Clase 12 Soluciones NCERT – Matemáticas Parte I – Capítulo 5 Continuidad y diferenciabilidad – Ejercicio 5.1

Pregunta 1. Demuestra que la función f(x) = 5x – 3 es continua en x = 0, en x = – 3 y en x = 5.

Solución:

Para probar la continuidad de la función f(x) = 5x – 3, primero tenemos que calcular los límites y el valor de la función en ese punto.

Continuidad en x = 0

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (5x-3)$

= (5(0) – 3) = -3

Límite derecho = $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (5x-3)$

= (5(0) – 3)= -3

Valor de función en x = 0, f(0) = 5(0) – 3 = -3

como, $\lim_{x \to 0^-} f(x)=\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = -3$ ,

Por lo tanto, la función es continua en x = 0.

Continuidad en x = -3

Límite izquierdo = $\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^-} (5x-3)$

= (5(-3) – 3) = -18

Límite derecho = $\lim_{x \to -3^+} f(x) = \lim_{x \to -3^+} (5x-3)$

= (5(-3) – 3) = -18

Valor de la función en x = -3, f(-3) = 5(-3) – 3 = -18

Como, $\lim_{x \to -3^-} f(x)=\lim_{x \to -3^+} f(x) = f(-3) = -18$

Por tanto, la función es continua en x = -3.

Continuidad en x = 5

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^-} (5x-3)$

= (5(5) – 3) = 22

Límite derecho = $\lim_{x \to 5^+} f(x) = \lim_{x \to 5^+} (5x-3)$

= (5(5) – 3) = 22

Valor de la función en x = 5, f(5) = 5(5) – 3 = 22

Como, $\lim_{x \to 5^-} f(x)=\lim_{x \to 5^+} f(x) = f(5) = 22$

Por lo tanto, la función es continua en x = 5.

Pregunta 2. Examina la continuidad de la función f(x) = 2x ² – 1 en x = 3.

Solución:

Para probar la continuidad de la función f(x) = 2x ² – 1, primero tenemos que calcular los límites y el valor de la función en ese punto.

Continuidad en x = 3

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (2x^2-1)$

= (2(3) ² – 1) = 17

Límite derecho = $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (2x^2-1)$

= (2(3) ² – 1) = 17

Valor de función en x = 3, f(3) = 2(3) ² – 1 = 17

Como, $\lim_{x \to 3^-} f(x)=\lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3) = 17,$

Por lo tanto, la función es continua en x = 3.

Pregunta 3. Examine las siguientes funciones para la continuidad.

(a) f(x) = x – 5

Solución:

Para probar la continuidad de la función f(x) = x – 5, primero tenemos que calcular los límites y el valor de la función en ese punto.

Tomemos un número real, c

Continuidad en x = c

Límite izquierdo = $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^-} (x-5)$

= (c – 5) = c – 5

Límite derecho = $\lim_{x \to c^+} f(x) = \lim_{x \to c^+} (x-5)$

= (c – 5) = c – 5

Valor de la función en x = c, f(c) = c – 5

Como, $\lim_{x \to c^-} f(x)=\lim_{x \to c^+} f(x) = f(c) = c-5,$ para cualquier número real c

Por lo tanto, la función es continua en todo número real.

(b) $f(x) = \frac{1}{x-5}$ , x ≠ 5

Solución:

Para probar la continuidad de la función f(x) = $\frac{1}{x-5}$ , primero tenemos que calcular los límites y el valor de la función en ese punto.

Tomemos un número real, c

Continuidad en x = c y c ≠ 5

Límite izquierdo = $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^-} \frac{1}{(x-5)}\\= \frac{1}{(c-5)}$

Límite derecho = $\lim_{x \to c^+} f(x) = \lim_{x \to c^+} \frac{1}{(x-5)}\\= \frac{1}{(c-5)}$

Valor de la función en x = c, f(c) = $\frac{1}{c-5}$

Como, $\lim_{x \to c^-} f(x)=\lim_{x \to c^+} f(x) = f(c) = \frac{1}{c-5},$ para cualquier número real c

Por lo tanto, la función es continua en todo número real.

(c) $f(x) = \frac{x^2-25}{x+5}$ , x ≠ -5

Solución:

Para probar la continuidad de la función f(x) = $\frac{x^2-25}{x+5}$ , primero tenemos que calcular los límites y el valor de la función en ese punto.

Tomemos un número real, c

Continuidad en x = c y c ≠ -5

Límite izquierdo = $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^-} \frac{x^2-25}{(x+5)}\\= \lim_{x \to c^-} \frac{(x-5)(x+5)}{(x+5)}\\= \lim_{x \to c^-}x-5$

= c – 5

Límite derecho = $\lim_{x \to c^+} f(x) = \lim_{x \to c^+} \frac{x^2-25}{(x+5)}\\= \lim_{x \to c^+} \frac{(x-5)(x+5)}{(x+5)}\\= \lim_{x \to c^+}x-5$

= c – 5

Valor de la función en x = c, f(c) = $\frac{c^2-25}{(c+5)}\\= \frac{(c-5)(c+5)}{(c+5)}$

= c – 5

Como, $\lim_{x \to c^-} f(x)=\lim_{x \to c^+} f(x) = f(c) = c - 5$ , para cualquier número real c

Por lo tanto, la función es continua en todo número real.

(d) f(x) = |x – 5|

Solución:

Para probar la continuidad de la función f(x) = |x – 5|, primero tenemos que calcular los límites y el valor de la función en ese punto.

Aquí,

Como sabemos, la función de módulo funciona de manera diferente.

En |x – 5|, |x – 5| = x – 5 cuando x>5 y |x – 5| = -(x – 5) cuando x < 5

Tomemos un número real, c y busquemos tres casos de c:

Continuidad en x = c

Cuando c < 5

Límite izquierdo = $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^-} |x-5|\\= \lim_{x \to c^-} -(x-5)$

= -(c – 5)

= 5 – do

Límite derecho = $\lim_{x \to c^+} f(x) = \lim_{x \to c^+} |x-5|\\= \lim_{x \to c^+} -(x-5)$

= -(c – 5)

= 5 – do

Valor de la función en x = c, f(c) = |c – 5| = 5 – do

Como, $\lim_{x \to c^-} f(x)=\lim_{x \to c^+} f(x) = f(c) = 5-c,$

Por tanto, la función es continua en todo número real c, donde c<5.

Cuando c > 5

Límite izquierdo = $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^-} |x-5|\\= \lim_{x \to c^-} (x-5)$

= (c – 5)

Límite derecho = $\lim_{x \to c^+} f(x) = \lim_{x \to c^+} |x-5|\\= \lim_{x \to c^+} (x-5)$

= (c – 5)

Valor de la función en x = c, f(c) = |c – 5| = c – 5

como, $\lim_{x \to c^-} f(x)=\lim_{x \to c^+} f(x) = f(c) = c-5$ ,

Por tanto, la función es continua en todo número real c, donde c > 5.

Cuando c = 5

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^-} |x-5|\\= \lim_{x \to 5^-} |5-5|\\= 0$

Límite derecho = $\lim_{x \to 5^+} f(x) = \lim_{x \to 5^+} |x-5|\\= \lim_{x \to 5^+} |5-5|\\= 0$

Valor de la función en x = c, f(c) = |5 – 5| = 0

Como, $\lim_{x \to 5^-} f(x)=\lim_{x \to 5^+} f(x) = f(5) = 0,$

Por tanto, la función es continua en todo número real c, donde c = 5.

Por lo tanto, podemos concluir que la función de módulo es continua en todo número real.

Pregunta 4. Demuestre que la función f(x) = x ⁿ es continua en x = n, donde n es un número entero positivo.

Solución:

Para probar la continuidad de la función f(x) = x ⁿ , primero tenemos que calcular los límites y el valor de la función en ese punto.

Continuidad en x = n

Límite izquierdo = $\lim_{x \to n^-} f(x) = \lim_{x \to n^-} (x^n)$

= norte ^norte

Límite derecho = $\lim_{x \to n^+} f(x) = \lim_{x \to n^+} (x^n)$

= norte ^norte

Valor de la función en x = n, f(n) = n ⁿ

Como, $\lim_{x \to n^-} f(x)=\lim_{x \to n^+} f(x) = f(n) = n^n,$

Por tanto, la función es continua en x = n.

Pregunta 5. ¿La función f está definida por

$f(x)= \begin{cases} x, \hspace{0.2cm}x\leq1\\ 5,\hspace{0.2cm}x>1 \end{cases}$

continua en x = 0? en x = 1? en x = 2?

Para probar la continuidad de la función f(x), primero tenemos que calcular los límites y el valor de la función en ese punto.

Continuidad en x = 0

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x)\\= 0$

Límite derecho = $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x)\\= 0$

Valor de función en x = 0, f(0) = 0

Como, $\lim_{x \to 0^-} f(x)=\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0,$

Por lo tanto, la función es continua en x = 0.

Continuidad en x = 1

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x)\\= 1$

Límite derecho = $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (5)\\= 5$

Valor de función en x = 1, f(1) = 1

como, $\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$ ,

Por tanto, la función no es continua en x = 1.

Continuidad en x = 2

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (5)\\= 5$

Límite derecho = $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (5)\\= 5$

Valor de la función en x = 2, f(2) = 5

como, $\lim_{x \to 2^-} f(x)=\lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 5$ ,

Por lo tanto, la función es continua en x = 2.

Encuentre todos los puntos de discontinuidad de f, donde f está definida por

Pregunta 6. $f(x)= \begin{cases} 2x+3, \hspace{0.2cm}x\leq2\\ 2x-3,\hspace{0.2cm}x>2 \end{cases}$

Solución:

Aquí, como se da que

Para x ≤ 2, f(x) = 2x + 3, que es un polinomio

Como los polinomios son continuos, entonces f(x) es continuo x ∈ (-∞, 2)

Ahora, para x > 2, f(x) = 2x – 3, que es un polinomio

Como los polinomios son continuos, entonces f(x) es continua x ∈ (2, ∞)

Ahora, como f(x) es continua en x ∈ (-∞, 2) U (2, ∞) = R – {2}

Verifiquemos la continuidad en x = 2,

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (2x+3)$

= (2(2) + 3)

= 7

Límite derecho = $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x-3)$

= (2(2) – 3)

= 1

Valor de función en x = 2, f(2) = 2(3) + 3 = 7

Como, $\lim_{x \to 2^-} f(x) \neq \lim_{x \to 2^+} f(x)$

Por lo tanto, la función es discontinua en solo x = 2.

Pregunta 7. $f(x)= \begin{cases} |x|+3, \hspace{0.2cm}x\leq-3\\ -2x,\hspace{0.2cm}-3<x<3\\ 6x+2,\hspace{0.2cm}x\geq3 \end{cases}$

Solución:

Aquí, como se da que

Para x ≤ -3, f(x) = |x| + 3,

Como sabemos, la función de módulo funciona de manera diferente.

En |x|, |x – 0| = x cuando x > 0 y |x – 0| = -x cuando x < 0

f(x) = -x + 3, que es un polinomio

Como los polinomios son continuos, entonces f(x) es continuo x ∈ (-∞, -3)

Para -3 < x < 3, f(x) = -2x, que es un polinomio

Como los polinomios son continuos, entonces f(x) es continua x ∈ (-3, 3)

Ahora, para x ≥ 3, f(x) = 6x + 2, que es un polinomio

Como los polinomios son continuos, entonces f(x) es continua x ∈ (3, ∞)

Entonces ahora, como f(x) es continua en x ∈ (-∞, -3) U(-3, 3) U (3, ∞) = R – {-3, 3}

Verifiquemos la continuidad en x = -3,

Límite izquierdo = $\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^-} (|x|+3)\\= \lim_{x \to -3^-} (-x+3)$

= (-(-3) + 3)

= 6

Límite derecho = $\lim_{x \to -3^+} f(x) = \lim_{x \to -3^+} (-2x)$

= (-2(-3))

= 6

Valor de la función en x = -3, f(-3) = |-3| + 3 = 3 + 3 = 6

Como, $\lim_{x \to -3^-} f(x)=\lim_{x \to -3^+} f(x) = f(-3) = 6,$

Por tanto, la función es continua en x = -3.

Ahora, comprobemos la continuidad en x = 3,

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (-2x)$

= (-2(3))

= -6

Límite derecho = $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (6x+2)$

= (6(3) + 2)

= 20

Valor de función en x = 3, f(3) = 6(3) + 2 = 20

Como, $\lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x),$

Por lo tanto, la función es discontinua solo en x = 3.

pregunta 8 $f(x)= \begin{cases} \frac{|x|}{x}, \hspace{0.2cm}x\neq0\\ 0,\hspace{0.2cm}x=0 \end{cases}$

Solución:

Como sabemos, la función de módulo funciona de manera diferente.

En |x|, |x – 0| = x cuando x > 0 y |x – 0|= -x cuando x < 0

Cuando x < 0 , f(x) = $\frac{-x}{x}$ = -1, que es una constante

Como las funciones constantes son continuas, entonces f(x) es continua x ∈ (-∞, 0).

Cuando x > 0 , f(x) = $\frac{x}{x}$ = 1, que es una constante

Como las funciones constantes son continuas, entonces f(x) es continua x ∈ (0, ∞).

Ahora, como f(x) es continua en x ∈ (-∞, 0) U(0, ∞) = R – {0}

Verifiquemos la continuidad en x = 0,

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x}\\= \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x}\\= -1$

Límite derecho = $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x}\\= \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x}\\= 1$

Valor de función en x = 0, f(0) = 0

Como, $\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)$

Por lo tanto, la función es discontinua solo en x = 0.

Pregunta 9. $f(x)= \begin{cases} \frac{x}{|x|}, \hspace{0.2cm}x<0\\ -1,\hspace{0.2cm}x\geq0 \end{cases}$

Solución:

Como sabemos, la función de módulo funciona de manera diferente.

En |x|, |x – 0| = x cuando x > 0 y |x – 0| = -x cuando x < 0

Cuando x < 0 , f(x) = $\frac{x}{-x}$ = -1, que es una constante

Como las funciones constantes son continuas, entonces f(x) es continua x ∈ (-∞, 0).

Cuando x > 0, f(x) = -1, que es una constante

Como las funciones constantes son continuas, entonces f(x) es continua x ∈ (0, ∞).

Ahora, como f(x) es continua en x ∈ (-∞, 0) U(0, ∞) = R – {0}

Verifiquemos la continuidad en x = 0,

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{|x|}\\= \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{-x}\\= -1$

Límite derecho = $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (-1)\\= -1$

Valor de la función en x = 0, f(0) = -1

Como, $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = -1$

Por lo tanto, la función es continua en x = 0.

Entonces, concluimos que f(x) es continua en cualquier número real. Por lo tanto, no hay punto de discontinuidad.

Pregunta 10. $f(x)= \begin{cases} x+1, \hspace{0.2cm}x\geq1\\ x^2+1,\hspace{0.2cm}x<1 \end{cases}$

Solución:

Aquí,

Cuando x ≥1, f(x) = x + 1, que es un polinomio

Como las funciones polinomiales son continuas, entonces f(x) es continua x ∈ (1, ∞)

Cuando x < 1, f(x) = x ² + 1, que es un polinomio

Como las funciones polinómicas son continuas, entonces f(x) es continua x ∈ (-∞, 1)

Entonces ahora, como f(x) es continua en x ∈ (-∞, 1) U (1, ∞) = R – {1}

Verifiquemos la continuidad en x = 1,

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2+1)$

= 1 + 1

= 2

Límite derecho = $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x+1)$

= 1 + 1

= 2

Valor de función en x = 1, f(1) = 1 + 1 = 2

Como, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 2$

Por lo tanto, la función es continua en x = 1.

Entonces, concluimos que f(x) es continua en cualquier número real.

Pregunta 11. $f(x)= \begin{cases} x^3-3, \hspace{0.2cm}x\leq2\\ x^2+1,\hspace{0.2cm}x>2 \end{cases}$

Solución:

Aquí,

Cuando x ≤ 2, f(x) = x ³ + 3, que es un polinomio

Como las funciones polinómicas son continuas, entonces f(x) es continua x ∈ (-∞, 2)

Cuando x > 2, f(x) = x ² + 1, que es un polinomio

Como las funciones polinomiales son continuas, entonces f(x) es continua x ∈ (2, ∞)

Ahora, como f(x) es continua en x ∈ (-∞, 2) U(2, ∞) = R – {2}

Verifiquemos la continuidad en x = 2,

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 2^-} f(x)= \lim_{x \to 2^-} (x^3-3)\\= 8-3\\=5$

Límite derecho = $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2+1)\\= 4+1\\=5$

Valor de función en x = 2, f(2) = 8 – 3 = 5

Como, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 5$

Por lo tanto, la función es continua en x = 2.

Entonces, concluimos que f(x) es continua en cualquier número real.

Pregunta 12. $f(x)= \begin{cases} x^{10}-1, \hspace{0.2cm}x\leq1\\ x^2,\hspace{0.2cm}x>1 \end{cases}$

Solución:

Aquí,

Cuando x ≤ 1, f(x) = x ¹⁰ – 1, que es un polinomio

Como las funciones polinómicas son continuas, entonces f(x) es continua x ∈ (-∞, 1)

Cuando x >1, f(x) = x ² , que es un polinomio

Como las funciones polinomiales son continuas, entonces f(x) es continua x ∈ (1, ∞)

Entonces ahora, como f(x) es continua en x ∈ (-∞, 1) U (1, ∞) = R – {1}

Verifiquemos la continuidad en x = 1,

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^{10}-1)$

= 1 – 1

= 0

Límite derecho = $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2)\\= 1$

Valor de la función en x = 1, f(1) = 1 – 1 = 0

Como, $\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$

Por lo tanto, la función es discontinua en x = 1.

Pregunta 13. ¿La función está definida por

$f(x)= \begin{cases} x+5, \hspace{0.2cm}x\leq1\\ x-5,\hspace{0.2cm}x>1 \end{cases}$

una función continua?

Solución:

Aquí, como se da que

Para x ≤ 1, f(x) = x + 5, que es un polinomio

Como los polinomios son continuos, entonces f(x) es continuo x ∈ (-∞, 1)

Ahora, para x > 1, f(x) = x – 5, que es un polinomio

Como los polinomios son continuos, entonces f(x) es continua x ∈ (1, ∞)

Entonces ahora, como f(x) es continua en x ∈ (-∞, 1) U (1, ∞) = R – {1}

Verifiquemos la continuidad en x = 1,

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x+5)$

= (1 + 5)

= 6

Límite derecho = $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x-5)$

= (1 – 5)

= -4

Valor de función en x = 1, f(1) = 5 + 1 = 6

Como, $\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$

Por lo tanto, la función es continua solo para R – {1}.

Discuta la continuidad de la función f, donde f está definida por

Pregunta 14. $f(x)= \begin{cases} 3, \hspace{0.2cm}0\leq x \leq1\\ 4,\hspace{0.2cm}1<x<3 \\ 5,\hspace{0.2cm}3\leq x \leq10 \end{cases}$

Solución:

Aquí, como se da que

Para 0 ≤ x ≤ 1, f(x) = 3, que es una constante

Como las constantes son continuas, entonces f(x) es continua x ∈ (0, 1)

Ahora, para 1 < x < 3, f(x) = 4, que es una constante

Como las constantes son continuas, entonces f(x) es continua x ∈ (1, 3)

Para 3 ≤ x ≤ 10, f(x) = 5, que es una constante

Como las constantes son continuas, entonces f(x) es continua x ∈ (3, 10)

Ahora, como f(x) es continua en x ∈ (0, 1) U (1, 3) U (3, 10) = (0, 10) – {1, 3}

Verifiquemos la continuidad en x = 1,

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} 3\\= 3$

Límite derecho = $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} 4\\= 4$

Valor de función en x = 1, f(1) = 3

Como, $\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$

Por lo tanto, la función es discontinua en x = 1.

Ahora, comprobemos la continuidad en x = 3,

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} 4\\= 4$

Límite derecho = $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} 5\\= 5$

Valor de la función en x = 3, f(3) = 4

Como, $\lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x)$

Por lo tanto, la función es discontinua en x = 3.

Entonces, concluyendo los resultados, obtenemos

Por lo tanto, la función f(x) es discontinua en x = 1 y x = 3.

Pregunta 15. $f(x)= \begin{cases} 2x, \hspace{0.2cm}x<0\\ 0,\hspace{0.2cm}0\leq x\leq1 \\ 4x,\hspace{0.2cm}x>1 \end{cases}$

Solución:

Aquí, como se da que

Para x < 0, f(x) = 2x, que es un polinomio

Como los polinomios son continuos, entonces f(x) es continuo x ∈ (-∞, 0)

Ahora, para 0 ≤ x ≤ 1, f(x) = 0, que es una constante

Como constantes son continuas, entonces f(x) es continua x ∈ (0, 1)

Para x > 1, f(x) = 4x, que es un polinomio

Como los polinomios son continuos, entonces f(x) es continua x ∈ (1, ∞)

Ahora, como f(x) es continua en x ∈ (-∞, 0) U (0, 1) U (1, ∞)= R – {0, 1}

Verifiquemos la continuidad en x = 0,

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} 2x\\=2(0)\\ = 0$

Límite derecho = $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 0\\= 0$

Valor de función en x = 0, f(0) = 0

Como, $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$

Por lo tanto, la función es continua en x = 0.

Ahora, comprobemos la continuidad en x = 1,

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} 0\\= 0$

Límite derecho = $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} 4x\\= \lim_{x \to 1^+} 4(1)\\= 4$

Valor de función en x = 1, f(1) = 0

Como, $\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$

Por lo tanto, la función es discontinua en x = 1.

Por lo tanto, la función es continua solo para R – {1}

Pregunta 16. $f(x)= \begin{cases} -2, \hspace{0.2cm}x \leq-1\\ 2x,\hspace{0.2cm}-1<x<1 \\ 2,\hspace{0.2cm}x>1 \end{cases}$

Solución:

Aquí, como se da que

Para x ≤ -1, f(x) = -2, que es una constante

Como constantes son continuas, por lo tanto f(x) es continua x ∈ (-∞, -1)

Ahora, para -1 ≤ x ≤ 1, f(x) = 2x, que es un polinomio

Como los polinomios son continuos, entonces f(x) es continuo x ∈ (-1, 1)

Para x > 1, f(x) = 2, que es una constante

Como constantes son continuas, luego f(x) es continua x ∈ (1, ∞)

Ahora, como f(x) es continua en x ∈ (-∞, -1) U (-1, 1) U (1, ∞)= R – {-1, 1}

Verifiquemos la continuidad en x = -1,

Límite izquierdo = $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (-2)\\=-2$

Límite derecho = $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (2x)\\= (2(-1))\\= -2$

Valor de función en x = -1, f(-1) = -2

Como, $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) = f(-1) = -2$

Por tanto, la función es continua en x = -1.

Ahora, comprobemos la continuidad en x = 1,

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x)\\= (2(1))\\= 2$

Límite derecho = $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2)\\= 2$

Valor de función en x = 1, f(1) = 2(1) = 2

Como, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 2$

Por lo tanto, la función es continua en x = 1.

Por lo tanto, la función es continua para cualquier número real.

Pregunta 17. Encuentra la relación entre a y b para que la función f definida por

$f(x)= \begin{cases} ax+1, \hspace{0.2cm}x \leq3\\ bx+3,\hspace{0.2cm}x>3 \end{cases}$

es continua en x = 3.

Solución:

Como, se da que la función es continua en x = 3.

Debe satisfacer lo siguiente en x = 3:

$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3)$

Continuidad en x = 3,

Límite izquierdo = $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (ax+1)$

= (a(3) + 1)

= 3a + 1

Límite derecho = $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (bx+3)$

= (b(3) + 3)

= 3b + 3

Valor de la función en x = 3, f(3) = a(3) + 1 = 3a + 1

Igualando ambos límites, obtenemos

3a + 1 = 3b + 3

3(a – b) = 2

a-b = 2/3

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por adi1212 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones NCERT – Matemáticas Parte I – Capítulo 5 Continuidad y diferenciabilidad – Ejercicio 5.1 | Serie 1

Pregunta 1. Demuestra que la función f(x) = 5x – 3 es continua en x = 0, en x = – 3 y en x = 5.

Pregunta 2. Examina la continuidad de la función f(x) = 2x ² – 1 en x = 3.

Pregunta 3. Examine las siguientes funciones para la continuidad.

(a) f(x) = x – 5

(b) $f(x) = \frac{1}{x-5}$ , x ≠ 5

(c) $f(x) = \frac{x^2-25}{x+5}$ , x ≠ -5

(d) f(x) = |x – 5|

Pregunta 4. Demuestre que la función f(x) = x ⁿ es continua en x = n, donde n es un número entero positivo.

Pregunta 5. ¿La función f está definida por

$f(x)= \begin{cases} x, \hspace{0.2cm}x\leq1\\ 5,\hspace{0.2cm}x>1 \end{cases}$

continua en x = 0? en x = 1? en x = 2?

Encuentre todos los puntos de discontinuidad de f, donde f está definida por

Pregunta 6. $f(x)= \begin{cases} 2x+3, \hspace{0.2cm}x\leq2\\ 2x-3,\hspace{0.2cm}x>2 \end{cases}$

Pregunta 7. $f(x)= \begin{cases} |x|+3, \hspace{0.2cm}x\leq-3\\ -2x,\hspace{0.2cm}-3<x<3\\ 6x+2,\hspace{0.2cm}x\geq3 \end{cases}$

pregunta 8 $f(x)= \begin{cases} \frac{|x|}{x}, \hspace{0.2cm}x\neq0\\ 0,\hspace{0.2cm}x=0 \end{cases}$

Pregunta 9. $f(x)= \begin{cases} \frac{x}{|x|}, \hspace{0.2cm}x<0\\ -1,\hspace{0.2cm}x\geq0 \end{cases}$

Pregunta 10. $f(x)= \begin{cases} x+1, \hspace{0.2cm}x\geq1\\ x^2+1,\hspace{0.2cm}x<1 \end{cases}$

Pregunta 11. $f(x)= \begin{cases} x^3-3, \hspace{0.2cm}x\leq2\\ x^2+1,\hspace{0.2cm}x>2 \end{cases}$

Pregunta 12. $f(x)= \begin{cases} x^{10}-1, \hspace{0.2cm}x\leq1\\ x^2,\hspace{0.2cm}x>1 \end{cases}$

Pregunta 13. ¿La función está definida por

$f(x)= \begin{cases} x+5, \hspace{0.2cm}x\leq1\\ x-5,\hspace{0.2cm}x>1 \end{cases}$

una función continua?

Discuta la continuidad de la función f, donde f está definida por

Pregunta 14. $f(x)= \begin{cases} 3, \hspace{0.2cm}0\leq x \leq1\\ 4,\hspace{0.2cm}1<x<3 \\ 5,\hspace{0.2cm}3\leq x \leq10 \end{cases}$

Pregunta 15. $f(x)= \begin{cases} 2x, \hspace{0.2cm}x<0\\ 0,\hspace{0.2cm}0\leq x\leq1 \\ 4x,\hspace{0.2cm}x>1 \end{cases}$

Pregunta 16. $f(x)= \begin{cases} -2, \hspace{0.2cm}x \leq-1\\ 2x,\hspace{0.2cm}-1<x<1 \\ 2,\hspace{0.2cm}x>1 \end{cases}$

Pregunta 17. Encuentra la relación entre a y b para que la función f definida por

$f(x)= \begin{cases} ax+1, \hspace{0.2cm}x \leq3\\ bx+3,\hspace{0.2cm}x>3 \end{cases}$

es continua en x = 3.

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Pregunta 1. Demuestra que la función f(x) = 5x – 3 es continua en x = 0, en x = – 3 y en x = 5.

Pregunta 2. Examina la continuidad de la función f(x) = 2x 2 – 1 en x = 3.

Pregunta 3. Examine las siguientes funciones para la continuidad.

(a) f(x) = x – 5

(b) , x ≠ 5

(c) , x ≠ -5

(d) f(x) = |x – 5|

Pregunta 4. Demuestre que la función f(x) = x n es continua en x = n, donde n es un número entero positivo.

Pregunta 5. ¿La función f está definida por

continua en x = 0? en x = 1? en x = 2?

Encuentre todos los puntos de discontinuidad de f, donde f está definida por

Pregunta 6.

Pregunta 7.

pregunta 8

Pregunta 9.

Pregunta 10.

Pregunta 11.

Pregunta 12.

Pregunta 13. ¿La función está definida por

una función continua?

Discuta la continuidad de la función f, donde f está definida por

Pregunta 14.

Pregunta 15.

Pregunta 16.

Pregunta 17. Encuentra la relación entre a y b para que la función f definida por

es continua en x = 3.

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Pregunta 2. Examina la continuidad de la función f(x) = 2x ² – 1 en x = 3.

(b) $f(x) = \frac{1}{x-5}$ , x ≠ 5

(c) $f(x) = \frac{x^2-25}{x+5}$ , x ≠ -5

Pregunta 4. Demuestre que la función f(x) = x ⁿ es continua en x = n, donde n es un número entero positivo.

Pregunta 6. $f(x)= \begin{cases} 2x+3, \hspace{0.2cm}x\leq2\\ 2x-3,\hspace{0.2cm}x>2 \end{cases}$

Pregunta 7. $f(x)= \begin{cases} |x|+3, \hspace{0.2cm}x\leq-3\\ -2x,\hspace{0.2cm}-3<x<3\\ 6x+2,\hspace{0.2cm}x\geq3 \end{cases}$

pregunta 8 $f(x)= \begin{cases} \frac{|x|}{x}, \hspace{0.2cm}x\neq0\\ 0,\hspace{0.2cm}x=0 \end{cases}$

Pregunta 9. $f(x)= \begin{cases} \frac{x}{|x|}, \hspace{0.2cm}x<0\\ -1,\hspace{0.2cm}x\geq0 \end{cases}$

Pregunta 10. $f(x)= \begin{cases} x+1, \hspace{0.2cm}x\geq1\\ x^2+1,\hspace{0.2cm}x<1 \end{cases}$

Pregunta 11. $f(x)= \begin{cases} x^3-3, \hspace{0.2cm}x\leq2\\ x^2+1,\hspace{0.2cm}x>2 \end{cases}$

Pregunta 12. $f(x)= \begin{cases} x^{10}-1, \hspace{0.2cm}x\leq1\\ x^2,\hspace{0.2cm}x>1 \end{cases}$

Pregunta 14. $f(x)= \begin{cases} 3, \hspace{0.2cm}0\leq x \leq1\\ 4,\hspace{0.2cm}1<x<3 \\ 5,\hspace{0.2cm}3\leq x \leq10 \end{cases}$

Pregunta 15. $f(x)= \begin{cases} 2x, \hspace{0.2cm}x<0\\ 0,\hspace{0.2cm}0\leq x\leq1 \\ 4x,\hspace{0.2cm}x>1 \end{cases}$

Pregunta 16. $f(x)= \begin{cases} -2, \hspace{0.2cm}x \leq-1\\ 2x,\hspace{0.2cm}-1<x<1 \\ 2,\hspace{0.2cm}x>1 \end{cases}$