Encuentre la suma de todos los términos en la n-ésima fila de la serie dada

Encuentre la suma de todos los términos en la n-ésima fila de la serie dada a continuación. 
 

               1  2
            3  4  5  6
         7  8  9 10 11 12
     13 14 15 16 17 18 19 20
    ..........................
   ............................
             (so on)

Ejemplos: 
 

Input : n = 2
Output : 18
terms in 2nd row and their sum
sum = (3 + 4 + 5 + 6) = 18

Input : n = 4
Output : 132

Enfoque ingenuo: usando dos bucles. El bucle externo se ejecuta para i = 1 a n veces. El bucle interno se ejecuta para j = 1 a 2 * i veces. Contador de la variable k para realizar un seguimiento del término actual en la serie. Cuando i = n , los valores de k se acumulan en la suma. 
Complejidad temporal: O(k), donde k es el número total de términos desde el principio hasta el final de la n-ésima fila.
Enfoque eficiente: la suma de todos los términos en la n-ésima fila se puede obtener mediante la fórmula: 
 

 Sum(n) = n * (2 * n2 + 1)

La prueba de la fórmula se da a continuación:
Requisito previo:
 

1. La suma de n términos de una serie de progresión aritmética con a como el primer término y d como la diferencia común se da como: 
    

   Sum = (n * [2*a + (n-1)*d]) / 2

1.  
2. La suma de los primeros n números naturales se da como: 
    

   Sum = (n * (n + 1)) / 2

Prueba: 
 

Let the number of terms from the beginning 
till the end of the nth row be p.
Here p = 2 + 4 + 6 + .....n terms
For the given AP series, a = 2, d = 2.
Using the above formula for the sum of
n terms of the AP series, we get,

     p = n * (n + 1)

Similarly, let the number of terms from the 
beginning till the end of the (n-1)th row be q.
Here q = 2 + 4 + 6 + .....n-1 terms
For the given AP series, a = 2, d = 2.
Using the above formula for the sum of
n-1 terms of the AP series, we get,

     q = n * (n - 1)

Now,
Sum of all the terms in the nth row 
           = sum of 1st p natural numbers - 
             sum of 1st q natural numbers
    
           = (p * (p + 1)) / 2 - (q * (q + 1)) / 2

Substituting the values of p and q and then solving
the equation, we will get,

Sum of all the terms in the nth row = n * (2 * n2 + 1)

// C++ implementation to find the sum of all the
// terms in the nth row of the given series
#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
// function to find the required sum
int sumOfTermsInNthRow(int n)
{
    // sum = n * (2 * n^2 + 1)
    int sum = n * (2 * pow(n, 2) + 1);
    return sum;
}
 
// Driver program to test above
int main()
{
    int n = 4;
    cout << "Sum of all the terms in nth row = "
         << sumOfTermsInNthRow(n);
    return 0;
}

// Java implementation to find the sum of all the
// terms in the nth row of the given series
 
import static java.lang.Math.pow;
 
class Test {
    // method to find the required sum
    static int sumOfTermsInNthRow(int n)
    {
        // sum = n * (2 * n^2 + 1)
        int sum = (int)(n * (2 * pow(n, 2) + 1));
        return sum;
    }
 
    // Driver method
    public static void main(String args[])
    {
        int n = 4;
        System.out.println("Sum of all the terms in nth row = "
                           + sumOfTermsInNthRow(n));
    }
}

# Python 3 implementation to find
# the sum of all the terms in the
# nth row of the given series
from math import pow
 
# function to find the required sum
def sumOfTermsInNthRow(n):
     
    # sum = n * (2 * n^2 + 1)
    sum = n * (2 * pow(n, 2) + 1)
    return sum
 
# Driver Code
if __name__ == '__main__':
    n = 4
    print("Sum of all the terms in nth row =",
                   int(sumOfTermsInNthRow(n)))
 
# This code is contributed
# by Surendra_Gangwar

// C# implementation to find the sum of all the
// terms in the nth row of the given series
using System;
 
class Test {
    // method to find the required sum
    static int sumOfTermsInNthRow(int n)
    {
        // sum = n * (2 * n^2 + 1)
        int sum = (int)(n * (2 * Math.Pow(n, 2) + 1));
        return sum;
    }
 
    // Driver method
    public static void Main()
    {
        int n = 4;
        Console.Write("Sum of all the terms in nth row = "
                      + sumOfTermsInNthRow(n));
    }
}
 
// This code is contributed by vt_m.

<?php
// PHP implementation to find
// the sum of all the terms in
// the nth row of the given series
 
// function to find the required sum
function sumOfTermsInNthRow($n)
{
     
    // sum = n * (2 * n^2 + 1)
    $sum = $n * (2 * pow($n, 2) + 1);
    return $sum;
}
 
    // Driver Code
    $n = 4;
    echo "Sum of all the terms in nth row = ",
                        sumOfTermsInNthRow($n);
 
// This code is contributed by ajit
?>

<script>
// javascript implementation to find the sum of all the
// terms in the nth row of the given series
 
// function to find the required sum
function sumOfTermsInNthRow( n)
{
 
    // sum = n * (2 * n^2 + 1)
    let sum = n * (2 * Math.pow(n, 2) + 1);
    return sum;
}
 
// Driver program to test above
 
    let n = 4;
    document.write( "Sum of all the terms in nth row = "
         + sumOfTermsInNthRow(n));
          
// This code is contributed by aashish1995
 
</script>

Producción: 
 

Sum of all the terms in nth row = 132

Complejidad de tiempo: O(1), el código se ejecutará en un tiempo constante.
Espacio auxiliar: O(1), no se requiere espacio adicional, por lo que es una constante.

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