Clase 12 Soluciones NCERT – Matemáticas Parte I – Capítulo 2 Funciones trigonométricas inversas – Ejercicio 2.2 | Serie 1

Demuestra lo siguiente

Pregunta 1. 3sen -1 x = sen -1 (3x – 4x 3 ), x∈[-1/2, 1/2] 

Solución:

Tomemos x = senθ, entonces θ = sen -1 x

Sustituir el valor de x en la ecuación presente en RHS 

La ecuación se convierte en sin -1 (3sinθ – 3sin 3 θ) 

Sabemos, sin3θ = 3sinθ – 4sin 3 θ

Entonces, sin -1 (3sinθ – 3sin 3 θ) = sin -1 (sin3θ) 

Por la propiedad de la trigonometría inversa sabemos, sin(sin -1 (θ)) = θ   

Entonces, sen -1 (sen3θ) = 3θ 

Y sabemos θ = sen -1 x   

Entonces, 3θ = 3sen -1 x = LHS

Pregunta 2. 3cos -1 x = cos -1 (4x 3 – 3x), x∈[-1/2, 1] 

Solución:

Tomemos x = cosθ, entonces θ = cos -1 x

Sustituye el valor de x en la ecuación presente en RHS 

La ecuación se convierte en cos -1 (4cos 3 θ – 3cosθ) 

Sabemos, cos3θ = 4cos 3 θ – 3cosθ  

Entonces, cos -1 (4cos 3 θ – 3cosθ) = cos -1 (cos3θ) 

Por la propiedad de la trigonometría inversa sabemos, cos(cos -1 (θ)) = θ    

Entonces, cos -1 (cos3θ) = 3θ 

Y sabemos θ = cos -1 x     

Entonces, 3θ = 3cos -1 x = LHS

Pregunta 3. tan^{-1}\frac{2}{11} + tan^{-1}\frac{7}{24} = tan^{-1}\frac{1}{2}

Solución:

Sabemos,  tan^{-1}x + tan^{-1}y = tan^{-1}\frac{x+y}{1-xy}

Ahora pon x = 2/11 y y = 7/24

Asi que,  tan^{-1}\frac{2}{11} + tan^{-1}\frac{7}{24} = tan^{-1}\frac{\frac{2}{11}+\frac{7}{24}}{1-\frac{2}{11}.\frac{7}{24}}

=tan^{-1}\frac{\frac{48}{264}+\frac{77}{264}}{1-\frac{14}{264}}

=tan^{-1}\frac{\frac{48+77}{264}}{\frac{264-14}{264}}

=tan^{-1}\frac{\frac{48+77}{264}}{\frac{264-14}{264}}

=tan^{-1}\frac{125}{250}

=tan^{-1}\frac{1}{2}

= lado derecho

Pregunta 4.  2tan^{-1}\frac{1}{2} + tan^{-1}\frac{1}{7} = tan^{-1}\frac{31}{17}

Solución:

Primero tenemos que escribir 2tan -1 x en términos de tan -1 x

Sabemos que 2tan -1 x = tan^{-1}\frac{2x}{1-x^2}    

Ponga x = 1/2 en la fórmula anterior

Asi que,  2tan^{-1}\frac{1}{2} = tan^{-1}\frac{2.\frac{1}{2}}{1-(\frac{1}{2})^2}

= tan^{-1}\frac{1}{1-(\frac{1}{4})^2}

= tan^{-1}\frac{1}{\frac{4-1}{4}}

= tan^{-1}\frac{1}{\frac{3}{4}}

= tan^{-1}\frac{4}{3}

Ahora podemos reemplazar  2tan^{-1}\frac{1}{2}   con  tan^{-1}\frac{4}{3}

Entonces la ecuación en LHS se convierte en  tan^{-1}\frac{4}{3} + tan^{-1}\frac{1}{7}

Sabemos ,  tan^{-1}x + tan^{-1}y = tan^{-1}\frac{x+y}{1-xy}           

Asi que,   tan^{-1}\frac{4}{3} + tan^{-1}\frac{1}{7} = tan^{-1}\frac{\frac{4}{3}+\frac{1}{7}}{1-\frac{4}{3}.\frac{1}{7}}

=tan^{-1}\frac{\frac{28}{21}+\frac{3}{21}}{1-\frac{4}{21}}

=tan^{-1}\frac{\frac{28+3}{21}}{\frac{21-4}{21}}

=tan^{-1}\frac{\frac{31}{21}}{\frac{17}{21}}

=tan^{-1}\frac{31}{17}          

= lado derecho

Escriba las siguientes funciones en sus formas más simples: 

Pregunta 5.  tan^{-1}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x} , x ≠ 0

Solución:

Supongamos que x = tanθ, entonces θ = tan -1

Sustituye el valor de x en cuestión. 

Entonces la ecuación se convierte en tan^{-1}\frac{\sqrt{1+tan^2θ}-1}{tanθ}

Sabemos que, 1 + tan 2 θ = sec 2 θ 

Reemplazando 1 + tan 2 θ con sec 2 θ en la ecuación tan^{-1}\frac{\sqrt{1+tan^2θ}-1}{tanθ}

Entonces la ecuación se convierte en, tan^{-1}\frac{\sqrt{sec^2θ}-1}{tanθ}

= tan^{-1}\frac{secθ-1}{tanθ}

Sabemos, tanθ = sinθ/cosθ y sec = 1/cosθ 

Reemplazando el valor de tanθ y secθ en  tan^{-1}\frac{secθ-1}{tanθ}

= tan^{-1}\frac{\frac{1}{cosθ}-1}{\frac{sinθ}{cosθ}}

= tan^{-1}\frac{\frac{1-cosθ}{cosθ}}{\frac{sinθ}{cosθ}}

= tan^{-1}\frac{1-cosθ}{sinθ}

Sabemos, 1 – cosθ = 2sin 2 θ/2​ y sinθ = 2sinθ/2cosθ/2  

Entonces, las ecuaciones después de reemplazar el valor anterior se convierten en tan^{-1}\frac{2sin^2\frac{θ}{2}}{2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}

= tan^{-1}\frac{sin\frac{θ}{2}}{cos\frac{θ}{2}}

Sabemos \frac{\frac{sinθ}{2}}{\frac{cosθ}{2}} = tan\frac{θ}{2}        

= tan^{-1}tan\frac{θ}{2}

= θ/2 [tan -1 (tanθ) = θ]

= 1/2 bronceado -1 x [θ = bronceado -1 x]   

Pregunta 6.  tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}  , |x| > 1

Solución:

Supongamos que x = cosecθ, entonces θ = cosec -1

Sustituye el valor de x en cuestión por cosecθ

=tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{cosec^2θ-1}}

Sabemos que, 1 + cot 2 θ = cosec 2 θ, entonces cosec 2 θ = 1 – cot 2 θ  

=tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{cot^2θ}}

=tan^{-1}\frac{1}{cotθ}

= tan -1 (tanθ) [1/cotθ = tanθ]  

= θ [tan -1 (tanθ) = θ] 

= cosec −1 x [θ = cosec −1 x]

= π/2 ​- seg −1 x [cosec −1 x + seg −1 x = π/2​]

Pregunta 7. tan^{-1}(\sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}}), 0<x<\pi

Solución:

Sabemos, 1 – cosx = 2sen 2 x/2 y 1 + cosx = 2cos 2 x/2   

 Sustituyendo la fórmula anterior en cuestión

=tan^{-1}(\sqrt{\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{2cos^2\frac{x}{2}}})

=tan^{-1}(\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}})

= bronceado -1 (tanx/2)         [\frac{sin\theta}{cos\theta} = tan\theta]

 = x/2 [tan -1 (tanθ) = θ] 

pregunta 8 tan^{-1}(\frac{cosx-sinx}{cosx+sinx}), \frac{-\pi}{4}<x<\frac{3\pi}{4}

Solución:

Dividir numerador y denominador por cosx

= tan^{-1}(\frac{\frac{cosx-sinx}{cosx}}{\frac{cosx+sinx}{cosx}})

= tan^{-1}(\frac{\frac{cosx}{cosx}-\frac{sinx}{cosx}}{\frac{cosx}{cosx}+\frac{sinx}{cosx}})

= tan^{-1}(\frac{1-\frac{sinx}{cosx}}{1+\frac{sinx}{cosx}})

Sabemos, \frac{sinx}{cosx} = tanx

= tan^{-1}(\frac{1-tanx}{1+tanx})

Esto también se puede escribir como  tan^{-1}(\frac{1-tanx}{1+1.tanx})         – (1)

Sabemos   tan^{-1}x-tan^{-1}y = tan^{-1}\frac{x-y}{1+x.y}            – (2)

Al comparar la ecuación (1) y (2) podemos decir que x = 1 y y = tan -1 x

Entonces podemos decir que tan^{-1}(\frac{1-tanx}{1+1.tanx}) = tan^{-1}1 - tan^{-1}x

= π/4​ – tan −1 x [tan −1 1 = π/4​]

Pregunta 9. tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} , |x|<a

Solución:

Supongamos que x = asinθ, entonces θ = sen -1 x/a

Sustituye el valor de x en cuestión.

= tan^{-1}\frac{asin\theta}{\sqrt{a^2-(asin\theta)^2}}

= tan^{-1}\frac{asin\theta}{\sqrt{a^2-a^2sin^2\theta}}

Tomando un 2 común del denominador

= tan^{-1}\frac{asin\theta}{\sqrt{a^2(1-sin^2\theta)}}

Sabemos que, sen 2 θ + cos 2 θ = 1, entonces 1 – sen 2 θ = cos 2 θ 

= tan^{-1}\frac{asin\theta}{\sqrt{a^2cos^2\theta}}

= tan^{-1}\frac{asin\theta}{acos\theta}

= tan^{-1}\frac{sin\theta}{cos\theta}

= tan -1 (tanθ) [senθ/cosθ = tanθ]

 = θ        

= sen -1 x/a 

Pregunta 10. tan^{-1}(\frac{3a^2x-x^3}{a^3-3ax^2}),a>0;\frac{-a}{\sqrt{3}}<x<\frac{a}{\sqrt{3}}

Solución:

Supongamos que x = atanθ, entonces θ = tan -1 x/a

Sustituye el valor de x en cuestión

 = tan^{-1}(\frac{3a^2(atan\theta)-(atan\theta)^3}{a^3-3a(atan\theta)^2})

= tan^{-1}(\frac{3a^3tan\theta-a^3tan^3\theta}{a^3-3a^3tan^2\theta})

Sacando un 3 común de numerador y denominador

= tan^{-1}(\frac{a^3(3tan\theta-tan^3\theta)}{a^3(1-3tan^2\theta)})

= tan^{-1}(\frac{3tan\theta-tan^3\theta}{1-3tan^2\theta})

Sabemos tan3\theta = \frac{3tan\theta-tan^3\theta}{1-3tan^2\theta}

Asi que, tan^{-1}(\frac{3tan\theta-tan^3\theta}{1-3tan^2\theta})= tan^{-1}(tan3\theta)

= 3θ [ tan -1 (tanθ) = θ]

= 3tan -1 x/a

Capítulo 2 Funciones trigonométricas inversas – Ejercicio 2.2 | conjunto 2

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por pritishnagpal y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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