Clase 12 Soluciones NCERT – Matemáticas Parte I – Capítulo 3 Arrays – Ejercicio 3.3

Posted on by Rudeus Greyrat

Pregunta 1. Encuentra la transpuesta de cada una de las siguientes arrays:

(i) \begin{bmatrix}5 \\\frac{1}{2} \\-1 \end{bmatrix}  

(ii) \begin{bmatrix}1 & -1 \\2 & 3 \\\end{bmatrix}

(iii) \begin{bmatrix}-1 & 5 & 6\\ \sqrt{3} & 5 & 6\\2 & 3 & -1\end{bmatrix}

Solución:

(i) Sea A =\begin{bmatrix}5 \\\frac{1}{2} \\-1 \end{bmatrix}

∴Transpuesta de A = A’ = A T  = \begin{bmatrix}5&\frac{1}{2} &-1\\\end{bmatrix}

(ii) Sea A =\begin{bmatrix}1 & -1 \\2 & 3 \\\end{bmatrix}

∴Transpuesta de A = A’ = AT =\begin{bmatrix}1 & 2 \\-1 & 3 \\\end{bmatrix}

(iii) Sea A =\begin{bmatrix}-1 & 5 & 6\\ \sqrt{3} & 5 & 6\\2 & 3 & -1\end{bmatrix}

∴Transpuesta de A = A’ = AT =\begin{bmatrix}-1 & \sqrt{3} & 2\\ 5 & 5 & 3\\6 & 6 & -1\end{bmatrix}

Pregunta 2. Si A = \begin{bmatrix}-1 & 2 & 3\\5 & 7 & 9\\-2 & 1 & 1\end{bmatrix}  y B =  \begin{bmatrix}-4 & 2 & -5\\1 & 2 & 0\\1 & 3 & 1\end{bmatrix}  entonces verifica que:

(i) (A+B)’ = A’+B’

(ii) (AB)’ = A’-B’

Solución:

(yo) A+B =\begin{bmatrix}-1 & 2 & 3\\5 & 7 & 9\\-2 & 1 & 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-4 & 1 & -5\\1 & 2 & 0\\1 & 3 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1-4 & 2=1 & 3-5\\5+1 & 7+2 & 9+0\\-2+1 & 1+3 & 1+1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-5 & 3 & -2\\6 & 9 & 9\\-1 & 4 & 2\end{bmatrix}

IZQ = (A+B)’ = \begin{bmatrix}-5 & 6 & -1\\3 & 9 & 4\\-2 & 9 & 2\end{bmatrix}

RHS = A’+B’ = \begin{bmatrix}-1 & 5 & -2\\2 & 7 & 1\\-2 & 1 & 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-4 & 1 & 1\\1 & 2 & 3\\-5 & 0 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1-4 & 5+1 & -2+1\\2+1 & 7+2 & 1+3\\-2-5 & 1+0 & 1+1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-5 & 6 & -1\\3 & 9 & 4\\-2 & 9 & 2\end{bmatrix}

∴LHS = RHS

Por lo tanto, probado.

(ii) AB = \begin{bmatrix}-1 & 2 & 3\\5 & 7 & 9\\-2 & 1 & 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-4 & 2 & -5\\1 & 2 & 0\\1 & 3 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 & 1 & 8\\4 & 5 & 9\\-3 & -2 & 0\end{bmatrix}

IZQ = (AB)’=\begin{bmatrix}3 & 4 & -3\\1 & 5 & -2\\8 & 9 & 0\end{bmatrix}

RHS = A’-B’ =\begin{bmatrix}-1 & 5 & -2\\2 & 7 & 1\\-2 & 1 & 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-4 & 1 & 1\\1 & 2 & 3\\-5 & 0 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 & 4 & -3\\1 & 5 & -2\\8 & 9 & 0\end{bmatrix}

∴ LHS = RHS

Por lo tanto, probado.

Pregunta 3. Si A’ = \begin{bmatrix}3 & 4 \\-1 & 2 \\0 & 1 \end{bmatrix}  y B =  \begin{bmatrix}-1 & 2 & 1\\1 & 2 & 3\\\end{bmatrix} , entonces verifica que:

(yo) (A+B)’=A’+B’

(ii) (AB)’=A’-B’

Solución:

Dados A’= \begin{bmatrix}3 & 4 \\-1 & 2 \\0 & 1 \end{bmatrix} y B=\begin{bmatrix}-1 & 2 & 1\\1 & 2 & 3\\\end{bmatrix}

entonces, (A’)’ = A =\begin{bmatrix}3 & -1 & 0\\4 & 2 & 1\\\end{bmatrix}

(yo) A+B =\begin{bmatrix}3 & -1 & 0\\4 & 2 & 1\\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1 & 2 & 1\\1 & 2 & 3\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 &1 & 1\\5& 4 & 4\\\end{bmatrix}

∴ IZQ = (A+B)’=\begin{bmatrix}2 & 5\\1 & 4 \\1 & 4 \end{bmatrix}

DCH= A’+B’ = \begin{bmatrix}3 & 4 \\-1 & 2 \\0 & 1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1 & 1 \\2 & 2 \\1 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 5\\1 & 4 \\1 & 4 \end{bmatrix}

∴ LHS = RHS

Por lo tanto, probado.

(ii) AB = \begin{bmatrix}3 & -1 & 0\\4 & 2 & 1\\\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-1 & 2 & 1\\1 & 2 & 3\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4 &-3 & -1\\3 & 0 & -2\\\end{bmatrix}

∴ IZQ = (AB)’=\begin{bmatrix}4 & 3 \\-3 & 0 \\-1 & -2 \end{bmatrix}

RHS= A’-B’ = \begin{bmatrix}3 & 4 \\-1 & 2 \\0 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-1 & 1 \\2 & 2 \\1 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4 & 3\\-3 & 0 \\-1 & -2 \end{bmatrix}

∴ LHS = RHS

Por lo tanto, probado.

Pregunta 4. Si A’ =  \begin{bmatrix}-2 & 3 \\1 & 2 \\\end{bmatrix} y B =  \begin{bmatrix}-1 & 0 \\1 & 2 \\\end{bmatrix} entonces encuentra (A+2B)’.

Solución:

Dado: A’ = \begin{bmatrix}-2 & 3 \\1 & 2 \\\end{bmatrix} y B =\begin{bmatrix}-1 & 0 \\1 & 2 \\\end{bmatrix}

entonces (A’)’ =A=\begin{bmatrix}-2 & 3 \\1 & 2 \\\end{bmatrix}

Ahora, A+2B = \begin{bmatrix}-2 & 3 \\1 & 2 \\\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}-1 & 0 \\1 & 2 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2 & 3 \\1 & 2 \\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-2 & 0 \\2 & 4 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2-2 & 1+0 \\3+2 & 2+4 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4 & 1 \\5 & 6 \\\end{bmatrix}

∴(A+2B)’ = \begin{bmatrix}-4 & 5 \\1 & 6 \\\end{bmatrix}

Pregunta 5. Para las arrays A y B, verifique que (AB)′ = B′A′, donde

(i) A = \begin{bmatrix}1 \\-4 \\3 \end{bmatrix} y B = \begin{bmatrix}-1 & 2 & 1\\\end{bmatrix}

(ii) A = \begin{bmatrix}0 \\1 \\2 \end{bmatrix} y B =\begin{bmatrix}1 & 5 & 7\\\end{bmatrix}

Solución:

(i) AB = =\begin{bmatrix}1 \\-4 \\3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 2 & 1\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & 2 & 1\\4 & -8 & -4\\-3 & 6 & 3\end{bmatrix}

∴ IZQ = (AB)′ =\begin{bmatrix}-1 & 4 & -3\\2 & -8 & 6\\1 & -4 & 3\end{bmatrix}

RHS= B′A’ = \begin{bmatrix}-1 \\2 \\1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & -4 & 3\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & 4 & -3\\2 & -8 & 6\\1 & -4 & 3\end{bmatrix}

∴ LHS = RHS

Por lo tanto, probado.

(ii) AB =\begin{bmatrix}0 \\1 \\2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 5 & 7\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\1 & 5 & 7\\2 & 10 & 14\end{bmatrix}

∴ IZQ = (AB)′ =\begin{bmatrix}0 & 1 & 2\\0 & 5 & 10\\0 & 7 & 14\end{bmatrix}

Ahora, RHS=B’A’ = \begin{bmatrix}1 \\5 \\7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1 & 2\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 2\\0 & 5 & 7\\0 & 7 & 14\end{bmatrix}

∴ LHS = RHS

Por lo tanto, probado.

Pregunta 6. Si (i) A = \begin{bmatrix}cosα & sinα \\-sinα & cosα \\\end{bmatrix}   , entonces verifique que A′ A = I.

(ii) A = \begin{bmatrix}sinα & cosα \\-cosα & sinα \\\end{bmatrix}   , luego verifique que A′ A = I.

Solución:

(i) \begin{bmatrix}cosα &-sinα \\sinα & cosα \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cosα & sinα \\-sinα & cosα \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}cos ^{2}α+sin^{2}α & cosαsinα-sinαcosα\\sinαcosα-cosαsinα & sin ^{2}α+cos^{2}α \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\\end{bmatrix}

= yo = lado derecho

∴ LHS = RHS

(ii) \begin{bmatrix}sinα &-cosα \\cosα & sinα \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}sinα & cosα \\-cosα & sinα \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}sin ^{2}α+sin^{2}α & sinαcosα-cosαsinα\\cosαsinα-sinαcosα & cos ^{2}α+sin^{2}α \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\\end{bmatrix}

= yo = lado derecho

∴ LHS = RHS

Pregunta 7. (i) Demuestre que la array A \begin{bmatrix}1 & -1 & 5\\-1 & 2 & 1\\5 & 1 & 3\end{bmatrix}  = es una array simétrica.

(ii) Demuestre que la array A \begin{bmatrix}0 & 1 & -1\\-1 & 0 & 1\\1 & -1 & 0\end{bmatrix}  = es una array simétrica.

(i) Dado: A =\begin{bmatrix}1 & -1 & 5\\-1 & 2 & 1\\5 & 1 & 3\end{bmatrix}      

Ahora, A’=\begin{bmatrix}1 & -1 & 5\\-1 & 2 & 1\\5 & 1 & 3\end{bmatrix}'=\begin{bmatrix}1 & -1 & 5\\-1 & 2 & 1\\5 & 1 & 3\end{bmatrix}  

∵ A = A’

∴ A es una array simétrica.

(ii) Dado: A = \begin{bmatrix}0 & 1 & -1\\-1 & 0 & 1\\1 & -1 & 0\end{bmatrix}

Ahora, A’=\begin{bmatrix}0 & 1 & -1\\-1 & 0 & 1\\1 & -1 & 0\end{bmatrix}'=\begin{bmatrix}0 & 1 & -1\\-1 & 0 & 1\\1 & -1 & 0\end{bmatrix}

∵ A = A’

∴ A es una array simétrica.

Pregunta 8. Para la array A = \begin{bmatrix}1 & 5 \\6 & 7 \\\end{bmatrix} , verifique que:

(i) (A + A′) es una array simétrica

(ii) (A – A′) es una array simétrica oblicua

Solución:

(i) Dado: A =\begin{bmatrix}1 & 5 \\6 & 7 \\\end{bmatrix}

Sea B = (A+A’) = \begin{bmatrix}1 & 5 \\6 & 7 \\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 & 6 \\5 & 7 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+1 & 5+6 \\6+5 & 7+7 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 11 \\11 & 14 \\\end{bmatrix}

Ahora, B’ = (A+A’)’ = \begin{bmatrix}2 & 11 \\11 & 14 \\\end{bmatrix}'=\begin{bmatrix}2 & 11 \\11 & 14 \\\end{bmatrix}

∵ B = B’

∴ B=(A+A’) es una array simétrica.

(ii) Dado: A =\begin{bmatrix}1 & 5 \\6 & 7 \\\end{bmatrix}

Sea B = (A-A’) =\begin{bmatrix}1 & 5 \\6 & 7 \\\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1 & 6 \\5 & 7 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1-1 & 5-6 \\6-5 & 7-7 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & -1 \\1 & 0 \\\end{bmatrix}

Ahora, B’ = (A-A’)’ =\begin{bmatrix}0 & -1 \\1 & 0 \\\end{bmatrix}'=\begin{bmatrix}0 & 1 \\-1 & 0 \\\end{bmatrix}=-\begin{bmatrix}0 & -1 \\1 & 0 \\\end{bmatrix}

∵ -B = B’

∴ B=(A-A’) es una array simétrica oblicua.

Pregunta 9. Encuentra 1/2(A+A’) y 1/2(A-A’), cuando A = \begin{bmatrix}0 & a & b\\-a & 0 & c\\-b & -c & 0\end{bmatrix} .

Solución:

Dado: A = \begin{bmatrix}0 & a & b\\-a & 0 & c\\-b & -c & 0\end{bmatrix}

∴A’ = \begin{bmatrix}0 & a & b\\-a & 0 & c\\-b & -c & 0\end{bmatrix}'=\begin{bmatrix}0 & -a & -b\\a & 0 & -c\\b & c & 0\end{bmatrix}

Ahora, A+A’ = +\frac{1}{2}\{\begin{bmatrix}0 & a & b\\-a & 0 & c\\-b & -c & 0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 & -a & -b\\a & 0 & -c\\b & c & 0\end{bmatrix}\}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}0 +0& a-a & b-b\\-a+a & 0+0 & c-c\\-b+b & -c+c & 0+0\end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}

Ahora, A-A’ =\frac{1}{2}\{\begin{bmatrix}0 & a & b\\-a & 0 & c\\-b & -c & 0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0 & -a & -b\\a & 0 & -c\\b & c & 0\end{bmatrix}\}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}0 -0& a+a & b+b\\-a-a & 0-0 & c+c\\-b-b & -c-c & 0-0\end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}0 & 2a & 2b\\-2a & 0 & 2c\\-2b & -2c & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & a & b\\-a & 0 & c\\-b & -c & 0\end{bmatrix}

Pregunta 10. Exprese las siguientes arrays como la suma de una array simétrica y una simétrica oblicua:

(i) \begin{bmatrix}3 & 5 \\1 & -1 \\\end{bmatrix}

(ii) \begin{bmatrix}6 & -2 & 2\\-2 & 3 & -1\\2 & -1 & 3\end{bmatrix}

(iii) \begin{bmatrix}3 & 3 & -1\\-2 & -2 & 1\\-4 & -5 & 2\end{bmatrix}

(iv) \begin{bmatrix}1 & 5 \\-1& 2 \\\end{bmatrix}

Solución:

(i) Dado: A =\begin{bmatrix}3 & 5 \\1 & -1 \\\end{bmatrix}

⇒ A’=\begin{bmatrix}3 & 1 \\5 & -1 \\\end{bmatrix}

Sea P = \frac{1}{2}(A+A')

y Q = \frac{1}{2}(A-A')

Ahora, P = \frac{1}{2} \{\begin{bmatrix}3 & 5 \\1 & -1 \\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3 & 1 \\5 & -1 \\\end{bmatrix}\}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}6 & 6 \\6 & -2 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 & 3 \\3 & -1 \\\end{bmatrix} …..(1)

& P’ = \begin{bmatrix}3 & 1 \\5 & -1 \\\end{bmatrix}'=\begin{bmatrix}3 & 1 \\5 & -1 \\\end{bmatrix}

∵ P=P’

∴ P es una array simétrica.

Ahora, Q = \frac{1}{2}(A-A')=\frac{1}{2} \{\begin{bmatrix}3 & 5 \\1 & -1 \\\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3 & 1 \\5 & -1 \\\end{bmatrix}\}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}0 & 4 \\-4 & 0 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 2 \\-2 & 0 \\\end{bmatrix} …..(2)

& Q’ = \begin{bmatrix}0 & 2 \\-2 & 0 \\\end{bmatrix}'=-\begin{bmatrix}0 & -2 \\2 & 0 \\\end{bmatrix}

∵ -Q=Q’ 

∴ Q es una array simétrica oblicua.

Sumando (1) y (2), obtenemos,

\begin{bmatrix}3 & 1 \\5 & -1 \\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 & 2 \\-2 & 0 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 & 5\\1 & -1 \\\end{bmatrix}

Por lo tanto, A = P + Q

(ii) Dado: \begin{bmatrix}6 & -2 & 2\\-2 & 3 & -1\\2 & -1 & 3\end{bmatrix}

⇒ A’=\begin{bmatrix}6 & -2 & 2\\-2 & 3 & -1\\2 & -1 & 3\end{bmatrix}

PAG = \frac{1}{2}(A+A')=\frac{1}{2}(\begin{bmatrix}6 & -2 & 2\\-2 & 3 & -1\\2 & -1 & 3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}6 & -2 & 2\\-2 & 3 & -1\\2 & -1 & 3\end{bmatrix})=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}12 & -4 & 4\\-4 & 6 & -2\\4 & -2 & 6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6 & -2 & 2\\-2 & 3 & -1\\2 & -1 & 3\end{bmatrix}

…..(1)

Q = \frac{1}{2}(A-A')=\frac{1}{2}(\begin{bmatrix}6 & -2 & 2\\-2 & 3 & -1\\2 & -1 & 3\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}6 & -2 & 2\\-2 & 3 & -1\\2 & -1 & 3\end{bmatrix})=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}

……(2)

Sumando (1) y (2), obtenemos,

\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}6 & -2 & 2\\-2 & 3 & -1\\2 & -1 & 3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6 & -2 & 2\\-2 & 3 & -1\\2 & -1 & 3\end{bmatrix}

Por lo tanto, A = P + Q

(iii) Dado: A =\begin{bmatrix}3 & 3 & -1\\-2 & -2 & 1\\-4 & -5 & 2\end{bmatrix}

⇒ A’=\begin{bmatrix}3 & -2 & -4\\3 & -2 & -5\\-1 & 1 & 2\end{bmatrix}

P = } \frac{1}{2}(A+A')=\frac{1}{2}(\begin{bmatrix}3 & 3 & -1\\-2 & -2 & 1\\-4 & -5 & 2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3 & -2 & -4\\3 & -2 & -5\\-1 & 1 & 2\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}6 & 1 & -5\\1 & -4 & -4\\-5 & -4 & 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 & 1/2 & -5/2\\1/2 & -2 & -2\\-5/2 & -2 & 2\end{bmatrix} …..(1)

P =  \frac{1}{2}(A-A')=\frac{1}{2}(\begin{bmatrix}3 & 3 & -1\\-2 & -2 & 1\\-4 & -5 & 2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3 & -2 & -4\\3 & -2 & -5\\-1 & 1 & 2\end{bmatrix})=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}0 & 5 & 3\\-5 & 0 & 6\\-3 & -6 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 5/2 & 3/2\\-5/2 & 0 & 3\\-3/2 & -3 & 0\end{bmatrix} ……(2)

Sumando (1) y (2), obtenemos

}\begin{bmatrix}3 & 1/2 & -5/2\\1/2 & -2 & -2\\-5/2 & -2 & 2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 & 5/2 & 3/2\\-5/2 & 0 & 3\\-3/2 & -3 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 & 3 & -1\\-2 & -2 & 1\\-4 & -5 & 2\end{bmatrix}

Por lo tanto, A = P + Q

(iv) Dado: A = \begin{bmatrix}1 & 5 \\-1& 2 \\\end{bmatrix}

⇒ A’= \begin{bmatrix}1 & -1 \\5 & 2 \\\end{bmatrix}

PAG =\frac{1}{2} \{\begin{bmatrix}1 & 5 \\-1 & 2 \\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 & -1 \\5 & 2 \\\end{bmatrix}\}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}2 & 4 \\4 & 4 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 2 \\2 & 2 \\\end{bmatrix}

…..(1)

Q = \frac{1}{2}(A-A')=\frac{1}{2} \{\begin{bmatrix}1 & 5 \\-1 & 2 \\\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1 & -1 \\5 & 2 \\\end{bmatrix}\}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1 & -1 \\5 & 2 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 3 \\-3 & 0 \\\end{bmatrix}

…..(2)

Sumando (1) y (2), obtenemos

\begin{bmatrix}1 & 2 \\2 & 2 \\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 & 3 \\-3 & 0 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 5 \\-1 & 2 \\\end{bmatrix}

Por lo tanto, A = P + Q

Pregunta 11. Si A, B son arrays simétricas del mismo orden, entonces AB – BA es una

(A) Array simétrica sesgada (B) Array simétrica

(C) Array cero (D) Array identidad 

Solución:

Dado: A y B son arrays simétricas.

⇒ A=A’

⇒ B=B’

Ahora, (AB – BA)’ =(AB)’-(BA)’ [∵ (XY)’=X’-Y’]

                          =B’A’-A’B’ [∵ (XY)’=Y’X’]

                         =BA-AB [∵ Dado]

                        = -(AB-BA)

∴(AB-BA) es una array simétrica oblicua.

∴ La opción (A) es correcta.

Pregunta 12. Si A = \begin{bmatrix}cosα & -sinα \\sinα & cosα \\\end{bmatrix} , y A + A′ = I, entonces el valor de α es

(A)π/6 (B) π/3

(C) π (D)3π/2

Solución:

\begin{bmatrix}cosα & -sinα \\sinα & cosα \\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}cosα & sinα \\-sinα & cosα \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}2cosα & 0 \\0 & 2cosα \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1 \\\end{bmatrix}

Al comparar ambos lados, obtenemos

           2cosα = 1

⇒ cosα = \frac{1}{2}

⇒ cosα = cos\frac{π}{3}

⇒ α = \frac{π}{3}

∴ La opción (B) es correcta.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por kavyagupta0098 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *