Capítulo 1 Relaciones y Funciones – Ejercicio 1.1 | Serie 1
Pregunta 11. Demostrar que la relación R en el conjunto A de puntos en un plano dada por R ={ (P,Q): distancia del punto P al origen es igual a la distancia del punto Q al origen} , es una relación de equivalencia. Además, demuestre que el conjunto de todos los puntos relacionados con un punto P ≠ (0, 0) es el círculo que pasa por P con el origen como centro.
Solución:
Podemos ver (P, P) ∈ R ya que, la distancia del punto P al origen es siempre la misma que la distancia del mismo punto P al origen. Por lo tanto, R es reflexivo.
Sea (P,Q)∈ R.
⇒La distancia del punto P al origen es la misma que la distancia del punto Q al origen.
⇒La distancia del punto Q al origen es la misma que la distancia del punto P al origen.
Entonces, (Q,P) ∈ R. Por lo tanto, R es simétrica.
Sea (P,Q), (Q,S) ∈ R.
⇒La distancia del punto P al origen es la misma que la distancia del punto Q al origen y también, la distancia del punto P al origen es la misma.
⇒ La distancia de los puntos P y S al origen es la misma.
⇒(P, S) ∈ R. Por tanto, R es transitiva.
Por lo tanto, R es una relación de equivalencia.
El conjunto de todos los puntos relacionados con P ≠ (0, 0) serán aquellos puntos cuya distancia al origen sea igual a la distancia del punto P al origen.
En otras palabras, si O(0 0) es el origen y OP = k, entonces el conjunto de todos los puntos relacionados con P está a la misma distancia que k del origen. Por lo tanto, este conjunto de puntos forma un círculo con el centro como origen y el círculo pasa por el punto P.
Pregunta 12. Demostrar que la relación R definida en el conjunto A de todos los triángulos como R={(T 1 ,T 2 ): T 1 es similar a T 2 }, es una relación de equivalencia. Considere tres triángulos rectángulos T 1 con lados 3, 4, 5, T 2 con lados 5, 12, 13 y T 3 con lados 6, 8, 10. ¿Qué triángulos entre T 1 , T 2 y T 3 están relacionados?
Solución:
R es reflexivo ya que todo triángulo es semejante a sí mismo.
Si (T 1 , T 2 ) ∈ R, entonces T 1 es similar a T 2 . Entonces, (T 2 , T 1 ) ∈ R. Por lo tanto, R es simétrica.
Sea (T 1 , T 2 ), (T 2 , T 3 ) ∈ R, entonces T 1 es similar a T 2 y T 2 es similar a T 3 . Entonces, T 1 también es similar a T 3 . Por lo tanto, (T 1 , T 3 ) ∈ R entonces, R es transitiva.
Por lo tanto, R es una relación de equivalencia.
Observamos,
(3/6)=(4/8)=(5/10)=1/2
Por lo tanto, los lados correspondientes de los triángulos T 1 y T 3 están en la misma proporción. Entonces, el triángulo T 1 es semejante al triángulo T 3 .
Por lo tanto, T 1 está relacionado con T 3 .
Pregunta 13. Demostrar que la relación R definida en el conjunto A de todos los polígonos como R={(P 1 , P 2 ): P 1 y P 2 tienen el mismo número de lados}, es una relación de equivalencia. ¿Cuál es el conjunto de todos los elementos de A relacionados con el triángulo rectángulo T de lados 3, 4 y 5?
Solución:
R es reflexivo ya que (P 1 , P 2 ) ∈ R ya que el mismo polígono tiene el mismo número de lados consigo mismo.
Sea (P 1 , P 2 ) ∈ R, entonces P 1 y P 2 tienen el mismo número de lados. Entonces, (P 2 , P 1 ) ∈ R. Por lo tanto, R es simétrica.
Sea (P 1 , P 2 ), (P 2 , P 3 ) ∈ R, entonces P 1 y P 2 tienen el mismo número de lados. Además, P 2 y P 3 tienen el mismo número de lados. Entonces, P 1 y P 3 tienen el mismo número de lados, es decir, (P 1 , P 3 ) ∈ R. Por lo tanto, R es transitiva.
Por lo tanto, R es una relación de equivalencia.
Los elementos de A relacionados con el triángulo rectángulo (T) de lados 3, 4 y 5 son aquellos polígonos que tienen 3 lados (ya que T es un polígono de 3 lados).
Por tanto, el conjunto de todos los elementos de A relacionados con el triángulo T es el conjunto de todos los triángulos.
Pregunta 14. Sea L el conjunto de todas las líneas en el plano XY y R la relación en L definida como R={(L 1 , L 2 ): L 1 es paralela a L 2 }. Demuestre que R es una relación de equivalencia. Encuentra el conjunto de todas las líneas relacionadas con la línea y=2x+4.
Solución:
R es reflexivo ya que cualquier línea L 1 es paralela a sí misma, es decir, (L 1 , L 2 ) ∈ R.
Sea (L 1 , L 2 ) ∈ R, entonces L 1 es paralela a L 2 . Entonces, (L 2 , L 1 ) ∈ R. Por lo tanto, R es simétrica.
Sea (L 1 , L 2 ), (L 2 , L 3 ) ∈ R, entonces L 1 es paralela a L 2 y L 2 es paralela a L 3 . Entonces, L 1 es paralelo a L 3 . Por lo tanto, R es transitiva.
Por lo tanto, R es una relación de equivalencia.
El conjunto de todas las rectas relacionadas con la recta y=2x+4 es el conjunto de todas las rectas que son paralelas a la recta y=2x+4. La pendiente de la recta es m=2.
Se sabe que las rectas paralelas tienen las mismas pendientes. La recta paralela a la recta dada es de la forma y=2x +c, donde c ∈ R.
Por tanto, el conjunto de todas las rectas relacionadas con la recta dada está dado por y=2x +c, donde c ∈ R.
Pregunta 15. Sea R la relación en el conjunto {1, 2, 3, 4} dada por R={(1,2), (2,2), (1,1), (4,4), ( 1,3), (3,3), (3,2)}. Elige la respuesta correcta.
(A) R es reflexivo y simétrico pero no transitivo.
(B) R es reflexivo y transitivo pero no simétrico.
(C) R es simétrico y transitivo pero no reflexivo.
(D) R es la relación de equivalencia .
Solución:
Se ve que (a,a) ∈ R, para todo a ∈ {1, 2, 3, 4}. Por lo tanto, R es reflexivo.
Se ve que (1,2) ∈ R pero (2,1) ∉ R. Por tanto, R no es simétrico.
Además, se observa que (a,b), (b,c) ∈ R⇒ (a,c) ∈ R para todo a, b, c ∈ {1, 2, 3, 4}. Por lo tanto, R es transitiva.
Por lo tanto, R es reflexivo y transitivo pero no simétrico. La respuesta correcta es B.
Pregunta 16. Sea R la relación en el conjunto N dada por R={(a,b):a=b-2; b>6}. Elige la respuesta correcta.
(A) (2,4) ∈ R
(B) (3,8) ∈ R
(C) (6,8)
(D) (8,7) ∈ R
Solución:
Como b>a, (2,4) ∉ R también, como 3≠8-2, (3,8)∉R y como 8≠7-2. Por lo tanto, (8,7)∉R
Considere (6,8). Tenemos 8>6 y también 6=8-2. Por lo tanto, (6,8) ∈ R.
La respuesta correcta es C.