Pregunta 1. Muestre que la función f: R * ⇢ R * definida por f(x)=(1/x) es uno-uno y adelante, donde R * es el conjunto de todos los números reales distintos de cero. ¿Es verdadero el resultado si el dominio R * se reemplaza por N con un codominio igual que R * ?
Solución:
Uno uno:
f(x)=f(y)
⇒1/x =1/año
⇒x=y
Por lo tanto, f es uno-uno.
Sobre:
Es claro que para y∈ R * existe x=(1/y)∈ R * (existe como y ≠ 0) tal que f(x)=1/(1/y)=y
Por lo tanto, f es sobre.
Así, considere la función g: N⇢R * definida por g(x)=1/x
Tenemos, f(x 1 )=g(x 2 )⇒1/x 1 =1/x 2 ⇒x 1 =x 2
Por lo tanto, g es uno-uno.
Además, está claro que g no es sobre como para 1.2∈ R * no existe ninguna x en N tal que g(x)=1/(1.2)
Por tanto, la función g es uno-uno pero no sobre.
Pregunta 2. Comprueba la inyectividad y sobreyectividad de las siguientes funciones:
(i) f: N⇢N dado por f(x)=x 2
Solución:
Se ve que para x, y ∈ N, f(x)=f(y) ⇒x 2 =y 2 ⇒x=y
Por lo tanto, f es inyectiva.
Ahora, 2 ∈ N pero no existe ningún x en N tal que f(x)=x 2 =2.
Por lo tanto, f no es sobreyectiva.
(ii) f: Z ⇢ Z dada por f(x)=x 2
Solución:
Se ve que f(-1)=f(1), pero -1 ≠1. Por lo tanto, f no es inyectiva.
-2 ∈ Z. Pero, no existe ninguna x en Z tal que f(x)= x 2 =-2. Por tanto, f no es sobreyectiva
(iii) f: R⇢ R dada por f(x)=x 2
Solución:
Se ve que f(-1)=f(1), pero -1 ≠1. Por lo tanto, f no es inyectiva.
-2 ∈ R. Pero, no existe ninguna x en R tal que f(x)= x 2 =-2. Por lo tanto, f no es sobreyectiva.
(iv)f: N ⇢N dado por f(x)=x 3
Solución:
Se ve que para x, y ∈ N, f(x)=f(y)⇒x 3 =y 3 ⇒x=y. Por lo tanto, f es inyectiva.
2∈ N. Pero, no existe ningún elemento x en el dominio N tal que f(x)=x 3 =2. Por lo tanto, f no es sobreyectiva.
(v) f: Z ⇢ Z dada por f(x)=x 3
Solución:
Se ve que para x, y ∈ Z, f(x)=f(y)⇒x 3 =y 3 ⇒x=y. Por lo tanto, f es inyectiva.
2∈ Z. Pero, no existe ningún elemento x en el dominio Z tal que f(x)=x 3 =2. Por lo tanto, f no es sobreyectiva.
Pregunta 3. Demostrar que la función de mayor entero f: R⇢R dada por f(x)=[x], no es ni uno ni sobre, donde [x] denota el mayor entero menor o igual que x.
Solución:
Se ve que f(1.2)=[1.2]=1, f(1.9)=[1.9]=1.
f(1.2)=f(1.9), pero 1.2≠1.9. Por lo tanto, f no es uno-uno.
Considere 0.7∈ R . Se sabe que f(x)=[x] es siempre un número entero. Por tanto, no existe ningún elemento x ∈ R tal que f(x)=0.7. Por lo tanto, f no es sobre.
Por lo tanto, la función entera mayor no es ni uno ni sobre.
Pregunta 4. Demostrar que la Función Módulo f: R⇢R dada por f(x)=|x|, no es ni uno ni sobre, donde |x| es x, si x es positivo o 0 y |x| es -x, si x es negativo.
Solución:
Se ve que f(-1)=|-1|=1, f(1)=|1|=1.
f(-1)=f(1), pero -1≠1. Por lo tanto, f no es uno-uno.
Considere, -1∈ R. Se sabe que f(x)=|x| siempre es no negativo. Por tanto, no existe ningún elemento x en el dominio R tal que f(x)=|x|=-1. Por lo tanto, f no es sobre.
Por lo tanto, la función de módulo no es uno ni sobre uno.
Pregunta 5. Demostrar que la función signum f: R⇢R dada por, f(x)={ (1, si x>0), (0, si x=0), (-1, si x<0)} no es ni uno ni sobre.
Solución:
Se ve que f(1)=f(2)=1, pero 1≠2. Por lo tanto, f no es uno-uno.
Como f(x) toma solo 3 valores (1, 0 o -1) para el elemento -2 en el codominio R, no existe ninguna x en el dominio R tal que f(x)=-2. Por lo tanto, f no es sobre.
Por tanto, la función signum no es ni uno ni sobre.
Pregunta 6. Sea A={1, 2, 3}, B={4, 5, 6, 7} y sea f={(1,4), (2,5), (3,6)} función de A a B. Demuestre que f es uno-uno.
Solución:
Se da que A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7}.
f:A ⇢ B se define como f={(1,4), (2,5), (3,6)}
Por lo tanto, f(1)=4, f(2)=5, f(3)=6
Se ve que las imágenes de elementos distintos de A bajo f son distintas.
Por lo tanto, la función f es uno-uno.
Pregunta 7. En cada uno de los siguientes casos, indica si la función es unívoca, sobre o biyectiva. Justifica tu respuesta.
(i) f: R⇢R definido por f(x)=3-4x
Solución:
Sea x 1 , x 2 ∈R tal que f(x 1 )=f(x 2 )
⇒3-4x 1 =3-4x 2
⇒-4x 1 =-4x 2
⇒x1 = x2 _
Por lo tanto, f es uno-uno.
Para cualquier número real (y) en R, existe {(3-y)/4} en R tal que f((3-y)/4)=3-4((3-y)/4)=y .
Por lo tanto, f es sobre
Por lo tanto, f es biyectiva.
(ii) f: R⇢R definido bf(x)=1+x 2
Solución:
Sea x 1 , x 2 ∈ R tal que f(x 1 )=f(x 2 )
⇒1+x 1 2 =1+x 2 2
⇒x 1 2 =x 2 2
⇒x 1 =±x 2
Por lo tanto, f(x 1 )=f(x 2 ) no implica que x 1 =x 2
Por ejemplo, f(1)=f(-1)=2
Por lo tanto, f no es uno-uno.
Considere, un elemento -2 en el codominio R.
Se ve que f(x)=1+x 2 es positivo para todo x ∈ R.
Por tanto, no existe ningún x en el dominio R tal que f(x)=-1.
Por lo tanto, f no es sobre.
Por lo tanto, f no es uno ni sobre uno.
Pregunta 8. Sean conjuntos A y B. Demuestra que f: A x B ⇢B x A tal que (a, b)=(b, a) es una función biyectiva.
Solución:
Sea (a 1 , b 1 ), (a 2 , b 2 ) ∈ A xb tal que f(a 1 , b 1 )=f(a 2 , b 2 )
⇒(b 1 , a 1 )=(b 2 , a 2 )
⇒b 1 =b 2 y a 1 =a 2
⇒(a 1 , b 1 )=(a 2 , b 2 )
Por lo tanto, f es uno-uno.
Sea (b,a) ∈ B x A tal que f(a, b)=(b,a).
Por lo tanto, f es sobre.
Por lo tanto, f es biyectiva.
Pregunta 9. Sea f: N ⇢ N definida por f(n)={((n+1)/2, si n es impar), (n/2, si n es par) para todo n ∈ N. Indique si la función f es biyectiva. Justifica tu respuesta.
Solución:
Se puede observar que:
f(1)=(1+1)/2=1 y f(2)=2/2=1
Entonces, f(1)=f(2), donde, 1≠2
Por lo tanto, f no es uno-uno.
Por lo tanto, no es biyectiva. (Puesto que necesita ser tanto uno como sobre para ser biyectivo).
Pregunta 10. Sea A= R -{1}. Considere la función f: A⇢B definida por f(x)=(x-2)/(x-3). ¿Es f uno-uno y sobre? Justifica tu respuesta.
Solución:
Sean x, y ∈ A tales que f(x)=f(y)
⇒ (x-2)/(x-3)=(y-2)/(y-3)
⇒(x-2)(y-3)=(y-2)(x-3)
⇒ xy-3x-2y+6=xy-3y-2x+6
⇒ -3x-2y=-3y-2x
⇒ 3x-2x=3y-2y
⇒ x=y
Por lo tanto, f es uno-uno.
Sea, y ∈ B= R -{1}. Entonces y≠1.
La función f es sobre si existe x ∈ A tal que f(x)=y
Ahora,
f(x)=y
⇒ (x-2)/(x-3)=y
⇒ x-2=xy-3y
⇒ x(1-y)=-3y+2
⇒ x=(2-3y)/(1-y) ∈ A
Así, para cualquier y ∈ B, existe (2-3y)/(1-y) ∈ A tal que f((2-3y)/(1-y))={((2-3y)/(1 -y))-2}/{((2-3y)/(1-y))-3}=(2-3y-2+2y)/(2-3y-3+3y)=(-y) /(-1)=y
Por lo tanto, f es sobre.
Por lo tanto, la función f es uno-uno y sobre.
Pregunta 11. Sea f: R⇢R definida como f(x)=x 4 . Elige la respuesta correcta:
(A) f es uno-uno sobre (B) f es muchos-uno sobre (C) f es uno-uno pero no sobre (D) f no es uno-uno ni sobre
Solución:
Sean x, y ∈ R tales que f(x)=f(y)
⇒ x4=y4
⇒ x=±y
Por lo tanto, f(x1)=f(x 2 ) no implica que x1=x 2
Por ejemplo, f(1)=f(-1)=1
Por lo tanto, f(1)=f(-1)=1
Por lo tanto, f no es uno-uno
Considere un elemento 2 en el co-dominio R. Está claro que no existe ningún x en el dominio R tal que f(x)=2
Por lo tanto, f no es sobre.
La respuesta correcta es d.
Pregunta 12. Sea f: R ⇢ R definida como f(x)=3x. Elige la respuesta correcta:
(A) f es uno-uno sobre (B) f es muchos-uno sobre (C) f es uno-uno pero no sobre (D) f no es uno-uno ni sobre
Solución:
Sean x, y ∈ R tales que f(x)=f(y)
⇒ 3x = 3y
⇒ x=y
Por lo tanto, f es uno-uno.
Además, para cualquier número real (y) en codominio R, existe y/3 en R tal que f(y/3) = 3(y/3) = y
Por lo tanto, f es sobre.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.