$\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}+\frac{dw}{dx}+\frac{ds}{dx}$ ……….(1)

Entonces primero resolvemos: u = x ^x

Ahora estamos tomando logaritmos en ambos lados,

registro u = registro x ^x

log u = x log x

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

$\frac{1}{u}\frac{du}{dx}=logx.\frac{d}{dx}(x)+x.\frac{d}{dx}(logx)$

$\frac{du}{dx}=u[logx.1+x.\frac{1}{x}]$

du/dx = x ^x [logx + 1] = x ^x (1 + logx) …….(2)

Ahora resolvemos: v = x ^a

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

$\frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}(x^a)$

dv/dx = hacha ^{(a – 1)} ……(3)

Ahora resolvemos: w = a ^x

Ahora estamos tomando logaritmos en ambos lados,

log w = log a ^x

log w = x log a

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

$\frac{1}{w}.\frac{dw}{dx}=loga.\frac{d}{dx}(x)$

dw/dx = w loga

dw/dx = ^ax loga ………(4)

Ahora resolvemos: s = a ^a

Entonces, al diferenciar wrt x, obtenemos

ds/dx = 0 ………(5)

Ahora ponga todos estos valores de eq(2), (3), (4), (5) en eq(1), obtenemos

dy/dx = x ^x (1 + logx) + ax ^{(a – 1)} + a ^x loga + 0

= x ^x (1 + log x) + ax ^{a -1} + a ^x log a

Pregunta 11. Diferenciar wrt x, $x^{x^2-3}+(x-3)^{x^2}$ , para x > 3

Solución:

Supongamos y = $x^{x^2-3}+(x-3)^{x^2}$

También consideremos u = $x^{x^2-3}$ y v = $(v-3)^{x^2}$

entonces, y = tu + v

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

$\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}$ …….(1)

Entonces, ahora resolvemos, u = $x^{x^2-3}$

Ahora estamos tomando logaritmos en ambos lados,

registro u = registro $(x^{x^2-3})$

log u = (x ² – 3) log x

Al derivar wrt x, obtenemos

$\frac{1}{u}.\frac{du}{dx} = logx.\frac{d}{dx}(x^2-3) + (x^2-3).\frac{d}{dx}(log x)$

$\frac{1}{u}.\frac{dy}{dx}= logx.2x+(x^2-3).\frac{1}{x}$

= $\frac{du}{dx}= x^{x^2-3}.[\frac{x^2-3}{x}+ 2xlogx]$ …….(2)

Ahora resolvemos: v = $(x-3)^{x^2}$

Ahora estamos tomando logaritmos en ambos lados,

registro v = $log(x-3)^{x^2}$

registro v = x ² registro (x – 3)

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

$\frac{1}{v}.\frac{dv}{dx}= log (x-3).\frac{d}{dx}(x^2)+x^2\frac{d}{dx}[log(x-3)]$

$\frac{1}{v}.\frac{dv}{dx}=log (x-3).2x+x^2.\frac{1}{x-3}.\frac{d}{dx}(x-3)$

$\frac{dv}{dx}=v[2xlog(x-3)+\frac{x^2}{x-3}.1]$

$\frac{dv}{dx}=(x-3)^{x^2}[\frac{x^2}{x-3}+2xlog(x-3)]$ …..(3)

Ahora ponga todos estos valores de eq(2), y (3) en eq(1), obtenemos

$\frac{dy}{dx}= x^{x^2-3}[\frac{x^2-3}{x}+2xlogx]+(x-3)^{x^2}[\frac{x^2}{x-3}+2xlog(x-3)]$

Pregunta 12. Encuentra dy/dx , si y = 12(1 – cos t), x = 10 (t – sin t), -π/2 < t < π/2

Solución:

Según la pregunta

y = 12(1 – cos t) ……(1)

x = 10 (t – sen t) ……(2)

Entonces, \frac{dy}{dx}= \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} ……(3)

Al diferenciar la ecuación (1) con t, obtenemos

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} [12 (1 - cost)]$

= $12\frac{d}{dt}(1- cost )$

= 12.[0 – (- sen t)]

= 12 sen t

Al diferenciar la ecuación (2) con t, obtenemos

$\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}[10. (t - sin t)]$

= $10\frac{d}{dt} (t - sin t)$

= 10(1 – cos t)

Ahora ponga el valor de dy/dt y dx/dt en la ecuación (3), obtenemos

$\frac{dy}{dx}=\frac{12 sin t}{10(1-cost)}$

= $\frac{12.2sin\frac{t}{2}cos \frac{t}{2}}{10.2sin^2\frac{t}{2}}$

= 6/5 cuna t/2

Pregunta 13. Halla dy/dx, si y = sen ^-1 x + sen ^-1 √1-x ² , 0 < x < 1

Solución:

Según la pregunta

y = sen ^-1 x + sen ^-1 √1 – x ²

Al derivar wrt x, obtenemos

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}[sin^{-1}x+sin ^{-1}\sqrt{1-x^2}]$

Usando la regla de la string, obtenemos

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(sin^{-1}x)+\frac{d}{dx}(sin ^{-1}\sqrt{1-x^2})$

= $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{1-x^2}})^2}.\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})$

= $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{x}.\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.\frac{d}{dx}(1-x^2)$

= $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{2x\sqrt{1-x^2}}(-2x)$

= $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

dy/dx = 0

Pregunta 14. Si x√1 + y + y√1 + x = 0, para -1 < x < 1, prueba que $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(1+x)^2}$

Solución:

Según la pregunta

x√1 + y = -y√1 + x

Al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos

x2 ( ¹ + y) = y2 ⁽ 1 + x)

⇒ x ² + x ² y = y ² + xy ²

⇒ x ² – y ² = xy ² – x ² y

⇒ x ² – y ² = xy (y – x)

⇒ (x + y)(x – y) = xy (y – x)

⇒ x + y = -xy

⇒ (1 + x) y = -x

⇒ y = -x/(1 + x)

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

$\frac{dy}{dx}= -\frac{(1+x)\frac{d}{dx}(x)-x\frac{d}{dx}(1+x)}{(1+x)^2}$

= $\frac{(1+x)-x}{(1+x)^2}$

= $-\frac{1}{(1+x)^2}$

Por lo tanto probado.

Pregunta 15. Si (x – a) ² + (y – b) ² = c ² , para alguna c > 0, demuestre que $\frac{[1+(\frac{dy}{dx})^2]^\frac{3}{2}} {\frac{d^2y}{dx^2}}$ es una constante independiente de a y b.

Solución:

Según la pregunta

(x – a) ² + (y – b) ² = c ²

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

$\frac{d}{dx}[(x-a)^2]+\frac{d}{dx}[(y-b)^2]=\frac{d}{dx}(c^2)$

⇒ 2(x – a). $\frac{d}{dx}(x-a)$ + 2(y – b) $\frac{d}{dx}(y-b)$ = 0

⇒ 2(x – a).1 + 2(y – b). $\frac{dy}{dx}$ = 0

⇒ $\frac{dy}{dx}=\frac{-(x-a)}{y-b}$ …….(1)

Nuevamente, al diferenciar ambos lados con respecto a x, obtenemos

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}[\frac{-(x-a)}{y-b}]$

$= -[\frac{(y-b).\frac{d}{dx}(x-a)-(x-a).\frac{d}{dx}(y-b)}{(y-b)^2}]$

$=-[\frac{(y-b)-(x-a).\frac{dy}{dx}}{(y-b)^2}]$

$= -[\frac{(y-b)-(x-a).\{-\frac{(x-a)}{y-b}\}}{(y-b)^2}]$ …….[De la ecuación (1)]

$=-[\frac{(y-b)^2+(x-a)^2}{(y-b)^3}]$

$[\frac{1+[\frac{dy}{dx}]^2}{\frac{d^2y}{dx^2}}]^{\frac{3}{2}}= \frac{[1+\frac{(x-a)^2}{(y-b)^2}]^{\frac{3}{2}}}{-[\frac{(y-b)^2 + (x-a)^2}{(y-b)^3}]}$

= $\frac{[\frac{[(y-b)^2+(x-a)^2]}{(y-b)^2}]^{\frac{3}{2}}}{-[\frac{(y-b)^2+(x-a)^2}{(y-b)^3}]}$

= $\frac{[\frac{c^2}{(y-b)^2}]\frac{3}{2}}{-\frac{c^2}{(y-b)^3}}$

= $\frac{\frac{c^3}{(y-b)^3}}{-\frac{c^2}{(y-b)^3}}$

= – c, que es constante e independiente de a y b.

Por lo tanto probado.

Pregunta 16. Si cos y = x cos (a + y), con cos a ≠ ±1, demuestre que $\frac{dy}{dx}= \frac{cos^2(a+y)}{sina}$

Solución:

Según la pregunta

cos y = x cos (a + y)

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

$\frac{d}{dx}[cos y]$ = $\frac{d}{dx}[x cos(a + y)]$

⇒ – sen y dy/dx = cos (a + y). $\frac{d}{dx}(x)$ + x $\frac{d}{dx}[cos (x+y)]$

⇒ – sen y dy/dx = cos (a + y) + x [-sen (a + y)]dy/dx

⇒ [x sen (a + y) – sen y] dy/dx = cos (a + y) ……..(1)

Como cos y = x cos (a + y), x = $\frac{cosy }{cos (a+y)}$

Ahora podemos reducir la ecuación (1)

$[\frac{cosy}{cos(a+y)}.sin(a+y)-siny]\frac{dy}{dx}$ = cos(a + y)

⇒ [cos y.sen (a + y)- sen y.cos (a + y)].dy/dx = cos ² (a + y)

⇒ sin(a + y – y)dy/dx = cos ² (a + b)

⇒ $\frac{dy}{dx}= \frac{cos^2(a+b)}{sin a}$

Por lo tanto probado.

Pregunta 17. Si x = a (cos t + t sen t) y y = a (sen t – t cos t), encuentre $\frac{d^2y}{dx^2}$

Solución:

Según la pregunta

x = a (cos t + t sen t) …..(1)

y = a (sen t – t cos t) …..(2)

Entonces, \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} …..(3)

Al diferenciar la ecuación (1) con t, obtenemos

dx/dt = a. $\frac{d}{dt}(cost + t sin t)$

Usando la regla de la string, obtenemos

= a[-sen t +sen t. $\frac{d}{dt}(t)$ + T. $\frac{d}{dt}(sin t)$ ]

= a [-sen t + sin t + t cos t]

= al costo t

Al diferenciar la ecuación (2) con t, obtenemos

dy/dt = a. $\frac{d}{dt}(sin t - t cos t)$

Usando la regla de la string, obtenemos

= a [costo t – [costo. $\frac{d}{dt}(t)$ + T. $\frac{d}{dt}(cos t)$ ]]

= a[cos t – {cos t – t sen t}]

= en sen t

Ahora ponga los valores de dx/dt y dy/dt en eq(1), obtenemos

dy/dx = en sen t/en cos t = tan t

Nuevamente, diferenciando ambos lados de x, obtenemos

$\frac{d^2y}{dx^2}= \frac{d}{dx}[\frac{dy}{dx}]$

= $\frac{d}{dx}(tant )$

= seg ² t. $\frac{dt}{dx}$

= seg ² t. $\frac{1}{at cos t}$ ……..[dx/dt = al costo ⇒ dt/dx = 1/al costo]

= seg ³ t/en

Pregunta 18. Si f(x) = |x| ³ , demuestre que f”(x) existe para todo x real y encuéntrelo.

Solución:

Como sabemos que |x| = $\begin{cases} x, \hspace{0.2cm}x\geq0\\ -x,\hspace{0.2cm}x<0 \end{cases}$

Entonces, cuando x ≥ 0, f(x) = |x| ³ = x ³

Entonces, al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

f'(x) = 3x ²

De nuevo, diferenciando ambos lados de x, obtenemos

f”(x) = 6x

Cuando x < 0, f(x) = |x| ³ = -x ³

Entonces, al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

f'(x) = – 3x ²

De nuevo, diferenciando ambos lados de x, obtenemos

f”(x) = -6x

Entonces, para f(x) = |x| ³ , f”(x) existe para todo x real, y está dada por

f”(x) = $\begin{cases} 6x, \hspace{0.2cm}x\geq0\\ -6x,\hspace{0.2cm}x<0 \end{cases}$

Pregunta 19. Usando inducción matemática, demuestre que $\frac{d}{dx}(x^n)$ = (nx) ^{n – 1} para todos los números enteros positivos n.

Solución:

Entonces, P(n) = $\frac{d}{dx}(x^n)$ = (nx) ^{n – 1}

Para n = 1:

P(1) : $\frac{d}{dx}(x^1)$ = (1x)1 ^{– 1} =1

Por lo tanto, P(n) es cierto para n = 1

Consideremos que P(k) es cierto para algún entero positivo k.

Entonces, P(k): $\frac{d}{dx}(x^k)$ = (kx) ^{k – 1}

Para P(k + 1): $\frac{d}{dx}(x^{k+1})$ = ((k + 1)x) ^{(k + 1) – 1}

x ^k $\frac{d}{dx} (x)$ + x. $\frac{d}{dx} (x^k)$ ….(Usando la regla del producto aplicado)

= x ^k .1 + x . k xk ^-1

= ^xk + ^kxk

= (k + 1) x ^k

= (k + 1) x ^{(k + 1) – 1}

Por lo tanto, P(k+1) es verdadero siempre que P(k) sea verdadero.

Entonces, según el principio de inducción matemática, P(n) es cierto para todo número entero positivo n.

Por lo tanto probado.

Pregunta 20. Utilizando el hecho de que sen(A + B) = sen A cos B + cos A sen B y la diferenciación, obtenga la fórmula de suma de cosenos.

Solución:

Según la pregunta

sen(A + B) = sen A cos B + cos A sen B

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

$\frac{d}{dx} [sin(A+B)]$ = $\frac{d}{dx}(sin A cos B)$ + $\frac{d}{dx}(cos A sin B)$

⇒ porque (A + B). $\frac{d}{dx}(A+B)$ = cos B. $\frac{d}{dx}(sin A)$ + sen A. $\frac{d}{dx}(cos B)$ + sen B. $\frac{d}{dx}(cos A)$ + cos A. $\frac{d}{dx}(sin B)$

⇒ coseno (A+B). $\frac{d}{dx}(A+B)$ = cos B.cos A $\frac{dA}{dx}$ + sin A (-sin B) $\frac{dB}{dx}$ + sin B (-sin A). $\frac{dA}{dx}$ + cos A cos B $\frac{dB}{dx}$

⇒ porque (A + B). $[ \frac{dA}{dx}+ \frac{dB}{dx}]$ =(cos A cos B – sen A sen B). $[ \frac{dA}{dx}+ \frac{dB}{dx}]$

Por tanto, cos (A + B) = cos A cos B – sen A sen B

Pregunta 21. ¿Existe una función que sea continua en todas partes pero no diferenciable exactamente en dos puntos? Justifica tu respuesta.

Solución:

Consideremos una función f dada como

f(x) = |x – 1| + |x – 2|

Como ya sabemos que las funciones de módulo son continuas en todos los puntos

Entonces, la suma también es continua en todos los puntos pero no diferenciable en todos los puntos x = 0

Sea x = 1, 2

Ahora en x = 1

LHD = _{límite x⇢ 1 ^–} $\frac{f(x) - f(1)}{(x-1)}$

LHD = _{límite h⇢0} $\frac{f(1-h) - f(1)}{-h}$

= _{límite h⇢0} $\frac{|1-h-1| + |1-h-2| - |1-1|-|1-2|}{-h}$

= _{límite h⇢0} $\frac{|1-h-1| + |1-h-2| - |0|-|-1|}{-h}$

= _{límite h⇢0} $\frac{|-h| + |-h-1| - 1}{-h}$

= _{límite h⇢0} $\frac{h - (-h-1) - 1}{-h}$

= _{límite h⇢0} $\frac {h + h + 1 - 1}{-h}$

= _{límite h⇢0} $\frac{2h}{-h}$

= -2

RHD = _{límite x⇢1 ⁺} $\frac{f(x) - f(1)}{(x-1)}$

RHD = _{límite h⇢0} $\frac{f(1+h) - f(1)}h$

= _{límite h⇢0} $\frac{|1+h-1| + |1+h-2| - |1-1|-|1-2|}{h}$

= _{límite h⇢0} $\frac{|1+h-1| + |1+h-2| - |0|-|-1|}{h}$

= _{límite h⇢0} $\frac{|h| + |h-1| - 1}{h}$

= _{límite h⇢0} $\frac{h - (h-1) - 1}{h}$

= _{límite h⇢0} $\frac{h - h + 1 - 1}{h}$

= _{límite h⇢0} $\frac 0{h}$

= 0

Desde LHD ≠ RHD

Entonces, dada la función f no es diferenciable en x = 1.

De manera similar, obtenemos que la función dada no es diferenciable en x = 2.

Por lo tanto, existe una función que es continua en todas partes pero no diferenciable exactamente en dos puntos.

Pregunta 22. Si $y=\begin{bmatrix} f(x) & g(x) & h(x)\\ l & m & n\\ a & b & c \end{bmatrix}$ prueba que $\frac{dy}{dx}= \begin{bmatrix} f'(x) & g'(x) & h'(x)\\ l & m & n\\ a & b & c \end{bmatrix}$

Solución:

Dado que $y=\begin{bmatrix} f(x) & g(x) & h(x)\\ l & m & n\\ a & b & c \end{bmatrix}$

⇒ y =(mc – nb) f(x)- (lc – na )g(x) +(lb – ma) h(x)

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}$ [(mc -nb) f(x)] – $\frac{d}{dx}$ [(lc – na) g(x)] + $\frac{d}{dx}$ [(lb – ma) h(x)]

= (mc – nb) f'(x) – (lc – na) g'(x) + (lb – ma ) h’ (x)

$= \begin{bmatrix} f'(x) & g'(x) & h'(x)\\ l & m & n\\ a & b & c \end{bmatrix}$

Asi que,

$\frac{dy}{dx}= \begin{bmatrix} f'(x) & g'(x) & h'(x)\\ l & m & n\\ a & b & c \end{bmatrix}$

Por lo tanto probado.

Pregunta 23. Si y = $e^{a cos^{-1}x}$ ,-1 ≤ x ≤ 1, demuestre que $(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}- x \frac{dy}{dx}-a^2y=0$

Solución:

Según la pregunta

y = $e^{a cos^{-1}x}$

Ahora estamos tomando logaritmos en ambos lados,

log y = a cos ^-1 x log e

log y = a cos ^-1 x

Al diferenciar ambos lados de x, obtenemos

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=a.\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

⇒ $\frac{dy}{dx}=\frac{-ay}{\sqrt{1-x^2}}$

Al elevar al cuadrado ambos lados, obtenemos

$[\frac{dy}{dx}]^2=\frac{a^2y^2}{1-x^2}$

⇒(1-x ² ) $[\frac{dy}{dx}]^2$ =a ² y ²

Al derivar nuevamente ambos lados frente a x, obtenemos

$[\frac{dy}{dx}]^2 \frac{d}{dx}(1-x^2)+(1-x^2)\frac{d}{dx} [[\frac{dy}{dx}]^2]=a^2 \frac{d}{dx}(y^2)$

⇒ $[\frac{dy}{dx}]^2(-2x)+(1-x^2).2 \frac{dy}{dx}. \frac{d^2y}{dx^2}=a^2.2y \frac{dy}{dx}$

⇒ $-x \frac{dy}{dx}+(1-x^2) \frac{d^2y}{dx^2}= a^2.y$

$(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}- x \frac{dy}{dx}-a^2y=0$

Por lo tanto probado

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Artículo escrito por ritikasharma23 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Diferenciar wrt x la función en el Ejercicio 1 al 11.

Pregunta 1. (3 x 2 – 9x – 5) 9

Solución:

Pregunta 2. sen 3 x + cos 6 x

Solución:

Pregunta 3. 5x 3 cos 2 x

Solución:

Pregunta 4. sen -1 (x√x), 0 ≤ x ≤ 1

Solución:

Pregunta 5. ,-2 < x < 2

Solución:

Pregunta 6. , 0 < x < π​/2

Solución:

Pregunta 7. (log x) log x , x > 1

Solución:

Pregunta 8. cos(a cos x + b sen x), para alguna constante a y b.

Solución:

Pregunta 9. (sen x – cos x) (sen x – cos x) , π​/4 < x < 3π​/4

Solución:

Pregunta 10. x x + x a + a x + a a para algunos fijos a > 0 y x > 0

Solución:

Pregunta 11. Diferenciar wrt x, , para x > 3

Pregunta 12. Encuentra dy/dx , si y = 12(1 – cos t), x = 10 (t – sin t), -π​/2 < t < π​/2

Pregunta 13. Halla dy/dx, si y = sen -1 x + sen -1 √1-x 2 , 0 < x < 1

Pregunta 14. Si x√1 + y + y√1 + x = 0, para -1 < x < 1, prueba que

Pregunta 15. Si (x – a) 2 + (y – b) 2 = c 2 , para alguna c > 0, demuestre que es una constante independiente de a y b.

Pregunta 16. Si cos y = x cos (a + y), con cos a ≠ ±1, demuestre que

Pregunta 17. Si x = a (cos t + t sen t) y y = a (sen t – t cos t), encuentre

Pregunta 18. Si f(x) = |x| 3 , demuestre que f”(x) existe para todo x real y encuéntrelo.

Pregunta 19. Usando inducción matemática, demuestre que = (nx) n – 1 para todos los números enteros positivos n.

Pregunta 20. Utilizando el hecho de que sen(A + B) = sen A cos B + cos A sen B y la diferenciación, obtenga la fórmula de suma de cosenos.

Pregunta 21. ¿Existe una función que sea continua en todas partes pero no diferenciable exactamente en dos puntos? Justifica tu respuesta.

Pregunta 22. Si prueba que

Pregunta 23. Si y = ,-1 ≤ x ≤ 1, demuestre que

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Pregunta 1. (3 x ² – 9x – 5) ⁹

Pregunta 2. sen ³ x + cos ⁶ x

Pregunta 3. 5x ^{3 cos 2 x}

Pregunta 4. sen ^-1 (x√x), 0 ≤ x ≤ 1

Pregunta 5. $\frac{cos^{-1}\frac{x}{2}}{\sqrt{2x+7}}$ ,-2 < x < 2

Pregunta 6. $cot^{-1}\frac{\sqrt{1+sinx}+\sqrt{1-sinx}}{\sqrt{1+sinx}-\sqrt{1-sinx}}$ , 0 < x < π/2

Pregunta 7. (log x) ^{log x} , x > 1

Pregunta 9. (sen x – cos x) ^{(sen x – cos x)} , π/4 < x < 3π/4

Pregunta 10. x ^x + x ^a + a ^x + a ^a para algunos fijos a > 0 y x > 0

Pregunta 11. Diferenciar wrt x, $x^{x^2-3}+(x-3)^{x^2}$ , para x > 3

Pregunta 12. Encuentra dy/dx , si y = 12(1 – cos t), x = 10 (t – sin t), -π/2 < t < π/2

Pregunta 13. Halla dy/dx, si y = sen ^-1 x + sen ^-1 √1-x ² , 0 < x < 1

Pregunta 14. Si x√1 + y + y√1 + x = 0, para -1 < x < 1, prueba que $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(1+x)^2}$

Pregunta 15. Si (x – a) ² + (y – b) ² = c ² , para alguna c > 0, demuestre que $\frac{[1+(\frac{dy}{dx})^2]^\frac{3}{2}} {\frac{d^2y}{dx^2}}$ es una constante independiente de a y b.

Pregunta 16. Si cos y = x cos (a + y), con cos a ≠ ±1, demuestre que $\frac{dy}{dx}= \frac{cos^2(a+y)}{sina}$

Pregunta 17. Si x = a (cos t + t sen t) y y = a (sen t – t cos t), encuentre $\frac{d^2y}{dx^2}$

Pregunta 18. Si f(x) = |x| ³ , demuestre que f”(x) existe para todo x real y encuéntrelo.

Pregunta 19. Usando inducción matemática, demuestre que $\frac{d}{dx}(x^n)$ = (nx) ^{n – 1} para todos los números enteros positivos n.

Pregunta 22. Si $y=\begin{bmatrix} f(x) & g(x) & h(x)\\ l & m & n\\ a & b & c \end{bmatrix}$ prueba que $\frac{dy}{dx}= \begin{bmatrix} f'(x) & g'(x) & h'(x)\\ l & m & n\\ a & b & c \end{bmatrix}$

Pregunta 23. Si y = $e^{a cos^{-1}x}$ ,-1 ≤ x ≤ 1, demuestre que $(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}- x \frac{dy}{dx}-a^2y=0$