Pregunta 1: Determine si cada una de las definiciones de ∗ dadas a continuación da una operación binaria. En caso de que ∗ no sea una operación binaria, justifíquelo.
(i) En Z+, defina ∗ por a ∗ b = a – b
Solución:
Si a, b pertenece a Z+
a * b = a – b que puede no pertenecer a Z+
Por ejemplo: 1 – 3 = -2 que no pertenece a Z+
Por lo tanto, * no es una operación binaria en Z+
(ii) En Z+, defina * por a * b = ab
Solución:
Si a, b pertenece a Z+
a * b = ab que pertenece a Z+
Por lo tanto, * es una operación binaria en Z+
(iii) En R, defina * por a * b = ab²
Solución:
Si a, b pertenece a R
a * b = ab 2 que pertenece a R
Por lo tanto, * es la operación binaria en R
(iv) En Z+, defina * por a * b = |a – b|
Solución:
Si a, b pertenece a Z+
a * b = |a – b| que pertenece a Z+
Por lo tanto, * es una operación binaria en Z+
(v) En Z+, defina * por a * b = a
Solución:
Si a, b pertenece a Z+
a * b = a que pertenece a Z+
Por lo tanto, * es una operación binaria en Z+
Pregunta 2: Para cada operación binaria * definida a continuación, determine si * es binaria, conmutativa o asociativa.
(i) En Z, defina a * b = a – b
Solución:
a) Binario:
Si a, b pertenece a Z
a * b = a – b que pertenece a Z
Por lo tanto, * es la operación binaria en Z
b) Conmutativo:
Si a, b pertenece a Z, a * b = b * a
LHS = a * b = a – b
RHS = segundo * un = segundo – un
Ya que LHS no es igual a RHS
Por lo tanto, * no es conmutativo
c) Asociativo:
Si a, b, c pertenece a Z, a * (b * c) = (a * b) * c
IZQ = a * (b * c) = a – b + c
RHS = (a – b) * c = a – b- c
Ya que LHS no es igual a RHS
Por lo tanto, * no es asociativo
(ii) En Q, defina a * b = ab + 1
Solución:
a) Binario:
Si a, b pertenece a Q, a * b = ab + 1 que pertenece a Q
Por lo tanto, * es la operación binaria en Q
b) Conmutativo:
Si a, b pertenece a Q, a * b = b * a
IZQ = a * b = ab + 1
RHS = b * a = ba + 1 = ab + 1
Ya que LHS es igual a RHS
Por lo tanto, * es conmutativo
c) Asociativo:
Si a, b, c pertenece a Q, a * (b * c) = (a * b) * c
LHS = a * (b * c) = a * (bc + 1) = abc + a + 1
RHS = (a * b) * c = abc + c + 1
Ya que LHS no es igual a RHS
Por lo tanto, * no es asociativo
(iii) En Q, defina a ∗ b = ab/2
Solución :
a) Binario:
Si a, b pertenece a Q, a * b = ab/2 que pertenece a Q
Por lo tanto, * es la operación binaria en Q
b) Conmutativo:
Si a, b pertenece a Q, a * b = b * a
IZQ = a * b = ab/2
RHS = b * a = ba/2
Ya que LHS es igual a RHS
Por lo tanto, * es conmutativo
c) Asociativo:
Si a, b, c pertenece a Q, a * (b * c) = (a * b) * c
IZQ = a * (b * c) = a * (bc/2) = (abc)/2
RHS = (a * b) * c = (ab/2) * c = (abc)/2
Ya que LHS es igual a RHS
Por lo tanto, * es asociativo
(iv) En Z+, defina a * b = 2 ab
Solución:
a) Binario:
Si a, b pertenece a Z+, a * b = 2 ab que pertenece a Z+
Por lo tanto, * es una operación binaria en Z+
b) Conmutativo:
Si a, b pertenece a Z+, a * b = b * a
IZQ = a * b = 2 ab
RHS = b * a = 2 ba = 2 ab
Ya que LHS es igual a RHS
Por lo tanto, * es conmutativo
c) Asociativo:
Si a, b, c pertenece a Z+, a * (b * c) = (a * b) * c
LHS = a * (b * c) = a * 2 bc = 2 a * 2^(bc)
RHS = (a * b) * c = 2 ab * c = 2 2abc
Ya que LHS no es igual a RHS
Por lo tanto, * no es asociativo
(v) En Z+, defina a * b = a b
Solución:
a) Binario:
Si a, b pertenece a Z+, a * b = a b que pertenece a Z+
Por lo tanto, * es una operación binaria en Z+
b) Conmutativo:
Si a, b pertenece a Z+, a * b = b * a
LHS = a * b = a b
RHS = segundo * un = segundo un
Ya que LHS no es igual a RHS
Por lo tanto, * no es conmutativo
c) Asociativo:
Si a, b, c pertenece a Z+, a * (b * c) = (a * b) * c
IZQ = a * (b * c) = a * b c = a b^c
RHS = (a * b) * c = a b * c = a bc
Ya que LHS no es igual a RHS
Por lo tanto, * no es asociativo
(vi) En R – {– 1}, defina a ∗ b = a / (b + 1)
Solución:
a) Binario:
Si a, b pertenece a R, a * b = a / (b+1) que pertenece a R
Por lo tanto, * es la operación binaria en R
b) Conmutativo:
Si a, b pertenece a R, a * b = b * a
IZQ = a * b = a / (b + 1)
RHS = segundo * un = segundo / (un + 1)
Ya que LHS no es igual a RHS
Por lo tanto, * no es conmutativo
c) Asociativo:
Si a, b, c pertenece a A, a * (b * c) = (a * b) * c
IZQ = a * (b * c) = a * b / (c+1) = a(c+1) / b+c+1
RHS = (a * b) * c = (a / (b+1)) * c = a / (b+1)(c+1)
Ya que LHS no es igual a RHS
Por lo tanto, * no es asociativo
Pregunta 3. Considere la operación binaria ∧ en el conjunto {1, 2, 3, 4, 5} definida por a ∧ b = min {a, b}. Escribe la tabla de operaciones de la operación ∧.
Solución:
^ 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3 1 2 3 3 3 4 1 2 3 4 4 5 1 2 3 4 5
Pregunta 4: Considere una operación binaria ∗ en el conjunto {1, 2, 3, 4, 5} dado por la siguiente tabla de multiplicar.
(Sugerencia: use la siguiente tabla)
| * | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 |
| 3 | 1 | 1 | 3 | 1 | 1 |
| 4 | 1 | 2 | 1 | 4 | 1 |
| 5 | 1 | 1 | 1 | 1 | 5 |
(i) Calcule (2 ∗ 3) ∗ 4 y 2 ∗ (3 ∗ 4)
Solución:
Aquí, (2 * 3) * 4 = 1 * 4 = 1
2 * (3 * 4) = 2 * 1 = 1
(ii) ¿Es ∗ conmutativo?
Solución:
La mesa de composición dada es simétrica con respecto a la diagonal principal de la mesa. Por lo tanto, la operación binaria ‘*’ es conmutativa.
(iii) Calcule (2 ∗ 3) ∗ (4 ∗ 5).
Solución:
(2 * 3) * (4 * 5) = 1 * 1 = 1
Pregunta 5: Sea ∗′ la operación binaria sobre el conjunto {1, 2, 3, 4, 5} definida por a ∗′ b = HCF de a y b. ¿La operación ∗′ es igual a la operación ∗ definida en el Ejercicio 4 anterior? Justifica tu respuesta.
Solución:
Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} y a ∗′ b = HCF de a y b.
*’ 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 3 1 1 3 1 1 4 1 2 1 4 1 5 1 1 1 1 5 Vemos que la operación *’ es la misma que la operación * en el ejercicio 4 anterior.
Pregunta 6: Sea ∗ la operación binaria sobre N dada por a ∗ b = MCM de a y b. Encontrar
(yo) 5 ∗ 7, 20 ∗ 16
Solución:
Si a, b pertenece a N
a * b = MCM de a y b
5 * 7 = 35
20 * 16 = 80
(ii) ¿Es ∗ conmutativo?
Solución:
Si a, b pertenece a N
MCM de a * b = ab
MCM de b * a = ba = ab
a*b = b*a
Por lo tanto, * la operación binaria es conmutativa.
(iii) ¿Es ∗ asociativo?
Solución:
a * (b * c) = MCM de a, b, c
(a * b) * c = MCM de a, b, c
Ya que, a * (b * c) = (a * b) * c
Así, * la operación binaria es asociativa.
(iv) Encuentre la identidad de ∗ en N
Solución:
Sea ‘e’ una identidad
a * e = e * a, para a perteneciente a N
MCM de a * e = a, para a perteneciente a N
MCM de e * a = a, para a perteneciente a N
e divide a
e divide 1
Por lo tanto, e = 1
Por lo tanto, 1 es un elemento de identidad.
(v) ¿Qué elementos de N son invertibles para la operación ∗?
Solución:
a * b = b * a = elemento de identidad
MCM de a y b = 1
un = segundo = 1
solo ‘1’ es un elemento invertible en N.
Capítulo 1 Relaciones y Funciones – Ejercicio 1.4 | conjunto 2
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Artículo escrito por yuvraj_chandra y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA