Capítulo 1 Relaciones y Funciones – Ejercicio 1.4 | Serie 1
Pregunta 7: ¿Está definida ∗ en el conjunto {1, 2, 3, 4, 5} por a ∗ b = MCM de la operación binaria a y ba? Justifica tu respuesta.
Solución:
La operación * sobre el conjunto {1, 2, 3, 4, 5} se define como
a * b = MCM de a y b
Sea a=3, b=5
3 * 5 = 5 * 3 = MCM de 3 y 5 = 15 que no pertenece al conjunto dado
Por lo tanto, * no es una operación binaria.
Pregunta 8: Sea ∗ la operación binaria sobre N definida por a ∗ b = HCF de a y b. ¿* es conmutativo? ¿* es asociativo? ¿Existe identidad para esta operación binaria en N?
Solución:
Si a, b pertenece a N
LHS = a * b = HCF de a y b
RHS = b * a = HCF de b y a
Dado que LHS = RHS
Por lo tanto, * es conmutativo
Ahora bien, si a, b, c pertenecen a Z, a * (b * c) = (a * b) * c
LHS = a * (b * c) = HCF de a, b y c
RHS = (a – b) * c = HCF de a, b y c
Dado que LHS = RHS
Por lo tanto, * es asociativo
Ahora, 1 * a = a * 1 ≠ a
Por lo tanto, no existe ningún elemento de identidad.
Pregunta 9: Sea ∗ una operación binaria sobre el conjunto Q de números racionales como sigue:
(i) un ∗ segundo = un – segundo
(ii) un ∗ segundo = un 2 + segundo 2
(iii) a ∗ b = a + ab
(iv) un ∗ segundo = (un – segundo) 2
(v) a ∗ b = ab / 4
(vi) a ∗ b = ab 2
Encuentra cuáles de las operaciones binarias son conmutativas y cuáles son asociativas.
Solución:
(i) Conmutativo:
Si a, b pertenece a Z, a * b = b * a
LHS = a * b = a – b
RHS = segundo * un = segundo – un
Ya que LHS no es igual a RHS
Por lo tanto, * no es conmutativo
De asociación:
Si a, b, c pertenece a Z, a * (b * c) = (a * b) * c
LHS = a * (b * c) = a – (b – c) = a – b + c
RHS = (a – b) * c = a – b – c
Ya que LHS no es igual a RHS
Por lo tanto, * no es asociativo
(ii) Conmutativo:
Si a, b pertenece a Z, a * b = b * a
LHS = un * segundo = un 2 + segundo 2
RHS = segundo * un = segundo 2 + un 2
Ya que LHS es igual a RHS
Por lo tanto, * es conmutativo
De asociación:
Si a, b, c pertenece a Z, a * (b * c) = (a * b) * c
LHS = a * (b * c) = a * (b 2 + c 2 ) = a 2 + (b 2 + c 2 ) 2
RHS = (a * b) * c = (a 2 + b 2 ) * c = (a 2 + b 2 ) 2 + c 2
Ya que LHS no es igual a RHS
Por lo tanto, * no es asociativo
(iii) Conmutativo:
Si a, b pertenece a Z, a * b = b * a
LHS = a * b = a + ab
RHS = b * a = b + ba
Ya que LHS no es igual a RHS
Por lo tanto, * no es conmutativo
De asociación:
Si a, b, c pertenece a Z, a * (b * c) = (a * b) * c
IZQ = a * (b * c) = a * (b + bc) = a + a(b + bc)
RHS = (a * b) * c = (a + ab) * c = a + ab + (a + ab)c
Ya que LHS no es igual a RHS
Por lo tanto, * no es asociativo
(iv) Conmutativo:
Si a, b pertenece a Z, a * b = b * a
IZQ = a * b = (a – b) 2
RHS = b * a = (b – a) 2
Ya que LHS no es igual a RHS
Por lo tanto, * no es conmutativo
De asociación:
Si a, b, c pertenece a Z, a * (b * c) = (a * b) * c
LHS = a * (b * c) = a * (b – c) 2 = [a – (b – c) 2 ] 2
RHS = (a * b) * c = (a – b) 2 * c = [(a – b) 2 – c] 2
Ya que LHS no es igual a RHS
Por lo tanto, * no es asociativo
(v) Conmutativo:
Si a, b pertenece a Z, a * b = b * a
IZQ = a * b = ab / 4
RHS = b * a = ba / 4
Ya que LHS es igual a RHS
Por lo tanto, * es conmutativo
De asociación:
Si a, b, c pertenece a Z, a * (b * c) = (a * b) * c
IZQ = a * (b * c) = a * bc/4 = abc/16
RHS = (a * b) * c = ab/4 * c = abc/16
Ya que LHS es igual a RHS
Por lo tanto, * es asociativo
(vi) Conmutativo:
Si a, b pertenece a Z, a * b = b * a
LHS = a * b = ab 2
RHS = b * a = ba 2
Ya que LHS no es igual a RHS
Por lo tanto, * no es conmutativo
De asociación:
Si a, b, c pertenece a Z, a * (b * c) = (a * b) * c
IZQ = a * (b * c) = a * (bc) 2 = a(bc 2 ) 2
RHS = (a * b) * c = (ab 2 ) * c = ab 2 c 2
Ya que LHS no es igual a RHS
Por lo tanto, * no es asociativo
Pregunta 10: Encuentra cuál de las operaciones dadas arriba tiene identidad
Solución:
Un elemento e ∈ Q será el elemento identidad para la operación * si
a * e = a = e * a, para a ∈ Q
para (v) a * b = ab/4
Sea e un elemento de identidad
un * e = un = e * un
LHS : ae/4 = a
=> mi = 4
RHS : ea/4 = a
=> mi = 4
LHS = RHS
Por lo tanto, el elemento de identidad existe
Otras operaciones no cumplen las condiciones requeridas.
Por lo tanto, otras operaciones no tienen identidad.
Pregunta 11: Sea A = N × N y ∗ la operación binaria sobre A definida por:
(a, b) ∗ (c, d) = (a + c, b + d)
Demuestre que ∗ es conmutativa y asociativa. Encuentre el elemento de identidad para ∗ en A, si lo hay.
Solución:
Dado (a, b) * (c, d) = (a+c, b+d) en A
Sean (a, b), (c, d), (e,f) 3 pares ∈ A
Conmutativo:
IZQ = (a, b) * (c, d) = (a+c, b+d)
RHS = (c, d) * (a, b) = (c+a, d+b) = (a+c, b+d)
Ya que LHS es igual a RHS
Por lo tanto, * es conmutativo
De asociación:
Si a, b, c pertenece a Z, a * (b * c) = (a * b) * c
IZQ = (a, b) * [(c, d) * (e, f)] = (a, b) * (c+e, d+f) = (a+c+e, b+d+f )
RHS = [(a, b) * (c, d)] * (e, f) = (a+c, b+d) * (e, f) = (a+c+e, b+d+f )
Ya que LHS es igual a RHS
Por lo tanto, * es asociativo
Existencia del elemento Identidad:
Para a, e ∈ A, a * e = a
(a, b) * (e, e) = (a, b)
(a+e, b+e) = (a, b)
un + e = un
=> mi = 0
segundo + mi = segundo
=> mi = 0
Como 0 no es parte del conjunto de números naturales. Por lo tanto, la función de identidad no existe.
Pregunta 12: Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar.
(i) Para una operación binaria arbitraria ∗ en un conjunto N, a ∗ a = a ∀ a ∈ N.
(ii) Si ∗ es una operación binaria conmutativa sobre N, entonces a ∗ (b ∗ c) = (c ∗ b) ∗ a
Solución:
(i) Sea * una operación sobre N, definida como:
un * segundo = un + segundo ∀ un, segundo ∈ norte
Consideremos b = a = 6, tenemos:
6 * 6 = 6 + 6 = 12 ≠ 6
Por lo tanto, esta afirmación es falsa.
(ii) Ya que, * es conmutativo
LHS = a ∗ (b ∗ c) = a * (c * b) = (c * b) * a = RHS
Por lo tanto, esta afirmación es verdadera.
Pregunta 13: Considere una operación binaria ∗ en N definida como a ∗ b = a 3 + b 3 . Elige la respuesta correcta.
(A) ¿* es a la vez asociativa y conmutativa?
(B) ¿Es ∗ conmutativo pero no asociativo?
(C) ¿Es ∗ asociativo pero no conmutativo?
(D) ¿* no es ni conmutativo ni asociativo?
Solución:
En N, * se define como a * b = a 3 + b 3
Conmutativo:
Si a, b pertenece a Z, a * b = b * a
LHS = un * segundo = un 3 + segundo 3
RHS = segundo * un = segundo 3 + un 3
Ya que LHS es igual a RHS
Por lo tanto, * es conmutativo
De asociación:
Si a, b, c pertenece a Z, a * (b * c) = (a * b) * c
IZQ = a * (b * c) = a * (b 3 + c 3 ) = a 3 + (b 3 + c 3 ) 3
RHS = (a * b) * c = (a 3 + b 3 ) * c = (a 3 + b 3 ) 3 + c 3
Ya que LHS no es igual a RHS
Por lo tanto, * no es asociativo
Por lo tanto, la opción (B) es correcta.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por yuvraj_chandra y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA