Pregunta 1. En cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones, determine si el sistema tiene una solución única, ninguna solución o soluciones infinitas. En caso de que haya una solución única:
x − 3y − 3 = 0,
3x − 9y − 2 = 0
Solución:
Dado que,
x − 3y − 3 = 0 …(1)
3x − 9y − 2 = 0 …(2)
Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:
a1x + b1y − c1= 0 …(3)
a2x + b2y – c2 = 0 …(4)
Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos
a1 = 1, b1 = −3, c1 = −3
a2 = 3, b2 = −9, c2 = −2
Comprobemos las ecuaciones,
a1/a2 = 1/3
b1/b2 = -3/-9 = 1/3
c1/c2 = -3/-9 = 3/2
a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
Por lo tanto, el conjunto de ecuaciones dado no tiene solución.
Pregunta 2. En cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones determine si el sistema tiene una solución única, ninguna solución o infinitas soluciones. En caso de que haya una solución única:
2x + y – 5 = 0,
4x + 2y − 10 = 0
Solución:
Dado que,
2x + y − 5 = 0 …(1)
4x + 2y − 10 = 0 …(2)
Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:
a1x + b1y − c1 = 0 …(3)
a2x + b2y − c2 = 0 …(4)
Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos
a1 = 2, b1 = 1, c1 = −5 y
a2 = 4, b2 = 2, c2 = −10
Vamos a comprobar la ecuación,
a1/a2 = 2/4 = 1/2
b1/b2 = 1/2
y c1/c2 = -5/-10 = 1/2
Por lo tanto, a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
Por lo tanto, el conjunto de ecuaciones dado tiene infinitas soluciones.
Pregunta 3. En cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones determine si el sistema tiene una solución única, ninguna solución o infinitas soluciones. En caso de que haya una solución única:
3x – 5y = 20,
6x − 10y = 40
Solución:
Dado que,
3x − 5y = 20 …(1)
6x − 10y = 40 …(2)
Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:
a1x + b1y − c1 = 0 …(3)
a2x + b2y − c2 = 0 …(4)
Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos
a1 = 3, b1 = −5, c1 = − 20
a2 = 6, b2 = −10, c2 = − 40
Vamos a comprobar la ecuación,
a1/a2 = 3/6 = 1/2
b1/b2 = -5/-10 – 1/2 y
c1/c2 = -20/-40 = 1/2
Por lo tanto, a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
Por lo tanto, el conjunto de ecuaciones dado tiene infinitas soluciones.
Pregunta 4. En cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones determine si el sistema tiene una solución única, ninguna solución o infinitas soluciones. En caso de que haya una solución única:
x − 2y − 8 = 0,
5x − 10y − 10 = 0
Solución:
Dado que,
x − 2y − 8 = 0 …(1)
5x − 10y − 10 = 0 …(2)
Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:
a1x + b1y − c1 = 0 …(3)
a2x + b2y − c2 = 0 …(4)
Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos
a1 = 1, b1 = −2, c1 = −8
a2 = 5, b2 = −10, c2 = −10
Vamos a comprobar la ecuación,
a1/a2 = 1/5
b1/b2 = -2/-10 y
c1/c2 = -8/-10
Por tanto, a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
Por lo tanto, el conjunto de ecuaciones dado no tiene solución.
Pregunta 5. Encuentra el valor de k para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones que tienen una solución única:
kx + 2y − 5 = 0,
3x + y − 1 = 0
Solución:
Dado que,
kx + 2y − 5 = 0 …(1)
3x + y − 1 = 0 …(2)
Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:
a1x + b1y − c1 = 0 …(3)
a2x + b2y − c2 = 0 …(4)
Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos
a1 = k, b1 = 2, c1 = −5
a2 = 3, b2 = 1, c2 = −1
Para una solución única,
a1/a2 ≠ b1/b2
k/3 ≠ 2/1
k ≠ 6
Entonces, el conjunto dado de ecuaciones tendrá una solución única para todos los valores reales de k distintos de 6.
Pregunta 6. Encuentra el valor de k para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones que tienen una solución única:
4x + ky + 8 = 0,
2x + 2y + 2 = 0
Solución:
Dado que,
4x + ky + 8 = 0 …(1)
2x + 2y + 2 = 0 …(2)
Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:
a1x +b1y − c1 = 0 …(3)
a2x + b2y − c2 = 0 …(4)
Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos
a1 = 4, b1 = k, c1 = 8
a2 = 2, b2 = 2, c2 = 2
Para una solución única,
a1/a2 ≠ b1/b2
4/2 ≠ k/2
k ≠ 4
Entonces, el conjunto dado de ecuaciones tendrá una solución única para todos los valores reales de k distintos de 4.
Pregunta 7. Encuentra el valor de k para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones que tienen una solución única:
4x – 5y = k,
2x − 3y = 12
Solución:
Dado que,
4x − 5y − k = 0 …(1)
2x − 3y − 12 = 0 …(2)
Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:
a1x + b1y − c1 = 0 …(3)
a2x + b2y − c2 = 0 …(4)
Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos
a1 = 4, b1 = −5, c1 = −k
a2 = 2, b2 = -3, c2 = -12
Para una solución única,
a1/a2 ≠ b1/b2
4/2 ≠ -5/-3
Aquí, k puede tener cualquier valor real.
Por lo tanto, el conjunto de ecuaciones dado tendrá solución única para todos los valores reales de k.
Pregunta 8. Encuentra el valor de k para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones que tienen una solución única:
x + 2y = 3,
5x + ky + 7 = 0
Solución:
Dado que,
x + 2y = 3 …(1)
5x + ky + 7 = 0 …(2)
Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:
a1x + b1y − c1 = 0 …(3)
a2x + b2y − c2 = 0 …(4)
Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos
a1 = 1, b1 = 2, c1 = −3
a2 = 5, b2 = k, c2 = 7
Para una solución única,
a1/a2 ≠ b1/b2
1/5 ≠ 2/k
k ≠ 10
Entonces, el conjunto dado de ecuaciones tendrá una solución única para todos los valores reales de k distintos de 10.
Pregunta 9. Encuentra el valor de k para el cual cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones tiene infinitas soluciones:
2x + 3y − 5 = 0,
6x − ky − 15 = 0
Solución:
Dado que,
2x + 3y − 5 = 0 …(1)
6x − ky − 15 = 0 …(2)
Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:
a1x + b1y − c1 = 0 …(3)
a2x + b2y − c2 = 0 …(4)
Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos
a1 = 2, b1 = 3, c1 = −5
a2 = 6, b2 = k, c2 = −15
Para una solución única,
Tenemos
a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
2/6 = 3/k
k = 9
Por lo tanto, cuando k = 9, el conjunto de ecuaciones dado tendrá infinitas soluciones.
Pregunta 10. Encuentra el valor de k para el cual cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones tiene infinitas soluciones:
4x + 5y = 3,
x + 15y = 9
Solución:
Dado que,
4x + 5y = 3 …(1)
kx +15y = 9 …(2)
Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:
a1x + b1y − c1 = 0 …(3)
a2x + b2y − c2 = 0 …(4)
Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos
a1 = 4, b1 = 5, c1 = 3
a2 = k, b2 = 15, c2 = 9
Para una solución única,
Tenemos
a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
4/k = 5/15 = -3/-9
4/k = 1/3
k = 12
Por lo tanto, cuando k = 12, el conjunto de ecuaciones dado tendrá infinitas soluciones.
Pregunta 11. Encuentra el valor de k para el cual cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones tiene infinitas soluciones:
kx − 2y + 6 = 0,
4x + 3y + 9 = 0
Solución:
Dado que,
kx − 2y + 6 = 0 …(1)
4x + 3y + 9 = 0 …(2)
Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:
a1x + b1y − c1 = 0 …(3)
a2x + b2y − c2 = 0 …(4)
Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos
a1 = k, b1 = −2, c1 = 6
a2 = 4, b2 = −3, c2 = 9
Para una solución única
Tenemos
a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
k/4 = -2/-3 = 2/3
k = 8/3
Por lo tanto, cuando k = 8/3, el conjunto de ecuaciones dado tendrá infinitas soluciones.
Pregunta 12. Encuentra el valor de k para el cual cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones tiene infinitas soluciones:
8x + 5y = 9,
kx + 10y = 19
Solución:
Dado que,
8x + 5y = 9 …(1)
kx + 10y = 19 …(2)
Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:
a1x + b1y − c1 = 0 …(3)
a2x + b2y − c2 = 0 …(4)
Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos
a1 = 8, b1 = 5, c1 = −9
a2 = k, b2 = 10, c2 = −19
Para una solución única
Tenemos
a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
8/k = 5/10 = k = 16
Por lo tanto, cuando k = 16, el conjunto de ecuaciones dado tendrá infinitas soluciones.
Pregunta 13. Encuentra el valor de k para el cual cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones tiene infinitas soluciones:
2x − 3y = 7,
(k + 2)x − (2k + 1)y = 3(2k − 1)
Solución:
Dado que,
2x − 3y = 7 …(1)
(k + 2)x − (2k + 1)y = 3(2k − 1) …(2)
Entonces, las ecuaciones dadas están en la forma de:
a1x + b1y − c1 = 0 …(3)
a2x + b2y − c2 = 0 …(4)
Al comparar la ecuación (1) con la ecuación (3) y la ecuación (2) con la ecuación (4), obtenemos
a1 = 2, b1 = −3, c1 = −7
a2 = k, b2 = − (2k + 1), c2 = −3(2k − 1)
Ahora, para una solución única
Tenemos
a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
= 2/(k + 2) = -3/-(2k + 1) = -7/-3(2k – 1)
= 2/(k + 2) = -3/-(2k + 1) y -3/-(2k + 1) = -7/-3(2k – 1)
= 2(2k + 1) = 3(k + 2) y 3 × 3(2k − 1) = 7(2k + 1)
= 4k + 2 = 3k + 6 y 18k − 9 = 14k + 7
= k = 4 y 4k = 16
= k = 4
Por lo tanto, cuando k = 4, el conjunto de ecuaciones dado tendrá infinitas soluciones.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por ronilpatil y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA