Pregunta 1. Determina si cada una de las siguientes relaciones son reflexivas, simétricas y transitivas:
(i) Relación R en el conjunto A={ 1, 2,3, . . ., 13, 14} definida como R={ ( x , y):3x-y=0}
Solución:
A={1 ,2 ,3,…,13, 14}
R={(x,y): 3x-y=0}
Por lo tanto R={(1,3),(2,6),(3,9),(4,12)}
R no es reflexivo ya que (1,1),(2,2),(3,3),…,(14,14)∉R
Además, R no es reflexivo ya que (1,3)∈R, pero (3,1)∉R.[ya que 3(3)-1≠0]
Además, R no es transitiva como (1,3), (3,9)∈R, sino (1,9)∉R.[ya que 3(1)-9≠0]
Por lo tanto, R no es reflexivo, ni simétrico ni transitivo.
(ii) Relación R en el conjunto N de números naturales definido como R={ ( x, y) : y=x+5 y x<4}
Solución:
R={(x, y): y=x+5 y x<4}={(1,6), (2, 7), (3,8)}
Se ve que (1, 1)∉R. Por lo tanto, R no es reflexivo.
(1, 6)∈R. Pero, (6, 1)∉R entonces, R no es simétrico.
Ahora, dado que no hay un par en R tal que (x, y) y (y, z)∈R, entonces (x, z) no puede pertenecer a R. Por lo tanto, R no es transitiva.
Entonces, podemos concluir que R no es ni reflexivo, ni simétrico, ni transitivo.
(iii) Relación R en el conjunto A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} como R={(x, y): y es divisible por x}
Solución:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
R={(x, y): y es divisible por x}
Sabemos que cualquier número es siempre divisible por sí mismo.⇒ (x, x)∈ R. Por lo tanto, R es reflexivo.
Vemos, (2, 4)∈R [4 es divisible por 2]. Pero, (4, 2)∉R [2 no es divisible por 4]. Por lo tanto, R no es simétrica .
Supongamos (x, y), (y, z) ∈ R. Entonces, y es divisible por x y z es divisible por y. Por tanto, z es divisible por x.⇒ (x, z) ∈ R. Por tanto, R es transitiva.
(iv) Relación R en el conjunto Z de todos los enteros definidos como R={(x, y): xy es un entero}
Solución:
R={(x, y): xy es un número entero}
Para todo x ∈ Z, (x, x) ∈ R [xx=0 que es un número entero]. Por lo tanto, R es reflexivo.
Para todo x, y ∈ Z si (x, y) ∈ R, entonces xy es un número entero. ⇒-(xy) también es un número entero. ⇒ (yx) también es un número entero. Por lo tanto, R es simétrica.
Supongamos, (x, y) y (y, z) ∈ R, donde x, y y z ∈ Z . ⇒ (xy) y (yz) son números enteros. ⇒ xz=(xy)+(yz) es un número entero. ⇒ (x, z) ∈ R. Por tanto, R es transitiva.
(v) Relación R en un conjunto A de seres humanos en un pueblo en un momento determinado, dada por:
(a)R={(x,y) : x e y trabajan en el mismo lugar.
Solución:
Podemos ver (x,x) ∈ R . Por lo tanto, R es reflexivo.
Si (x,y) ∈ R, entonces x e y trabajan en el mismo lugar. Entonces, (y,x) ∈ R. Por lo tanto, R es simétrica.
Sea, (x,y), (y,z) ∈ R.
⇒ x e y trabajan en el mismo lugar e yy z trabajan en el mismo lugar.
⇒ x y z trabajan en el mismo lugar.
Por lo tanto, R es transitiva.
(b) R={(x,y): x e y viven en la misma localidad}.
Solución:
Podemos ver (x,x) ∈ R. Por lo tanto, R es reflexivo.
Si (x,y) ∈ R, entonces x e y viven en la misma localidad. Entonces, (y,x) ∈ R. Por lo tanto, R es simétrica.
Sean (x,y) ∈ R y (y,z) ∈ R. Entonces, x, y y z viven en la misma localidad. Entonces, (x,z) ∈ R. Por lo tanto, R es transitiva.
(c) R={(x,y): x es exactamente 7 cm más alto que y}.
Solución:
(x,x)∉R ya que, el ser humano no puede ser más alto que él mismo. Entonces, R no es reflexivo.
Sea (x,y) ∈ R, entonces x es exactamente 7 cm más alto que y. Entonces, y no es más alto que x. Por lo tanto, R no es simétrico.
Sea (x,y), (y,z) ∈ R, entonces x es exactamente 7 cm más alto que y e y es exactamente 7 cm más alto que z, lo que significa que x es 14 cm más alto que z. Entonces, (x,z)∉R . Por lo tanto, R no es transitiva.
(d) R={(x,y): x es esposa de y}.
Solución:
(x,x) ∉ R. Ya que, x no puede ser esposa de sí misma. Por lo tanto, R no es reflexivo.
Sea (x,y) ∈ R, entonces x es la esposa de y. Entonces, y no es la esposa de x, es decir, (y,x) ∉ R. Por lo tanto, R no es simétrico .
Sea (x,y), (y,z) ∈ R, entonces x es la esposa de yey es la esposa de z lo cual no es posible. Entonces, R no puede ser transitiva.
(e) R={(x,y): x es padre de y}.
Solución:
(x,x) ∉ R. Ya que, x no puede ser padre de sí mismo. Por lo tanto, R no es reflexivo.
Sea (x,y) ∈ R, entonces x es el padre de y. Entonces, y no puede ser el padre de x. Entonces, (y,x) ∉ R. Por lo tanto, R no es simétrico.
Sea (x,y), (y,z) ∈ R, entonces x es el padre de yey es el padre de z lo que significa que x es el abuelo de z. Entonces, Entonces, (x, z) ∉ R. Por lo tanto, R no es transitiva.
Pregunta 2. Demostrar que la relación R en el conjunto R de números reales, definida como R= {(a, b): a ≤ b 2 } no es ni reflexiva ni simétrica ni transitiva.
Solución:
Se puede observar que (½, ½) ∉ R, ya que ½>(½) 2 =¼. Por lo tanto, R no es reflexivo.
(1,4) ∈ R como 1<4 2 .Pero, (4,1) ∉ R. Por lo tanto, R no es simétrico.
(3,2), (2,1.5) ∈ R. Pero, 3> (1.5) 2 =2.25 . Entonces, (3,1.5) ∉ R. Por lo tanto, R no es transitiva.
Por lo tanto, R no es ni reflexivo, ni simétrico, ni transitivo.
Pregunta 3. Comprueba si la relación R definida en el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} como R={(a,b): b=a+1} es reflexiva, simétrica o transitiva}.
Solución:
Deje que el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} se llame A.
R={(1,2), (2, 3), (3, 4), (4, 5
), (5, 6)}Podemos ver (x, x) ∉ R. Ya que, x ≠ x+1. Por lo tanto, R no es reflexivo.
Se observa que (1,2) ∈ R pero, (2,1) ∉ R. Por tanto, R no es simétrica.
Podemos ver, (1,2), (2, 3) ∈ R, pero (1,3) ∉ R. Por lo tanto, R no es transitiva.
Por lo tanto, R no es ni reflexivo, ni simétrico, ni transitivo.
Pregunta 4. Muestre que la relación R en R definida como R={(a, b): a≤ b}, es reflexiva y transitiva pero no simétrica.
Solución:
Claramente, (a,a) ∈ R cuando a=a. Por lo tanto, R es reflexivo.
(2,4) ∈ R (como 2<4) pero (4,2) ∉ R como 4 es mayor que 2. Por lo tanto, R no es simétrico.
Sean (a,b), (b,c) ∈ R. Entonces, a≤ b y b≤ c.
⇒a ≤c.
(a, c) ∈ R. Por tanto, R es transitiva.
Por lo tanto, R es reflexivo y transitivo pero no simétrico.
Pregunta 5. Comprueba si la relación R en R definida como R ={ (a, b): a ≤ b 3 } es reflexiva, simétrica o transitiva.
Solución:
Se observa que (½, ½) ∉ R como ½ > (½) 3 =(1/8). Por lo tanto, R no es reflexivo.
(1,2) ∈ R(como 1<8) pero, (2,1) ∉ R. Por lo tanto, R no es simétrico.
Tenemos, (3, 3/2), (3/2, 6/5) ∈ R pero, (3, 6/5) ∉ R. Por tanto, R no es transitiva.
Por lo tanto, R no es ni reflexivo, ni simétrico, ni transitivo.
Pregunta 6. Muestre que la relación R en el conjunto {1, 2, 3} dada por R={(1,2), (2,1)} es simétrica pero no reflexiva ni transitiva.
Solución:
Deje que el conjunto {1, 2, 3} se llame A.
Se ve que, (1, 1), (2,2), (3,3)∉ R. Por tanto, R no es reflexiva.
Como (1, 2) ∈ R y (2, 1) ∈ R. Por lo tanto, R es simétrico.
Sin embargo, (1, 1)∉ R. Por lo tanto, R no es transitiva.
Por lo tanto, R es simétrico pero ni reflexivo ni transitivo.
Pregunta 7. Demostrar que la relación R en el conjunto A de todos los libros de una biblioteca de una facultad, dada por R={(x,y): xey tienen el mismo número de páginas} es una relación de equivalencia.
Solución:
El conjunto A es el conjunto de todos los libros de la biblioteca de una universidad.
R={(x,y):x e y tienen el mismo número de páginas}
R es reflexivo ya que (x,x) ∈ R cuando x y x tienen el mismo número de páginas.
Sea (x,y) ∈ R
⇒x e y tienen el mismo número de páginas
⇒y yx tienen el mismo número de páginas.
⇒(y,x)∈ R
Por lo tanto, R es simétrico.
Sean (x,y) ∈ R y (y,z)∈ R.
⇒x e y tienen el mismo número de páginas e yyz tienen el mismo número de páginas.
⇒x y z tienen el mismo número de páginas.
⇒(x,z) ∈ R
Por lo tanto, R es transitiva.
Por lo tanto, R es una relación de equivalencia.
Pregunta 8. Demostrar que la relación R en el conjunto A ={1,2,3,4,5} dada por R={(a,b):|ab| is even} , es una relación de equivalencia . Demuestra que todos los elementos de {1,3,5} están relacionados entre sí y que todos los elementos de {2, 4} están relacionados entre sí. Pero ningún elemento de {1,3,5} está relacionado con ningún elemento de {2,4}.
Solución:
A={1,2,3,4,5}
R={(a,b):|ab| incluso }
Es claro que para cualquier elemento a∈ A, tenemos |aa|=0 (que es par).
Por lo tanto, R es reflexivo.
Sean (a,b) ∈ R.
⇒|ab| incluso.
⇒|-(ab)|=|ba| también es par.
⇒(b,a)∈ R
Por lo tanto, R es simétrica.
Ahora, sean (a,b)∈ R y (b,c)∈ R.
⇒|ab| es par y |bc| incluso.
⇒(ab) es par y (bc) es par.
⇒(ac)=(ab)+(bc) es par. [La suma de dos enteros pares es par]
⇒|ac| incluso.
Por lo tanto, R es transitiva.
Por lo tanto, R es una relación de equivalencia.
Todos los elementos del conjunto {1,2,3} están relacionados entre sí ya que todos los elementos de este subconjunto son impares. Por tanto, el módulo de la diferencia entre dos elementos cualesquiera será par.
De manera similar, todos los elementos del conjunto {2,4} están relacionados entre sí ya que todos los elementos de este subconjunto son pares.
Además, ningún elemento del subconjunto {1,3,5} puede relacionarse con ningún elemento de {2,4} ya que todos los elementos de {1,3,5} son impares y todos los elementos de {2,4} son pares . Así, el módulo de la diferencia entre los dos elementos (de cada uno de estos dos subconjuntos) no será par.
Pregunta 9: Muestre que cada una de las relaciones R en el conjunto A={x∈ Z:0<=x<=12} , dada por
(i) R={(a,b):|ab| es múltiplo de 4}
(ii) R={(a,b):a=b}
es una relación de equivalencia. Encuentre el conjunto de todos los elementos relacionados con 1 en cada caso.
Solución:
A={x∈ Z:0<=x<=12}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
(i) R={(a,b):|ab| es múltiplo de 4}
Para cualquier elemento a ∈A , tenemos (a,a)∈R ya que |aa|=0 es un múltiplo de 4.
Por lo tanto, R es reflexivo.
Ahora, sea (a,b)∈R ⇒|ab| es múltiplo de 4.
⇒|-(ab)|=|ba| es múltiplo de 4.
⇒(b,a)∈R
Por lo tanto, R es simétrica.
Sea (a,b) ,(b,c) ∈ R.
⇒|ab| es múltiplo de 4 y |bc| es múltiplo de 4.
⇒(ab) es múltiplo de 4 y (bc) es múltiplo de 4.
⇒(ac)=(ab)+(bc) es múltiplo de 4.
⇒|ac| es múltiplo de 4.
⇒(a,c)∈R
Por lo tanto, R es transitiva.
Por lo tanto, R es una relación de equivalencia.
El conjunto de elementos relacionados con 1 es {1,5,9} ya que |1-1|=0 es múltiplo de 4,
|5-1|=4 es múltiplo de 4, y
|9-1|=8 es múltiplo de 4.
(ii) R={(a,b):a=b}
Para cualquier elemento a∈A, tenemos (a,a) ∈ R , ya que a=a.
Por lo tanto, R es reflexivo.
Ahora, sea (a,b)∈R.
⇒a=b
⇒b=a
⇒(b,a)∈R
Por lo tanto, R es simétrica.
Ahora, sean (a,b)∈R y (b,c)∈R.
⇒a=b y b=c
⇒a=c
⇒(a,c)∈R
Por lo tanto, R es transitiva.
Por lo tanto, R es una relación de equivalencia.
Los elementos de R que están relacionados con 1 serán aquellos elementos del conjunto A que son iguales a 1.
Por lo tanto, el conjunto de elementos relacionados con 1 es {1].
Pregunta 10: Da un ejemplo de una relación. Cual es
(i) Simétrico pero ni reflexivo ni transitivo.
(ii) Transitiva pero ni reflexiva ni simétrica.
(iii) Reflexivo y simétrico pero no transitivo.
(iv) Reflexivo y transitivo pero no simétrico.
(v) Simétrica y transitiva pero no reflexiva.
Solución:
(i) Sea A ={5,6,7}.
Defina una relación R en A como R ={(5,6),(6,5)}.
La relación R no es reflexiva como (5,5) , (6,6),(7,7)∉R.
Ahora, como (5,6)∈R y también (6,5)∈R, R es simétrico.
⇒(5,6),(6,5)∈R , pero (5,5)∉R
Por lo tanto, R no es transitiva.
Por lo tanto, la relación R es simétrica pero no reflexiva ni transitiva.
(ii) Considere una relación R en R definida como:
R= {(a,b): a<b}
Para cualquier a∈R, tenemos (a,a)∉R ya que a no puede ser estrictamente menor que sí mismo. De hecho a=a.
Por lo tanto, R no es reflexivo. Ahora,
(1,2)∈R (como 1<2)
Pero, 2 no es menor que 1.
Por lo tanto, (2,1)∉R
Por lo tanto, R no es simétrica.
Ahora, sea (a,b),(b,c)∈R.
⇒a<b y b<c
⇒a<c
⇒ (a,c)∈R
Por lo tanto, R es transitiva.
Por lo tanto, la relación R es transitiva pero no reflexiva y simétrica.
(iii) Sea A={4,6,8}.
Defina una relación R en A como:
A={(4,4),(6,6),(8,8),(4,6),(6,4),(6,8),(8,6)}
La relación R es reflexiva ya que para todo a∈A , (a,a)∈R ie,(4,4),(6,6),(8,8)∈R.
La relación R es simétrica ya que (a,b)∈R⇒(b,a)∈R para todo a,b∈R.
La relación R no es transitiva ya que (4,6),(6,8)∈R , pero (4,8)∉R.
Por lo tanto, la relación R es reflexiva y simétrica pero no transitiva.
(iv) Defina una relación R en R como:
R={(a,b): un 3 ≥ segundo 3 }
Claramente (a,a)∈R como a^3=a^3
Por lo tanto, R es reflexivo.
Ahora, (2,1)∈R(como 2 3 >=1 3 )
Pero, (1,2)∉ R (como 1 3 < 2 3 )
Por lo tanto, R no es simétrico.
Sean (a,b), (b,c) ∈ R.
⇒a 3 >= b 3 y b 3 >=c 3
⇒a 3 >=c 3
⇒(a, c)∈R
Por lo tanto, R es transitiva.
Por lo tanto, la relación R es reflexiva y transitiva pero no simétrica.
(v) Sea A={-5,-6},
Defina una relación R en A como:
R={(-5,-6), (-6,-5), (-5,-5)}
La relación R no es reflexiva como (-6,-6)∉ R.
La relación R es simétrica como (-5,-6)∈ R y (-6,-5)∈ R.
Se ve que (-5,-6),(-6,-5)∈R . También, (-5,-5)∈R.
Por lo tanto, la relación R es transitiva.
Por lo tanto, la relación R es simétrica y transitiva pero no reflexiva.