Clase 12 Soluciones NCERT – Matemáticas Parte I – Capítulo 1 Relaciones y funciones – Ejercicio misceláneo en el Capítulo 1

Pregunta 1. Sea f : R → R definida como f(x) = 10x + 7. Halle la función g : R → R tal que gof = fog = 1 _R .

Solución:

Como se menciona aquí

f : R → R se define como f(x) = 10x + 7

Demostrar la función uno a uno

Tomemos f(x) = f(y)

10x + 7 = 10y + 7

x = y

Por lo tanto f es uno-uno.

Demostrar la función en

y ∈ R, y = 10x+7

$x = \frac{y-7}{10} ∈ R$

Entonces, significa que para y ∈ R, existe $x = \frac{y-7}{10}$

$f(x) = f(\frac{y-7}{10}) = 10(\frac{y-7}{10})+7 = y - 7 + 7 = y$

Por tanto, f es sobre.

Como, f es uno-uno y sobre. Esta f es una función invertible.

Digamos que g : R → R se define como $g(y) = \frac{y-7}{10}$

$gof = g(f(x)) = g(10x+7) = \frac{(10x+7)-7}{10} = \frac{10x}{10} = x$

$niebla = f(g(x)) = f(\frac{x-7}{10}) = 10(\frac{x-7}{10})+7 = x - 7 + 7 = x$

Por tanto, g : R → R tal que gof = niebla = 1 _R .

g : R → R se define como $g(y) = \frac{y-7}{10}$

Pregunta 2. Sea f : W → W definida como f(n) = n – 1, si n es impar y f(n) = n + 1, si n es par. Demuestre que f es invertible. Encuentra el inverso de f. Aquí, W es el conjunto de todos los números enteros.

Solución:

La función f se define como

$f(n)= \begin{cases} n-1, \hspace{0,2cm}n \hspace{0,2cm}es\hspace{0,2cm} impar\\ n+1,\hspace{0,2cm}n \hspace {0.2cm}es\hspace{0.2cm} par \end{casos}$

Como sabemos que f es invertible, si y solo si f es uno-uno y sobre.

UNO UNO

Para el par de números, nos ocuparemos de tres casos:

Caso 1 : Cuando ambos números p y q son números impares.

f(p) = p-1

f(q) = q-1

f(p) = f(q)

p-1 = q-1

p-q = 0

Caso 2 : Cuando ambos números p y q son números pares.

f(p) = p+1

f(q) = q+1

f(p) = f(q)

p+1 = q+1

p-q = 0

Caso 3: Cuando p es impar y q es par

f(p) = p-1

f(q) = q+1

f(p) = f(q)

p-1 = q+1

p-q = 2

Restar un número impar y par siempre da un número impar, no par. Por lo tanto, el resultado del caso 3 es imposible.

Entonces, la función f es uno a uno, solo para el caso 1 y el caso 2.

SOBRE

Caso 1 : cuando p es un número impar

f(p) = p-1

y = p-1

pag = y+1

Por tanto, cuando p es impar y es par.

Caso 2 : Cuando p es un número par

f(p) = p+1

y = p+1

p = y-1

Por tanto, cuando p es par y es impar.

Entonces, significa que para y ∈ W, existe p = y+1 e y-1 para valores pares e impares de p respectivamente.

Por tanto, f es sobre.

Como, f es uno-uno y sobre. Esta f es una función invertible.

Digamos que g : W → W se define como $g(y)= \begin{cases} y-1, \hspace{0.2cm}y \hspace{0.2cm}is\hspace{0.2cm} odd\\ y+1,\hspace{0.2cm}y \hspace{0.2cm}is\hspace{0.2cm} even \end{cases}$

f = gramo

Por lo tanto, el inverso de f es f en sí mismo

Pregunta 3. Si f : R → R está definida por f(x) = x ² – 3x + 2, encuentre f (f(x)).

Solución:

f(x) = x2 – 3x + ²

f(f(x)) = f(x ² – 3x + 2)

= (x2 – 3x + ² )2 – 3(x2 – 3x + ² ) + 2

= x ⁴ + 9x ² + 4 -6x ³ – 12x + 4x ² – 3x ² + 9x – 6 + 2

f(f(x)) = x ⁴ – 6x ³ + 10x ² – 3x

Pregunta 4. Demostrar que la función f : R → {x ∈ R : – 1 < x < 1} definida por f(x) = $\frac{x}{1+|x|}$ , x ∈ R es una función uno y sobre.

Solución:

Como se menciona aquí

f : R → {x ∈ R : – 1 < x < 1} definido por $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ , x ∈ R

Como sabemos que f es invertible, si y solo si f es uno-uno y sobre.

UNO UNO

Para el par de números, nos ocuparemos de tres casos:

Caso 1: Cuando ambos números p y p son números positivos.

La función f se define como

Caso 1 : Cuando ambos números p y q son números positivos.

$f(p) = \frac{p}{1+|p|}$

$f(q) = \frac{q}{1+|q|}$

f(p) = f(q)

$\frac{p}{1+|p|} = \frac{q}{1+|q|}$

$\frac{p}{1+p} = \frac{q}{1+q}$

p(1+q) = q(1+p)

p = q

Caso 2 : Cuando el número p y q son números negativos.

$f(p) = \frac{p}{1+|p|}$

$f(q) = \frac{q}{1+|q|}$

f(p) = f(q)

$\frac{p}{1+|p|} = \frac{q}{1+|q|}$

$\frac{p}{1-p} = \frac{q}{1-q}$

p(1-q) = q(1-p)

p = q

Caso 3 : Cuando p es positivo y q es negativo

$f(p) = \frac{p}{1+|p|}$

$f(q) = \frac{q}{1+|q|}$

f(p) = f(q)

$\frac{p}{1+|p|} = \frac{q}{1+|q|}$

$\frac{p}{1+p} = \frac{q}{1-q}$

p(1-q) = q(1+p)

p + q = 2pq

Aquí, RHS será negativo y LHS será positivo. Por lo tanto, el resultado del caso 3 es imposible.

Entonces, la función f es uno-uno, para el caso 1 y el caso 2.

SOBRE

Caso 1 : Cuando p>0.

$f(p) = \frac{p}{1+|p|}$

$y = \frac{p}{1+p}$

$p = \frac{y}{1-y} (y≠1)$

Caso 2 : Cuando p <0

$f(p) = \frac{p}{1+|p|}$

$y = \frac{p}{1-p}$

$p = \frac{y}{1+y} (y≠-1)$

Por tanto, p está definida para todos los valores de y, p∈ R

Por tanto, f es sobre.

Como, f es uno-uno y sobre. Esta f es una función invertible.

Pregunta 5. Demostrar que la función f : R → R dada por f(x) = x ³ es inyectiva.

Solución:

Como se menciona aquí

f : R → R definida por f(x) = x ³ , x ∈ R

Demostrar que f es inyectiva (o uno-uno).

UNO UNO

La función f se define como

f(x) = ^x3

f(y) = y ³

f(x) = f(y)

x ³ = y ³

x = y

La función f es uno-uno, entonces f es inyectiva.

Pregunta 6. Da ejemplos de dos funciones f : N → Z y g : Z → Z tales que gof es inyectiva pero g no es inyectiva.

(Sugerencia: Considere f(x) = x y g (x) = | x |).

Solución:

Dos funciones, f : N → Z y g : Z → Z

Tomando f(x) = x y g(x) = |x|

Comprobemos si g es inyectiva o no.

g(5) = |5| = 5

g(-5) = |-5| = 5

Como podemos ver aquí que

Tomando dos enteros, 5 y -5

gramo(5) = gramo(-5)

pero, 5 ≠ -5

Entonces, g no es una función inyectiva.

Ahora, gof: N → Z se define como

gof = g(f(x)) = g(x) = |x|

Ahora, como x,y∈ N

g(x) = |x|

g(y) = |y|

g(x) = g(y)

|x| = |y|

x = y (tanto x como y son positivos)

Por lo tanto, gof es una inyectiva.

Pregunta 7. Dé ejemplos de dos funciones f : N → N yg : N → N tales que gof es sobre pero f no es sobre.

(Sugerencia: Considere f(x) = x + 1 y $g(x)= \begin{cases} x-1, \hspace{0.2cm}x>1\\ 1,\hspace{0.2cm}x=1 \end{cases}$

Solución:

Dos funciones, f : N → N y g : N → N

Tomando f(x) = x+1 y $g(x)= \begin{cases} x-1, \hspace{0.2cm}x>1\\ 1,\hspace{0.2cm}x=1 \end{cases}$

Como, f(x) = x+1

y = x+1

x = y-1

Pero, cuando y=1, x = 0. Lo cual no satina esta relación f : N → N.

Por eso. f no es una función sobre.

Ahora, gof: N → N se define como

gof = g(f(x)) = g(x+1)

Cuando x+1=1, tenemos

g(x+1) = 1 (1∈ N)

Y, cuando x+1>1, tenemos

g(x+1) = (x+1)-1 = x

y = x, que también satisface x,y∈ N

Por lo tanto, gof es sobre.

Pregunta 8. Dado un conjunto X no vacío, considere P(X) que es el conjunto de todos los subconjuntos de X.

Defina la relación R en P(X) como sigue: Para los subconjuntos A, B en P(X), ARB si y solo si A ⊂ B. ¿Es R una relación de equivalencia en P(X)? Justifica tu respuesta.

Solución:

Dado, A y B son los subconjuntos de P(x), A⊂ B

Para comprobar la relación de equivalencia en P(X), tenemos que comprobar

Reflexivo

Como sabemos que todo conjunto es el subconjunto de sí mismo.

Por lo tanto, A⊂ A y B⊂ B

ARA y BRB es reflexivo para todo A,B∈ P(X)

Simétrico

Como, se da que A⊂ B. Pero no asegura que B⊂ A.

Para ser simétrico tiene que ser A = B

ARB no es simétrico.

Transitivo

Cuando A⊂ B y B⊂ C

Entonces, por supuesto, A⊂ C

Por tanto, R es transitiva.

Entonces, como R no es simétrico.

R no es una relación de equivalencia en P(X).

Pregunta 9. Dado un conjunto no vacío X, considere la operación binaria ∗ : P(X) × P(X) → P(X) dada por A ∗ B = A ∩ B ∀ A, B en P(X), donde P(X) es el conjunto potencia de X. Demuestre que X es el elemento identidad para esta operación y X es el único elemento invertible en P(X) con respecto a la operación ∗.

Solución:

Dado, P(X) × P(X) → P(X) se define como A*B = A∩B ∀ A, B ∈ P(X)

Esto implica, A⊂ X y B ⊂ X

Entonces, A∩X = A y B∩X = B ∀ A, B ∈ P(X)

⇒ A*X = A y B*X = B

Por lo tanto, X es el elemento de identidad para la intersección del operador binario.

Pregunta 10. Encuentra el número de todas las funciones del conjunto {1, 2, 3, … , n} a sí mismo.

Solución:

Sobre la función del conjunto {1,2,3,…..,n} a sí mismo es igual que las permutaciones de n.

1×2×3×4×…….×n

que es n!.

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Clase 12 Soluciones NCERT – Matemáticas Parte I – Capítulo 1 Relaciones y funciones – Ejercicio misceláneo en el Capítulo 1 | Serie 1

Pregunta 1. Sea f : R → R definida como f(x) = 10x + 7. Halle la función g : R → R tal que gof = fog = 1 _R .

Pregunta 2. Sea f : W → W definida como f(n) = n – 1, si n es impar y f(n) = n + 1, si n es par. Demuestre que f es invertible. Encuentra el inverso de f. Aquí, W es el conjunto de todos los números enteros.

Pregunta 3. Si f : R → R está definida por f(x) = x ² – 3x + 2, encuentre f (f(x)).

Pregunta 4. Demostrar que la función f : R → {x ∈ R : – 1 < x < 1} definida por f(x) = $\frac{x}{1+|x|}$ , x ∈ R es una función uno y sobre.

Pregunta 5. Demostrar que la función f : R → R dada por f(x) = x ³ es inyectiva.

Pregunta 6. Da ejemplos de dos funciones f : N → Z y g : Z → Z tales que gof es inyectiva pero g no es inyectiva.

(Sugerencia: Considere f(x) = x y g (x) = | x |).

Pregunta 7. Dé ejemplos de dos funciones f : N → N yg : N → N tales que gof es sobre pero f no es sobre.

(Sugerencia: Considere f(x) = x + 1 y $g(x)= \begin{cases} x-1, \hspace{0.2cm}x>1\\ 1,\hspace{0.2cm}x=1 \end{cases}$

Pregunta 8. Dado un conjunto X no vacío, considere P(X) que es el conjunto de todos los subconjuntos de X.

Defina la relación R en P(X) como sigue: Para los subconjuntos A, B en P(X), ARB si y solo si A ⊂ B. ¿Es R una relación de equivalencia en P(X)? Justifica tu respuesta.

Pregunta 10. Encuentra el número de todas las funciones del conjunto {1, 2, 3, … , n} a sí mismo.

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Pregunta 1. Sea f : R → R definida como f(x) = 10x + 7. Halle la función g : R → R tal que gof = fog = 1 R .

Pregunta 2. Sea f : W → W definida como f(n) = n – 1, si n es impar y f(n) = n + 1, si n es par. Demuestre que f es invertible. Encuentra el inverso de f. Aquí, W es el conjunto de todos los números enteros.

Pregunta 3. Si f : R → R está definida por f(x) = x 2 – 3x + 2, encuentre f (f(x)).

Pregunta 4. Demostrar que la función f : R → {x ∈ R : – 1 < x < 1} definida por f(x) = , x ∈ R es una función uno y sobre.

Pregunta 5. Demostrar que la función f : R → R dada por f(x) = x 3 es inyectiva.

Pregunta 6. Da ejemplos de dos funciones f : N → Z y g : Z → Z tales que gof es inyectiva pero g no es inyectiva.

(Sugerencia: Considere f(x) = x y g (x) = | x |).

Pregunta 7. Dé ejemplos de dos funciones f : N → N yg : N → N tales que gof es sobre pero f no es sobre.

(Sugerencia: Considere f(x) = x + 1 y

Pregunta 8. Dado un conjunto X no vacío, considere P(X) que es el conjunto de todos los subconjuntos de X.

Defina la relación R en P(X) como sigue: Para los subconjuntos A, B en P(X), ARB si y solo si A ⊂ B. ¿Es R una relación de equivalencia en P(X)? Justifica tu respuesta.

Pregunta 10. Encuentra el número de todas las funciones del conjunto {1, 2, 3, … , n} a sí mismo.

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Pregunta 1. Sea f : R → R definida como f(x) = 10x + 7. Halle la función g : R → R tal que gof = fog = 1 _R .

Pregunta 3. Si f : R → R está definida por f(x) = x ² – 3x + 2, encuentre f (f(x)).

Pregunta 4. Demostrar que la función f : R → {x ∈ R : – 1 < x < 1} definida por f(x) = $\frac{x}{1+|x|}$ , x ∈ R es una función uno y sobre.

Pregunta 5. Demostrar que la función f : R → R dada por f(x) = x ³ es inyectiva.

(Sugerencia: Considere f(x) = x + 1 y $g(x)= \begin{cases} x-1, \hspace{0.2cm}x>1\\ 1,\hspace{0.2cm}x=1 \end{cases}$