Clase 12 Soluciones NCERT – Matemáticas Parte I – Capítulo 2 Funciones trigonométricas inversas – Ejercicio misceláneo en el Capítulo 2

Capítulo 2 Funciones trigonométricas inversas – Ejercicio misceláneo en el Capítulo 2 | Serie 1

Pregunta 11. Demostrar $\tan^{-1}(\frac{\sqrt{(1+ x )}-\sqrt{(1-x)}}{\sqrt{(1+ x) }+\sqrt{(1-x)}})=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \cos^{-1}x,-\frac{1}{\sqrt2}\le x \le1$

Solución:

Poner de tal manera que, $x=\cos2\theta$ $\theta= \frac{1}{2} \cos^{-1} x.$

Entonces tenemos :

IZQ = $\tan^{-1}(\frac{\sqrt{(1+ x) }-\sqrt{(1-x)}}{\sqrt{(1+ x )}+\sqrt{(1-x)}})$

= $\tan^{-1}(\frac{\sqrt{(1+ \cos2 \theta) }-\sqrt{(1-\cos2 \theta)}}{\sqrt{(1+ \cos2 \theta) }+\sqrt{(1-\cos2 \theta)}})$

= $\tan^{-1}(\frac{\sqrt{(2 \cos^{2} \theta) }-\sqrt{(2 \sin^{2}\theta)}}{\sqrt{(2 \cos^{2}\theta) }+\sqrt{(2 \sin^{2} \theta)}})$

= $\tan^{-1}(\frac{\sqrt{2 }\cos \theta -{\sqrt{2 }\cos\theta}}{{\sqrt{2 }\cos\theta }+{\sqrt{2 }\cos \theta}})$

= $\tan^{-1}(\frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta})=\tan^{-1}(\frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta})$

$\tan^{-1} 1- \tan^{-1}(\tan \theta)$ – $[\tan^{-1}(\frac{x-y}{1+xy})]=\tan^{-1}x+\tan^{-1}y$

$=\frac{\pi}{4} -\theta = \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \cos^{-1} x$

LHS = RHS

Por lo tanto probado

Pregunta 12. Demostrar $\frac{9\pi}{8}- \frac{9}{4} \sin^{-1} \frac{1}{3}=\frac{9}{4} \sin^{-1} \frac{2\sqrt2}{3}$

Solución:

IZQ = $\frac{9\pi}{8}- \frac{9}{4} \sin^{-1} \frac{1}{3}$

= $\frac {9}{4}(\frac{\pi}{2}- \sin^{-1} \frac{1}{3})$

Usando $\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}$

= $\frac {9}{4}(\cos^{-1} \frac{1}{3})$ -(1)

Ahora, vamos $\cos^{-1}\frac{1}{3}=x$ Entonces, $\cos x =\frac{1}{3} \implies \sin x=\sqrt{1-(\frac{1}{3})^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\therefore x=\sin^{-1} \frac{2\sqrt2}{3}$

Usando la ecuación (1), obtenemos,

= $\frac{9}{4}\sin^{-1} \frac{2\sqrt2}{3}$

LHS = RHS

Por lo tanto probado

Pregunta 13. Resuelve $2\tan^{-1}(\cos x)=\tan^{-1}(2\cosec x)$

Solución:

$2\tan^{-1}(\cos x)=\tan^{-1}(2\cosec x)$

= $\tan^{-1}(\frac{2 \cos x}{1- \cos^{2}x})=\tan^{-1} (2\cosec x)$ – $[2 \tan^{-1} x=\tan^{-1} \frac{2x}{1-x^{2}}]$

= $\frac{2\cos x} {1-cos^{2}x}=2\cosec x$

= $\frac{ 2 \cos x}{\sin^{2}}= \frac{2}{\sin x}$

= cos x/sen x

= cuna x = 1

Por lo tanto, x = π/ 4

Pregunta 14. Resuelve $\tan^{-1} \frac{1-x}{1+x}=\frac{1}{2} \tan^{-1} x,(x>0)$

Solución:

$\tan^{-1} \frac{1-x}{1+x}=\frac{1}{2} \tan^{-1} x$

Sea x = tan θ

$\tan^{-1}(\frac{1-tan\theta}{1+tan\theta})=\frac{1}{2} \tan^{-1} tan\theta$

$\tan^{-1}(\frac{tan\frac{\pi}{4}-tan\theta}{tan\frac{\pi}{4}+tan\theta})=\frac{1}{2} \theta$

$\tan^{-1}tan(\frac{\pi}{4}-\theta)=\frac{\theta }{2}$

π/4 – θ = θ/2

θ = π/6

Entonces, x = tan(π/6) = 1/√3

Pregunta 15. Resolver $\sin(\tan^{-1}x),|x|<1$ es igual a

(A) $\frac{x}{\sqrt{(1-x^{2})}}$ (B) $\frac{1}{\sqrt{(1-x^{2})}}$ (C) $\frac{1}{\sqrt{(1+x^{2})}}$ (D) $\frac{x}{\sqrt{(1+x^{2})}}$

Solución:

Sea tan y = x, $\sin y = \frac{x}{\sqrt{(1+x^{2})}}$

Entonces $\tan^{-1} x=y$ ,

$\therefore y=\sin^{-1}(\frac{x}{\sqrt{(1+x^{2})}}) \implies \tan^{-1}x=\sin^{-1}\frac{x}{\sqrt{(1+x^{2})}}$

$\therefore \sin(\tan^{-1}x)=sin(sin^{-1}\frac{x}{\sqrt{(1+x^{2})}})=\frac{x}{\sqrt{(1+x^{2})}}$

Entonces, la respuesta correcta es D.

Pregunta 16. Resuelve $\sin^{-1}(1- x)-2 \sin^{-1}x=\frac{\pi}{2}$ , entonces x es igual a

(A) 0, 1/2 (B) 1, 1/2 (C) 0 (D) 1/2

Solución:

$\sin^{-1}(1- x)-2 \sin^{-1}x=\frac{\pi}{2}$

$\implies -2 \sin^{-1}x=\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(1-x)$

$\implies -2 \sin^{-1}x=\cos^{-1}(1-x)$ -(1)

Dejar $\sin^{-1} x =\theta \to \sin \theta=x$

$\cos \theta= \sqrt{1-x^{2}}$

$\therefore \theta= \cos^{-1}(\sqrt{1-x^{2}})$

$\therefore \sin^{-1} x=cos^{-1}(\sqrt{1-x^{2}})$

Por lo tanto, de la ecuación (1), tenemos

$-2cos^{-1}(\sqrt{1-x^{2}})=\cos^{-1}(1-x)$

Ponga x = sen entonces, tenemos:

$-2\cos^{-1}(\sqrt{1-\sin^{2} y})=\cos^{-1}(1-\sin y)$

$-2 \cos^{-1}(\cos y)=\cos^{-1}(1-\sin y)$

$-2 y=\cos^{-1}(1-\sin y)$

$1- \sin y=\cos (-2y)=\cos 2y$

$1- \sin y= 1- 2 \sin^{2} y$

$2\sin^{2} y- \sin y=0$

$\sin y(2 \sin y-1)=0$

sen y = 0 o 1/2

x = 0 o x = 1/2

Pero, cuando x = 1/2 se puede observar que:

IZQ = $\sin^{-1}(1-\frac{1}{2}) -2\sin^{-1} \frac{1}{2}$

= $\sin^{-1} (\frac{1}{2})-2\sin^{-1} \frac{1}{2}$

= $-\sin^{-1} \frac{1}{2}$

= $- \frac{\pi}{6} \ne\frac{\pi}{2}\ne \space R.H.S.$

x = 1/2 no es la solución de la ecuación dada.

Por lo tanto, x = 0

Por lo tanto, la respuesta correcta es C

Pregunta 17. Resolver $\tan ^{-1}(\frac{x}{y})-\tan ^{-1}(\frac{x-y}{x+y})$ es igual a

(A) π /2 (B) π /3 (C) π /4 (D) -3 π /4

Solución

$\tan^{-1} (\frac{x}{y})-\tan^{-1} \frac{x-y}{x+y}$

$\tan^{-1}[\frac{\frac{x}{y}-\frac{x-y}{x+y}}{1+\frac{x}{y} \times\frac{x-y}{x+y}}]$ – $[\tan^{-1}x+\tan^{-1}y=[\tan^{-1}(\frac{x-y}{1+xy})]]$

$\tan^{-1}[\frac {\frac {x(x+y)-y(x-y)} {y(x+y)} } {\frac {y(x+y)+x(x-y)} {y(x+y)}}]$

${\tan}^{-1}[{\frac {x^2+xy-xy+y^2} {xy+y^2+x^2-xy}}]$

${\tan}^{-1}[\frac {x^2+y^2} {x^2+y^2}]=tan^{-1}1=\frac {\pi} {4}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C

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Artículo escrito por simardeep032002 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones NCERT – Matemáticas Parte I – Capítulo 2 Funciones trigonométricas inversas – Ejercicio misceláneo en el Capítulo 2 | conjunto 2

Capítulo 2 Funciones trigonométricas inversas – Ejercicio misceláneo en el Capítulo 2 | Serie 1

Pregunta 11. Demostrar $\tan^{-1}(\frac{\sqrt{(1+ x )}-\sqrt{(1-x)}}{\sqrt{(1+ x) }+\sqrt{(1-x)}})=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \cos^{-1}x,-\frac{1}{\sqrt2}\le x \le1$

Pregunta 12. Demostrar $\frac{9\pi}{8}- \frac{9}{4} \sin^{-1} \frac{1}{3}=\frac{9}{4} \sin^{-1} \frac{2\sqrt2}{3}$

Pregunta 13. Resuelve $2\tan^{-1}(\cos x)=\tan^{-1}(2\cosec x)$

Pregunta 14. Resuelve $\tan^{-1} \frac{1-x}{1+x}=\frac{1}{2} \tan^{-1} x,(x>0)$

Pregunta 15. Resolver $\sin(\tan^{-1}x),|x|<1$ es igual a

(A) $\frac{x}{\sqrt{(1-x^{2})}}$ (B) $\frac{1}{\sqrt{(1-x^{2})}}$ (C) $\frac{1}{\sqrt{(1+x^{2})}}$ (D) $\frac{x}{\sqrt{(1+x^{2})}}$

Pregunta 16. Resuelve $\sin^{-1}(1- x)-2 \sin^{-1}x=\frac{\pi}{2}$ , entonces x es igual a

(A) 0, 1/2 (B) 1, 1/2 (C) 0 (D) 1/2

Pregunta 17. Resolver $\tan ^{-1}(\frac{x}{y})-\tan ^{-1}(\frac{x-y}{x+y})$ es igual a

(A) π /2 (B) π /3 (C) π /4 (D) -3 π /4

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Pregunta 11. Demostrar

Pregunta 12. Demostrar

Pregunta 13. Resuelve

Pregunta 14. Resuelve

Pregunta 15. Resolver es igual a

(A) (B) (C) (D)

Pregunta 16. Resuelve , entonces x es igual a

(A) 0, 1/2 (B) 1, 1/2 (C) 0 (D) 1/2

Pregunta 17. Resolver es igual a

(A) π ​/2 (B) π ​/3 (C) π ​/4 (D) -3 π ​/4

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Pregunta 11. Demostrar $\tan^{-1}(\frac{\sqrt{(1+ x )}-\sqrt{(1-x)}}{\sqrt{(1+ x) }+\sqrt{(1-x)}})=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \cos^{-1}x,-\frac{1}{\sqrt2}\le x \le1$

Pregunta 12. Demostrar $\frac{9\pi}{8}- \frac{9}{4} \sin^{-1} \frac{1}{3}=\frac{9}{4} \sin^{-1} \frac{2\sqrt2}{3}$

Pregunta 13. Resuelve $2\tan^{-1}(\cos x)=\tan^{-1}(2\cosec x)$

Pregunta 14. Resuelve $\tan^{-1} \frac{1-x}{1+x}=\frac{1}{2} \tan^{-1} x,(x>0)$

Pregunta 15. Resolver $\sin(\tan^{-1}x),|x|<1$ es igual a

(A) $\frac{x}{\sqrt{(1-x^{2})}}$ (B) $\frac{1}{\sqrt{(1-x^{2})}}$ (C) $\frac{1}{\sqrt{(1+x^{2})}}$ (D) $\frac{x}{\sqrt{(1+x^{2})}}$

Pregunta 16. Resuelve $\sin^{-1}(1- x)-2 \sin^{-1}x=\frac{\pi}{2}$ , entonces x es igual a

Pregunta 17. Resolver $\tan ^{-1}(\frac{x}{y})-\tan ^{-1}(\frac{x-y}{x+y})$ es igual a

(A) π /2 (B) π /3 (C) π /4 (D) -3 π /4