Clase 12 Soluciones NCERT – Matemáticas Parte I – Capítulo 4 Determinantes – Ejercicio 4.5

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Encuentre el adjunto de cada una de las arrays en los ejercicios 1 y 2.

Pregunta 1. \begin{bmatrix} 1 &2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Solución: 

un = \begin{bmatrix} 1 &2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

A 11 = 4; A12 = -3 ; A 21 = -2; 22 = 1

adj A = \begin{bmatrix} A_{11} &A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{bmatrix}

adj A = \begin{bmatrix} 4 &-2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}

Pregunta 2. \begin{bmatrix} 1 & -1 &2 \\ 2&3 &5 \\ -2& 0 &1 \end{bmatrix}

Solución: 

un = \begin{bmatrix} 1 & -1 &2 \\ 2&3 &5 \\ -2& 0 &1 \end{bmatrix}

un 11 = \begin{vmatrix} 3 &5 \\ 0& 1 \end{vmatrix}

UN 11 = 3 – 0 = 3

un 12 = -\begin{vmatrix} 2&5 \\ -2& 1 \end{vmatrix}

UN 12 = -(2 + 10) = -12

un 13 = \begin{vmatrix} 2&3\\ -2& 0 \end{vmatrix}

UN 13 = 0 + 6 = 6

Un 21 = -\begin{vmatrix} -1&2\\ 0& 1 \end{vmatrix}

A 21 = -(-1 – 0) = 1

Un 22 = \begin{vmatrix} 1&2\\ -2& 1 \end{vmatrix}

UN 22 = 1 + 4 = 5

Un 23 = -\begin{vmatrix} 1&-1\\ -2&0 \end{vmatrix}

A 23 = -(0 – 2) = 2

Un 31 = \begin{vmatrix} -1&2\\ 3&5 \end{vmatrix}

A 31 = -5 – 6 = -11

32 =  _-\begin{vmatrix} 1&2\\ 2&5 \end{vmatrix}

A 32 = -(5 – 4) = -1

Un 33 = \begin{vmatrix} 1&-1\\ 2&3 \end{vmatrix}

UN 33 = 3 + 2 = 5

adj A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} &A_{31} \\ A_{12}&A_{22} &A_{32} \\ A_{13}& A_{23} &A_{33} \end{bmatrix}

adj A = \begin{bmatrix} 3& 1 &-11 \\ -12&5 &-1 \\ 6& 2 &5 \end{bmatrix}

Verifique A(adj A) = (adj A)A = |A| I en los ejercicios 3 y 4.

Pregunta 3. \begin{bmatrix} 2 &3 \\ -4 & -6 \end{bmatrix}

Solución: 

|A| = -12 -(-12) 

|A| = -12 + 12 = 0

entonces, |A|*I = 0 * \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}

|A|*I = \begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}  ……… (1)

Ahora, para adjunto de A

Un 11 = -6

un 12 = 4

Un 21 = -3

22 = 2

adj A = \begin{bmatrix} A_{11} &A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{bmatrix}

adj A = \begin{bmatrix} -6&-3 \\ 4&2 \end{bmatrix}

Ahora, A(adj A) = \begin{bmatrix} 2&3 \\ -4&-6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -6&-3 \\ 4&2 \end{bmatrix}

A(adj A) =  \begin{bmatrix} -12+12&-6+6 \\ 24-24&12-12 \end{bmatrix} [Tex]\begin{bmatrix} 11& 0 &0 \\ 0 & 11 &0 \\ 0 & 0 & 11 \end{bmatrix}[/Tex]

A(adj A) =  \begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{bmatrix} …………(2)

Ahora, (adj. A)A = \begin{bmatrix} -6&-3 \\ 4&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&3 \\ -4&-6 \end{bmatrix}

(adj. A)A = \begin{bmatrix} -12+12&-18+18 \\ 8-8&12-12 \end{bmatrix}

(adj. A)A =  \begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}  …………….(3)

A partir de la ecuación (1), (2) y (3), puede ver que A(adj A) = (adj A)A = |A|I

Pregunta 4. \begin{bmatrix} 1 &-1 &2 \\ 3 & 0 &-2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix}

Solución: 

un = \begin{bmatrix} 1 &-1 &2 \\ 3 & 0 &-2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix}

|A| = 1(0 – 0) + 1(9 + 2) + 2(0 – 0)

|A| = 11

|A| * yo = 11\begin{bmatrix} 1& 0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

|A| * yo = \begin{bmatrix} 11& 0 &0 \\ 0 & 11 &0 \\ 0 & 0 & 11 \end{bmatrix}

Ahora, para adjunto de A

un 11 = 0

UN 12 = -(9 + 2) = -11

un 13 = 0

A 21 = -(-3 – 0) = 3

UN 22 = 3 – 2 = 1

A 23 = -(0 + 1) = -1

UN 31 = 2 – 0 = 2

UN 32 = -(-2 – 6) = 8

UN 33 = 0 + 3 = 3

adj A = \begin{bmatrix} 0& 3 &2 \\ -11 & 1 &8 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix}

Ahora,

A(adjA) = \begin{bmatrix} 1 &-1 &2 \\ 3 & 0 &-2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0& 3 &2 \\ -11 & 1 &8 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix}

A(adj. A) = \begin{bmatrix} 0+11+0& 3-1-2 &2-8+6 \\ 0+0+0 & 9+0+2 &6+0-6 \\ 0+0+0 & 3+0-3 & 2+0+9 \end{bmatrix}

A(adj. A) = \begin{bmatrix} 11& 0 &0 \\ 0 & 11 &0 \\ 0 & 0 & 11 \end{bmatrix}

También,

(adj. A).A = \begin{bmatrix} 0& 3 &2 \\ -11 & 1 &8 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 &-1 &2 \\ 3 & 0 &-2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix}

(adj. A).A = \begin{bmatrix} 0+9+2& 0+0+0 &0-6+6 \\ -11+3+8 & 11+0+0 &-22-2+24 \\ 0-3+3 & 0+0+0 & 0+2+9 \end{bmatrix}

(adj. A).A = \begin{bmatrix} 11& 0 &0 \\ 0 & 11 &0 \\ 0 & 0 & 11 \end{bmatrix}

Desde arriba, se puede ver,

A(adj A) = (adj A)A = yo

Encuentre la inversa de cada una de las arrays (si existe) dadas en los ejercicios 5 a 11.

Pregunta 5. \begin{bmatrix} 2 & -2\\ 4 & 3 \end{bmatrix}

Solución: 

|A| = 6 – (-8) = 14

|A| ≠ 0, por lo que existe inversa.

UN 11 = 3

un 12 = 2

Un 21 = -4

22 = 2

adj A = \begin{bmatrix} 3 & 2\\ -4 & 2 \end{bmatrix}

A -1 = (adj. A)/|A|

A -1 = \frac{1}{14}\begin{bmatrix} 3 & 2\\ -4 & 2 \end{bmatrix}

Pregunta 6. \begin{bmatrix} -1 & 5\\ -3 & 2 \end{bmatrix}

Solución: 

un = \begin{bmatrix} -1 &5 \\ -3& 2 \end{bmatrix}

|A| = -2 + 15 = 13 ≠ 0

Por lo tanto, existe inversa.

UN 11 = 2

un 12 = 3

Un 21 = -5

Un 22 = -1

adj A = \begin{bmatrix} 2 &-5 \\ 3& -1 \end{bmatrix}

A -1 = (adj. A)/|A|

A -1 = \frac{1}{13}\begin{bmatrix} 2 &-5 \\ 3& -1 \end{bmatrix}

Pregunta 7. \begin{bmatrix} 1& 2 &3 \\ 0 & 2 &4 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}

Solución: 

un = \begin{bmatrix} 1& 2 &3 \\ 0 & 2 &4 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}

|A| = 1(10 – 0) – 2(0 – 0) + 3(0 – 0) = 10

para adjetivo A

UN 11 = 10 – 0 = 0

A12 = – ( 0 – 0) = 0

UN 13 = 0 – 0 = 0

A 21 = -(10 – 0) = -10

UN 22 = 5 – 0 = 5

A 23 = -(0 – 0) = 0

UN 31 = 8 – 6 = 2

A 32 = -(4 – 0) = -4

UN 33 = 2 – 0 = 2

adj A = \begin{bmatrix} 10& -10 &2 \\ 0 & 5 &-4 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}

A -1 = (adj. A)/|A|

A -1 = \frac{1}{10}\begin{bmatrix} 10& -10 &2 \\ 0 & 5 &-4 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}

pregunta 8 \begin{bmatrix} 1& 0 &0 \\ 3 & 3 &0 \\ 5 & 2 & -1 \end{bmatrix}

Solución: 

un = \begin{bmatrix} 1& 0 &0 \\ 3 & 3 &0 \\ 5 & 2 & -1 \end{bmatrix}

|A| = 1(-3 – 0) – 0 + 0 = -3 ≠ 0

Por lo tanto, existe inversa.

para adjetivo A

A 11 = -3 – 0 = -3

UN 12 = -(-3 – 0) = 3

A 13 = 6 – 15 = -9

A 21 = -(0 – 0) = 0

A 22 = -1 – 0 = -1

A 23 = -(2 – 0) = -2

UN 31 = 0 – 0 = 0 

A 32 = -(0 – 0) = 0

UN 33 = 3 – 0 = 3

adj A = \begin{bmatrix} -3& 0 &0 \\ 3 & -1 &0 \\ -9 & -2 & 3 \end{bmatrix}

A -1 = (adj. A)/|A|

A -1 = \frac{-1}{3}\begin{bmatrix} -3& 0 &0 \\ 3 & -1 &0 \\ -9 & -2 & 3 \end{bmatrix}

Pregunta 9. \begin{bmatrix} 2& 1 &3 \\ 4 & -1 &0 \\ -7 & 2 & 1 \end{bmatrix}

Solución: 

un = \begin{bmatrix} 2& 1 &3 \\ 4 & -1 &0 \\ -7 & 2 & 1 \end{bmatrix}

|A| = 2(-1 – 0) – 1(4 – 0) + 3(8 – 7) = -3 ≠ 0

Por lo tanto, existe inversa.

para adjetivo A

A 11 = -1 – 0 = -1 

A 12 = -(4 – 0) = -4

UN 13 = 8 – 7 = 1

A 21 = -(1 – 6) = 5

22 = 2 + 21 = 23

A 23 = -(4 + 7) = -11

UN 31 = 0 + 3 = 3

UN 32 = -(0 – 12) = 12

A 33 = -2 – 4 = -6

adj A = \begin{bmatrix} -1& 5 &3 \\ -4 & 23 &12 \\ 1 & -11 & -6 \end{bmatrix}

A -1 = (adj. A)/|A|

A -1 = \frac{-1}{3}\begin{bmatrix} -1& 5 &3 \\ -4 & 23 &12 \\ 1 & -11 & -6 \end{bmatrix}

Pregunta 10. \begin{bmatrix} 1& -1 &2 \\ 0 & 2 &-3 \\ 3 & -2 & 4 \end{bmatrix}

Solución: 

un = \begin{bmatrix} 1& -1 &2 \\ 0 & 2 &-3 \\ 3 & -2 & 4 \end{bmatrix}

|A| = 1(8 – 6) – 0 + 3(3 – 4) = -1

Ahora para adj A

A 11 = 8 – 6 = 2 

A12 = – ( 0 + 9) = -9

A 13 = 0 – 6 = -6

A 21 = -(-4 + 4) =0

A 22 = 4 – 6 = -2

A 23 = -(-2 + 3) = -1

A 31 = 3 – 4 = -1

UN 32 = -(-3 – 0) = 3

UN 33 = 2 – 0 = 2

adj A = \begin{bmatrix} 2& 0 &-1 \\ -9 & -2 &3 \\ -6 & -1 & 2 \end{bmatrix}

A -1 = (adj. A)/|A|

A -1 = -\begin{bmatrix} 2& 0 &-1 \\ -9 & -2 &3 \\ -6 & -1 & 2 \end{bmatrix}

A -1 = \begin{bmatrix} -2& 0 &1 \\ 9 & 2 &-3 \\ 6 & 1 & -2 \end{bmatrix}

Pregunta 11. \begin{bmatrix} 1& 0 &0 \\ 0 & cos\alpha &sin\alpha \\ 0 & sin\alpha & -cos\alpha \end{bmatrix}

Solución: 

un = \begin{bmatrix} 1& 0 &0 \\ 0 & cos\alpha &sin\alpha \\ 0 & sin\alpha & -cos\alpha \end{bmatrix}

|A| = 1(-cos2 – sen2) = -1

Ahora,

A 11 = -cos2 – sen2 = -1

un 12 = 0

un 13 = 0

21 = 0

A 22 = -cos

A 23 = -sen

31 = 0

A 32 = -sin

A 33 = porque

adj A = \begin{bmatrix} -1& 0 &0 \\ 0 & -cos\alpha &-sin\alpha \\ 0 & -sin\alpha & cos\alpha \end{bmatrix}

A -1 = (adj. A)/|A|

A -1 = -\begin{bmatrix} -1& 0 &0 \\ 0 & -cos\alpha &-sin\alpha \\ 0 & -sin\alpha & cos\alpha \end{bmatrix}

A -1 = \begin{bmatrix} 1& 0 &0 \\ 0 & cos\alpha &sin\alpha \\ 0 & sin\alpha & -cos\alpha \end{bmatrix}

Pregunta 12. Sean A =  \begin{bmatrix} 3 &7 \\ 2& 5 \end{bmatrix} y B =  \begin{bmatrix} 6 &8 \\ 7& 9 \end{bmatrix}, verifica que (AB) – 1 = B – 1 A – 1 

Solución: 

un = \begin{bmatrix} 3 &7 \\ 2& 5 \end{bmatrix}

|A| = 15 – 14 = 1

UN 11 = 5

Un 12 = -2

A 21 = -7

22 = 3

A -1 = (adj. A)/|A|

A -1 = \begin{bmatrix} 5 &-7 \\ -2& 3 \end{bmatrix}

B = \begin{bmatrix} 6 &8 \\ 7& 9 \end{bmatrix}

|B| = 54 – 56 = -2

adj B = \begin{bmatrix} 9 &-8 \\ -7& 6 \end{bmatrix}

B -1 = (adj B)/|B|

B -1 = \frac{-1}{2}\begin{bmatrix} 9 &-8 \\ -7& 6 \end{bmatrix}

B -1 = \begin{bmatrix} \frac{-9}{2} &4 \\ \frac{7}{2}& -3 \end{bmatrix}

Ahora,

B -1 A -1 = \begin{bmatrix} \frac{-9}{2} &4 \\ \frac{7}{2}& -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 &-7 \\ -2& 3 \end{bmatrix}

B -1 A -1 = \begin{bmatrix} \frac{-45}{2}-8 &\frac{63}{2}+12 \\ \frac{35}{2}+6& \frac{-49}{2}-9 \end{bmatrix}

B -1 A -1 = \begin{bmatrix} \frac{-61}{2} &\frac{87}{2} \\ \frac{47}{2}& \frac{-67}{2} \end{bmatrix}

Ahora AB = \begin{bmatrix} 3 &7 \\ 2& 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 &8 \\ 7& 9 \end{bmatrix}

AB = \begin{bmatrix} 18+49 &24+63 \\ 12+35& 16+45 \end{bmatrix}

AB = \begin{bmatrix} 67 &87 \\ 47& 61 \end{bmatrix}

|AB| = 67 * 61 – 87 * 47 = -2

adj (AB) = \begin{bmatrix} 61 &-87 \\ -47& 67 \end{bmatrix}

(AB) -1 = (adj. AB)/|AB|

(AB) -1 = \begin{bmatrix} 61 &-87 \\ -47& 67 \end{bmatrix}

(AB) -1 = \begin{bmatrix} \frac{-61}{2} &\frac{87}{2} \\ \frac{47}{2}& \frac{-67}{2} \end{bmatrix}

Desde arriba, puedes ver que (AB) -1 = B -1 A -1 .

Por lo tanto, está probado.

Pregunta 13. A =  \begin{bmatrix} 3 &1 \\ -1& 2 \end{bmatrix}, demuestre que A 2 – 5A + 7I = O. Por lo tanto, encuentre A -1 .

Solución: 

un = \begin{bmatrix} 3 &1 \\ -1& 2 \end{bmatrix}

un 2 = \begin{bmatrix} 3 &1 \\ -1& 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 &1 \\ -1& 2 \end{bmatrix}

un 2 = \begin{bmatrix} 9-1 &3+2\\ -3-2& -1+4 \end{bmatrix}

un 2 = \begin{bmatrix} 8 &5\\ -5&3 \end{bmatrix}

Entonces, A 2 – 5A + 7I

=  \begin{bmatrix} 8 &5\\ -5&3 \end{bmatrix} – 5 \begin{bmatrix} 8 &5\\ -5&3 \end{bmatrix} + 7\begin{bmatrix} 1 &0\\ 0&1 \end{bmatrix}

=  \begin{bmatrix} 8 &5\\ -5&3 \end{bmatrix} –  \begin{bmatrix} 15 &5 \\ -5& 10 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 &0 \\ 0& 7 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 0 &0\\ 0&0 \end{bmatrix}

=O

Por lo tanto, A 2 – 5A + 7I = O

Se puede escribir como 

AA-5A = -7I

Multiplicando por A -1 en ambos lados

AA(A -1 ) – 5AA -1 = 7IA -1

A(AA -1 ) – 5I = -7A -1

IA – 5I = -7A -1

A -1 = -(A – 5I)/7

A -1 = 1/7 ( \begin{bmatrix} 5 &0\\ 0&5 \end{bmatrix} –  \begin{bmatrix} 3 &1\\ -1&2 \end{bmatrix})

A -1 = \frac{1}{7}\begin{bmatrix} 2 &-1 \\ 1& 3 \end{bmatrix}

Pregunta 14. Para la array A = \begin{bmatrix} 3 &2 \\ 1& 1 \end{bmatrix}, encuentre los números a y b tales que A2 + aA + bI = O.

Solución: 

un = \begin{bmatrix} 3 &2 \\ 1& 1 \end{bmatrix}

un 2 = \begin{bmatrix} 3 &2 \\ 1& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 &2 \\ 1& 1 \end{bmatrix}

un 2 = \begin{bmatrix} 9+2 &6+2 \\ 3+1& 2+1 \end{bmatrix}

A2 = \begin{bmatrix} 11 &8 \\ 4& 3 \end{bmatrix}

Ahora,

A 2 – aA + bI = O

Multiplicando por A -1 en ambos lados

(AA)A -1 + aAA -1 + bIA -1 = O

A(AA -1 ) + aI + b(IA -1 ) = O

AI + aI + bA -1 = O

A + aI = -bA -1

A -1 = -(A + aI)/b

Ahora,

A -1 = (adj. A)/|A|

A -1 = \begin{bmatrix} 1 &-2 \\ -1& 3 \end{bmatrix}

Ahora, 

\begin{bmatrix} 1 &-2 \\ -1& 3 \end{bmatrix} = -1/b[\begin{bmatrix} 3 &2 \\ 1& 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a &0 \\ 0& a \end{bmatrix}]

= -1/b\begin{bmatrix} 3+a &2 \\ 1& 1+a \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} \frac{-3-a}{b} &\frac{-2}{b} \\ \frac{-1}{b}& \frac{-1-a}{b} \end{bmatrix}

Al comparar elementos obtendrás

-1/b = -1

segundo = 1

(-3 – a)/b = 1

-3 – un = 1

un = -4

Por lo tanto, a = -4 y b = 1

Pregunta 15. A =  \begin{bmatrix} 1& 1 &1 \\ 1 & 2 &-3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}, demuestre que A 3 – 6A 2 + 5A + 11I = O. Por lo tanto, encuentre A -1

Solución: 

un = \begin{bmatrix} 1& 1 &1 \\ 1 & 2 &-3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}

un 2 = \begin{bmatrix} 1& 1 &1 \\ 1 & 2 &-3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1& 1 &1 \\ 1 & 2 &-3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}

un 2 = \begin{bmatrix} 1+1+2& 1+2-1 &1-3+3 \\ 1+2-6 & 1+4+3 &1-6-9 \\ 2-1+6 & 2-2-3 & 2+3+9 \end{bmatrix}

un 2 = \begin{bmatrix} 4& 2 &1 \\ -3 & 8 &-14 \\ 7 & -3 & 14 \end{bmatrix}

A 3 = A 2 .A

un 3 = \begin{bmatrix} 4& 2 &1 \\ -3 & 8 &-14 \\ 7 & -3 & 14 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1& 1 &1 \\ 1 &2 &-3 \\ 2 &-1 & 3 \end{bmatrix}

un 3 = \begin{bmatrix} 4+2+2& 4+4-1 &4-6+3 \\ -3+8-28 &-3+16+14 &-3-24-42 \\ 7-3+28 &7-6-14 & 7+9+42 \end{bmatrix}

un 3 = \begin{bmatrix} 8& 7 &1 \\ -23 &27 &-69 \\ 32&-13 & 58 \end{bmatrix}

A 3 – 6A 2 + 5A + 11I

\begin{bmatrix} 8& 7 &1 \\ -23 &27 &-69 \\ 32&-13 & 58 \end{bmatrix} – 6 \begin{bmatrix} 4& 2 &1 \\ -3 & 8 &-14 \\ 7 & -3 & 14 \end{bmatrix} + 5 \begin{bmatrix} 1& 1 &1 \\ 1 & 2 &-3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} + 11\begin{bmatrix} 1& 0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

=  \begin{bmatrix} 8& 7 &1 \\ -23 &27 &-69 \\ 32&-13 & 58 \end{bmatrix} –  \begin{bmatrix} 24& 12 &6 \\ -18&48 &-84 \\ 42&-18 & 84 \end{bmatrix} +  \begin{bmatrix} 5& 5 &5 \\ 5&10 &-15 \\ 10&-5 & 15 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 11& 0 &0 \\ 0&11 &0 \\ 0&0 & 11 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 0& 0 &0 \\ 0&0 &0 \\ 0&0 &0 \end{bmatrix}

=O

Por lo tanto, A 3 – 6A 2 + 5A + 11I = O

Ahora,

A 3 – 6A 2 + 5A + 11I = O

(AAA)A -1 – 6(AA)A -1 + 5(AA -1 ) + 11IA -1 = O

AA(AA -1 ) – 6A(AA -1 ) + 5(AA -1 ) = -11(IA -1 )

UN 2 – 6A + 5I = -11 UN -1

A -1 = -1/11(A2 – 6A + 5I) ………….(1)

Ahora, A 2 – 6A + 5I

= \begin{bmatrix} 4& 2 &1 \\ -3 & 8 &-14 \\ 7 & -3 & 14 \end{bmatrix}  – 6 \begin{bmatrix} 1& 1 &1 \\ 1 & 2 &-3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} + 5\begin{bmatrix} 1& 0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 4& 2 &1 \\ -3 & 8 &-14 \\ 7 & -3 & 14 \end{bmatrix} –  \begin{bmatrix} 6& 6 &6 \\ 6&12 &-18 \\ 12&-6 & 18 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5& 0 &0 \\ 0&5 &0 \\ 0&0 &5 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 3& -4 &-5 \\ -9&1 &4 \\ -5&3 &1 \end{bmatrix}

De la ecuación (1) tienes 

A -1 = -1/11 \begin{bmatrix} 3& -4 &-5 \\ -9&1 &4 \\ -5&3 &1 \end{bmatrix}

Pregunta 16. A =  \begin{bmatrix} 2& -1 &1 \\ -1&2 &-1 \\ 1&-1 &2 \end{bmatrix}, verifique que A 3 – 6A 2 + 9A – 4I = O y por lo tanto fin A -1 .

Solución: 

un = \begin{bmatrix} 2& -1 &1 \\ -1&2 &-1 \\ 1&-1 &2 \end{bmatrix}

un 2 = \begin{bmatrix} 2& -1 &1 \\ -1&2 &-1 \\ 1&-1 &2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2& -1 &1 \\ -1&2 &-1 \\ 1&-1 &2 \end{bmatrix}

un 2 = \begin{bmatrix} 4+1+1& -2-2-1 &2+1+2 \\ -2-2-1&1+4+1 &-1-2-2 \\ 2+1+2&-1-2-2 &1+1+4 \end{bmatrix}

un 2 = \begin{bmatrix} 6& -5 &5 \\ -5&6 &-5 \\ 5&-5 &6 \end{bmatrix}

A 3 = A 2 .A

un 3 = \begin{bmatrix} 6& -5 &5 \\ -5&6 &-5 \\ 5&-5 &6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2& -1 &1 \\ -1&2 &-1 \\ 1&-1 &2 \end{bmatrix}

un 3 = \begin{bmatrix} 12+5+5& -6-10-5 &6+5+10 \\ -10-6-5&5+12+5 &-5-6-10 \\ 10+5+6&-5-10-6 &5+5+12 \end{bmatrix}

un 3 = \begin{bmatrix} 22& -21 &21 \\ -21&22 &-21 \\ 21&-21 &22 \end{bmatrix}

Ahora,

A 3 – 6A 2 + 9A – 4I

\begin{bmatrix} 22& -21 &21 \\ -21&22 &-21 \\ 21&-21 &22 \end{bmatrix} – 6 \begin{bmatrix} 6& -5 &5 \\ -5&6 &-5 \\ 5&-5 &6 \end{bmatrix} + 9 \begin{bmatrix} 2& -1 &1 \\ -1&2 &-1 \\ 1&-1 &2 \end{bmatrix} – 4\begin{bmatrix} 1& 0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0&0 &1 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 22& -21 &21 \\ -21&22 &-21 \\ 21&-21 &22 \end{bmatrix} –  \begin{bmatrix} 36& -30 &30 \\ -30&36 &-30 \\ 30&-30 &36 \end{bmatrix} +  \begin{bmatrix} 18& -9 &9 \\ -9&18 &-9 \\ 9&-9 &18 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 4& 0 &0 \\ 0&4 &0 \\ 0&0 &4 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 40& -30 &30 \\ -30&40 &-30 \\ 30&-30 &40 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 40& -30 &30 \\ -30&40 &-30 \\ 30&-30 &40 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 0& 0 &0 \\ 0&0 &0 \\ 0&0 &0 \end{bmatrix}

=O

Entonces, A 3 – 6A 2 + 9A – 4I = O

Ahora,

A 3 – 6A 2 + 9A – 4I = O

Multiplicando por A -1 en ambos lados

(AAA)A -1 – 6(AA)A -1 + 9AA -1 – 4IA -1 = O

AA(AA -1 ) – 6A(AA -1 ) + 9(AA -1 ) = 4(IA -1 )

IAA – 6AI +9I = 4A -1

A 2 – 6A + 9I = 4A -1

A -1 = 1/4(A2 – 6A + 9I) ……….(1)

A 2 – 6A + 9I

=  \begin{bmatrix} 6& -5 &5 \\ -5&6 &-5 \\ 5&-5 &6 \end{bmatrix} – 6 \begin{bmatrix} 2& -1 &1 \\ -1&2 &-1 \\ 1&-1 &2 \end{bmatrix} + 9\begin{bmatrix} 1& 0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0&0 &1 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 3& 1 &-1 \\ 1&3 &1 \\ -1&1 &3 \end{bmatrix}

De la ecuación (1), tienes 

A -1 = \frac{1}{4}\begin{bmatrix} 3& 1 &-1 \\ 1&3 &1 \\ -1&1 &3 \end{bmatrix}

Pregunta 17. Sea A una array no singular de orden 3 * 3. Entonces |adj A| es igual a 

(A) |A| (B) |A| 2       (C) |A| 3       (D) 3|A|

Solución: 

Sabes,

(adj. A)A = |A|I

(adj. A)A = \begin{bmatrix} |A| &0 &0 \\ 0 & |A| &0 \\ 0 &0 &|A| \end{bmatrix}

|(adj A)A| = \begin{vmatrix} |A| &0 &0 \\ 0 & |A| &0\\ 0 &0 &|A| \end{vmatrix}

|(adj A)A| = |A| 3\begin{vmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 & 1 &0\\ 0 &0 &1 \end{vmatrix}

|(adj A)A| = |A| 3 yo

|adj A| = |A| 3

Por lo tanto, la opción B es correcta.

Pregunta 18. Si A es una array invertible de orden 2, entonces det(A -1 ) es igual a 

(A) det(A) (B) 1/(det A) (C) 1 (D) 0

Solución: 

Como A es una array invertible, entonces A -1 existe.

Y A -1 = (adj A)/|A|

Supongamos que una array de 2 orden es A = \begin{bmatrix} a &b \\ c &d \end{bmatrix}

Entonces |A| = anuncio – ac

y adj A = \begin{bmatrix} d &-b \\ -c &a \end{bmatrix}

A -1 = (adj. A)/|A|

A -1 = \frac{1}{|A|}\begin{bmatrix} d &-b \\ -c &a \end{bmatrix}

A -1 = \begin{bmatrix} \frac{d}{|A|} &\frac{-b}{|A|} \\ \frac{c}{|A|}&\frac{a}{|A|} \end{bmatrix}

|A -1 | = \begin{vmatrix} \frac{d}{|A|} &\frac{-b}{|A|} \\ \frac{-c}{|A|} & \frac{a}{|A|} \end{vmatrix}

|A -1 | = \frac{1}{|A|^{2}}\begin{vmatrix} d &-b \\ -c &a \end{vmatrix}

|A -1 | = (ad – ac)/|A| 2

|A -1 | = |A|/|A| 2

|A -1 | = 1/|A|

det(A -1 ) = 1/(det A)

Por lo tanto, la opción B es correcta.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ntptiwari y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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