Clase 12 Soluciones NCERT – Matemáticas Parte I – Capítulo 5 Continuidad y diferenciabilidad – Ejercicio 5.2

 Diferenciar la función con respecto a x en las Preguntas 1 a 8

Pregunta 1. Sin(x 2 + 5)

Solución: 

y = sen(x 2 + 5)

\frac{dy}{dx} = \frac{d(sin(x^2+5)}{dx}

= cos(x 2 + 5) × \frac{d(x^2+5)}{dx}

= cos(x 2 + 5) × (2x)

dy/dx = 2xcos(x 2 + 5)

Pregunta 2. cos(sen x)

Solución:

y = cos(sen x)

\frac{dy}{dx} = \frac{d\cos(sen x)}{dx}

 = -sen(sen x) × \frac{d\senx}{dx}

= -sen(sen x)cos x  

Pregunta 3. sen(ax + b)

Solución:

y = sen(ax + b)

\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}sin(ax+b)

=cos(ax+b)\frac{d}{dy}(ax+b)

= a cos(ax + b)  

 Pregunta 4. Sec(tan(√x)

Solución:

y = seg(tan√x)

\frac{dy}{dx} = \frac{d \ (sec(tan√x))  }{dx}    

= seg(tan √x) × tan(√x) × \frac{d \ (tan√x)  }{dx}

= seg (tan √x) × tan (tan √x) × sec2√x × \frac{d \ (√x)}{dx}    

= sec(tan√x)tan(tan√x)(sec2√x)1/(2√x)

= 1/(2√x) × seg(tan√x)tan(tan√x)(sec2√x)

Pregunta 5. \frac{sin(ax+b)}{cos(cx+d)}

Solución:

y = \frac{sin(ax+b)}{cos(cx+d)}

\frac{dy}{dx} = \frac{d (\frac{sin(ax+b)}{cos(cx+d)})}{dx}

=\frac{cos(cx+d)\frac{d}{dx}sin(ax+b)-sin(ax+b)\frac{d}{dx}cos(cx+d)}{(cos(cx+d))}

=\frac{cos(cx+d)cos(ax+b)(a)+sin(ax+b)sin(cx+d)(c)}{cos^2(cx+b)}

Pregunta 6. cos x 3 .sen 2 (x 5 )

Solución:

y = cos x 3 .sen 2 (x 5 )

\frac{dy}{dx} = cosx^3\frac{d(sin^2(x^5)}{dx}+sin^2(x^5)\frac{d(cosx^3)}{dx}

cosx^3.2sin(x^5)\frac{d(sin(x^5)}{dx}+sin^2(x^5)(-sinx^3)\frac{d(x^3)}{dx}

= cos x 3 .2sen(x 5 ) .cos(x 5 (5x 4 )(5x 4 ) – sen 2 (x 5 ).sen x 3 .3x 2

= 10x 4 cos x 3 sen(x 5 )cos(x 5 ) – 3x 2 sen 2 (x 5 )sen x 3

Pregunta 7. 2√(cos(x 2 ))

Solución:

y = 2√(cos(x 2 ))

\frac{dy}{dx}   = \frac{\ d(2\sqrt{cos(x2})}{dx}

= 2\frac{\ d(\sqrt{cos(x^2})}{dx}

2\frac{1}{2\sqrt {cotx^2}}.\frac{d(cotx^2)}{dx}

\frac{1}{\sqrt {cot(x^2)}}.(-cosec^2(x^2)).\frac{d(x^2)}{dx}

\frac{1}{\sqrt {cot(x^2)}}.(-cosec^2(x^2)).2x

= \frac{-2xcosec^2x^2}{\sqrt{cot(x^2)}}

\frac{-2x}{sin^2(x^2).\sqrt{\frac{cos(x^2)}{sin(x^2)}}}

 \frac{-2x}{sin(x^2) \times sin(x^2)\sqrt{\frac{cos(x^2)}{sin(x^2)}}}

\frac{-2x}{sin(x^2) \times \sqrt{sin(x^2) \times \frac{cos(x^2)}{sin(x^2)}}}

\frac{-2x}{sin(x^2) \times \sqrt{cos(x^2) \times {sin(x^2)}}}

\frac{-2x}{sin(x^2) \times \sqrt{\frac{2}{2} \times cos(x^2) \times {sin(x^2)}}}

\frac{-2\sqrt{2}x}{sin(x^2) \times \sqrt{2 \times cos(x^2) \times {sin(x^2)}}}

\frac{-2\sqrt{2}x}{sin(x^2) \times \sqrt{sin(2x^2)}}

Pregunta 8. coseno (√x)

Solución:

y = coseno (√x)

dy/dx = -sen√x\frac{d\sqrt{x}}{dx}

= -sin\sqrt{x}\frac{1}{2}(x)^\frac{-1}{2}

=\frac{-sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}

Pregunta 9. Demostrar que la función f dada por f(x) = |x – 1|, x ∈ R no es diferenciable en x = 1.

Solución:

RHD=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}                                                                

\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}                                                                 

= \lim_{h\to 0}\frac{((1+h)-1)-(1-1)}{h}      

\lim_{h\to 0}\frac{h-0}{h}   

=\lim_{h\to 0}(1)                                                        

= +1                                                                                                            

 LHD=\lim_{h\to 0}\frac{f(x)-f(x-h)}{h}     

\lim_{h\to 0}\frac{(1)-f(1-h)}{h}

\lim_{h\to 0}\frac{(1-1)-(-(1-h)-1)}{h}

\lim_{h\to 0}\frac{0-h}{h}

\lim_{h\to 0}(-1)

= -1   

LHD ≠ RHD  

Por lo tanto, f(x) no es diferenciable en x = 1  

Pregunta 10. Demostrar que la función entera mayor definida por f(x) = [x], 0 < x < 3 no es diferenciable en x = 1 y x = 2.

Solución:

Dado: f(x) = [x], 0 < x < 3

LHS:

f'(1) = \lim_{h\to0} \frac{f(x - h)-f(x)}{-h}

\lim_{h\to0} \frac{f(1 - h)-1}{-h}

=\lim_{h\to0} \frac{0-1}{-h}

= ∞

lado derecho:

f'(1) = \lim_{h\to0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

\lim_{h\to0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h}

\lim_{h\to0} \frac{1-1}{h}

\lim_{h\to0} \frac{0}{h}

= 0

IZQ ≠ DERECHO

Entonces, la f(x) = [x] dada no es diferenciable en x = 1. 

De manera similar, la f(x) = [x] dada no es diferenciable en x = 2. 

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ysachin2314 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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