Encuentre los valores principales de lo siguiente:
Pregunta 1. pecado -1 (-1/2)
Solución:
Sea sen -1 (-1/2) = y entonces, sen y = -1/2
El rango del valor principal para sin -1 es [-π/2,π/2] y sin(-π/6)=-1/2.
Por tanto, valor principal de sen -1 (-1/2)=-π/6.
Pregunta 2. cos -1 (√3/2)
Solución:
Sea cos -1 (√3/2) = y entonces, cos y = √3/2
El rango del valor principal para cos -1 es [0, π] y cos(π/6) = √3/2
Por tanto, valor principal de cos -1 (√3/2) = π/6.
Pregunta 3. cosec -1 (2)
Solución:
Sea cosec -1 (2) = y entonces, cosec y = 2
El rango del valor principal para cosec -1 es [-π/2, π/2] -{0} y cosec(π/6) = 2
Por lo tanto, valor principal de cosec -1 (2) = π/6.
Pregunta 4: bronceado -1 (-√3)
Solución:
Sea tan -1 (-√3) = y entonces, tan y = -√3
El rango del valor principal para tan -1 es (-π/2, π/2) y tan(-π/3) = -√3
Por tanto, valor principal de tan -1 (-√3) = -π/3.
Pregunta 5. cos -1 (-1/2)
Solución:
Sea cos -1 (-1/2) = y entonces, cos y = -1/2
El rango del valor principal para cos -1 es [0, π] y cos(2π/3) = -1/2
Por tanto, valor principal de cos -1 (-1/2) = 2π/3.
Pregunta 6. tan-1(-1)
Solución:
Sea tan -1 (-1) = y entonces, tan y = -1
El rango del valor principal para tan -1 es (-π/2, π/2) y tan(-π/4) = -1
Por tanto, valor principal de tan -1 (-1) = -π/4.
Pregunta 7. seg -1 (2/√3)
Solución:
Sea sec -1 (2/√3) = y entonces, sec y = 2/√3
El rango del valor principal para sec -1 es [0, π] – {π/2} y sec(π/6) = 2/√3
Por lo tanto, valor principal de sec -1 (2/√3) = π/6.
Pregunta 8. cuna -1 (√3)
Solución:
Sea cot -1 (√3) = y entonces, cot y = √3
El rango del valor principal para cot -1 es (0, π) y cot(π/6) = √3
Por tanto, valor principal de cot -1 (√3) = π/6.
Pregunta 9. cos -1 (-1/√2)
Solución:
Sea cos -1 (-1/√2) = y entonces, cos y = -1/√2
El rango del valor principal para cos -1 es [0, π] y cos(2π/3) = -1/2
Por tanto, valor principal de cos -1 (-1/2) = 3π/4.
Pregunta 10. cosec -1 (-√2)
Solución:
Sea cosec -1 (-√2) = y entonces, cosec y = -√2
El rango del valor principal para cosec -1 es [-π/2, π/2] -{0} y cosec(-π/4) = -√2
Por lo tanto, valor principal de cosec -1 (-√2) = -π/4.
Encuentre los valores de lo siguiente:
Pregunta 11. tan -1 (1) + cos -1 (-1/2) + sen -1 (-1/2)
Solución:
Para resolver esta pregunta usaremos los valores principales de sin -1 , cos -1 y tan -1
Sea sen -1 (-1/2) = y entonces, sen y = -1/2
El rango del valor principal para sin -1 es [-π/2, π/2] y sin(-π/6) = -1/2.
Por tanto, valor principal de sen -1 (-1/2) = -π/6.
Sea cos -1 (-1/2) = x entonces, cos x = -1/2
El rango del valor principal para cos -1 es [0, π] y cos(2π/3) = -1/2
Por tanto, valor principal de cos -1 (-1/2) = 2π/3.
Sea tan -1 (1) = z entonces, tan z = -1
El rango del valor principal para tan -1 es (-π/2, π/2) y tan(π/4) = 1
Por lo tanto, valor principal de tan -1 (1) = π/4.
Ahora, tan -1 (1) + cos -1 (-1/2) + sin -1 (-1/2) = π/4 + 2π/3 – π/6
Sumándolos obtendremos,
= (3π + 8π – 2π)/12
= 9π/12
= 3π/4
Pregunta 12. cos -1 (1/2) + 2 sen -1 (1/2)
Solución:
Para resolver esta pregunta usaremos los valores principales de sen -1 y cos -1
Sea sen -1 (1/2) = y entonces, sen y = -1/2
El rango del valor principal para sin -1 es [-π/2, π/2] y sin(π/6) = 1/2.
Por tanto, valor principal de sen -1 (1/2) = π/6.
Sea cos -1 (1/2) = x entonces, cos x = 1/2
El rango del valor principal para cos -1 es [0, π] y cos(π/3) = 1/2
Por tanto, valor principal de cos -1 (1/2) = π/3.
Ahora, cos -1 (1/2) + 2 sin -1 (1/2) = π/3 + 2π/6
Sumándolos obtendremos,
= (2π + 2π)/6
= 4π/6
= 2π/3
Pregunta 13. Si sen –1 x = y, entonces
(A) 0 ≤ y ≤ π (B) -π / 2 ≤y ≤ π / 2 (C) 0 < y < π (D) -π / 2 <y < π / 2
Solución:
Sabemos que el rango principal para sen-1 es [-π / 2, π / 2]
Por tanto, si sen-1 x = y, y € [-π/2, π/2]
Por lo tanto, -π/2 ≤y ≤ π/2.
Por lo tanto, la opción (B) es correcta.
Pregunta 14. tan –1 (√3) – sec -1 (-2) es igual a
( A) π (B) -π/3 (C) π/3 (D) 2π/3
Solución:
Para resolver esta pregunta usaremos los valores principales de sec -1 y tan -1
Sea tan -1 (√3) = y entonces, tan y = √3
El rango del valor principal para tan -1 es (-π/2, π/2) y tan(π/3) = √3
Por tanto, valor principal de tan -1 (√3) = π/3.
Sea sec -1 (-2) = y entonces, sec y = -2
El rango del valor principal para sec -1 es [0, π] – {π/2} y sec(2π/3) = – 2
Por lo tanto, valor principal de sec -1 (-2) = 2π/3.
Ahora tan –1 (√3) – seg -1 (-2)
= π/3 – 2π/3
= -π/3
Por lo tanto, la opción (B) es correcta.