Clase 12 Soluciones NCERT – Matemáticas Parte I – Capítulo 5 Continuidad y diferenciabilidad – Ejercicio 5.5

Derive las funciones dadas en las preguntas 1 a 10 con respecto a x.

Pregunta 1. cos x.cos2x.cos3x

Solución:

Consideremos y = cos x.cos2x.cos3x

Ahora tomando registro en ambos lados, obtenemos

log y = log(cos x.cos2x.cos3x)

log y = log(cos x) + log(cos 2x) + log (cos 3x)

Ahora, al derivar wrt x, obtenemos

$\frac{1}{y}.\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos x}.\frac{d}{dx}\cos x+\frac{1}{\cos2x}.\frac{d}{dx}\cos2x+\frac{1}{\cos3x}.\frac{d}{dx}\cos3x$

$\frac{1}{y}.\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos x}.(-\sin x)+\frac{1}{\cos 2x}(-\sin2x).\frac{d}{dx}.2x+\frac{1}{\cos3x}.(-\sin3x).\frac{d}{dx}3x$

$\frac{1}{y}.\frac{dy}{dx}=\frac{-\sin x}{\cos x}-\frac{2\sin2x}{\cos2x}-\frac{3\sin 3x}{\cos3x}$

$\frac{dy}{dx}$ = -y(tan x + 2tan 2x + 3 tan 3x)

$\frac{dy}{dx}$ = -(cos x. cos 2x. cos 3x)(tan x + 2tan 2x + 3tan 3x)

Pregunta 2. $\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}$

Solución:

Consideremos y = $\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}$

Ahora tomando registro en ambos lados, obtenemos

registro y = $\log (\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)})^{\frac{1}{2}}$

log y = $\frac{1}{2}$ (log(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5))

log y = $\frac{1}{2}$ (log(x – 1) + log(x – 2) – log(x – 3) – log(x – 4) – log(x – 5))

Ahora, al derivar wrt x, obtenemos

$\frac{1}{y}.\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}[(\frac{1}{x-1})+(\frac{1}{x-2})+(\frac{1}{x-3})+(\frac{1}{x-4})+(\frac{1}{x-5})]$

$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{2}[(\frac{1}{x-1})+(\frac{1}{x-2})+(\frac{1}{x-3})+(\frac{1}{x-4})+(\frac{1}{x-5})]$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}[(\frac{1}{x-1})+(\frac{1}{x-2})-(\frac{1}{x-3})-(\frac{1}{x-4})-(\frac{1}{x-5})]$

Pregunta 3. (log x) ^{cos x}

Solución:

Consideremos y = (log x) ^{cos x}

Ahora tomando registro en ambos lados, obtenemos

log y = log((log x) ^{cos x} )

log y = cos x(log(log x))

Ahora, al derivar wrt x, obtenemos

$\frac{1}{y}.\frac{dy}{dx}=\cos x(\frac{1}{\log x}).\frac{d}{dx}\log x+\log(\log x).(-\sin x)$

$\frac{1}{y}.\frac{dy}{dx}=\frac{\cos x}{\log x}.\frac{1}{x}-\sin x \log(\log x)$

$\frac{dy}{dx}=y(\frac{\cos x}{\log x}.\frac{1}{x}-\sin x\log (\log x))$

$\frac{dy}{dx}=(\log x)^{\cos x}(\frac{\cos x}{\log x}.\frac{1}{x}-\sin x \log(\log x))$

Pregunta 4. x ^x – 2 ^{sen x}

Solución:

Dado: y = x ^x – 2 ^{sen x}

Consideremos y = u – v

Donde, u = x ^x y v = 2 ^{sen x}

Entonces, dy/dx = du/dx – dv/dx ………(1)

Entonces primero tomamos u = x ^x

Al tomar el registro en ambos lados, obtenemos

registro u = registro x ^x

log u = x log x

Ahora, al derivar wrt x, obtenemos

$\frac{1}{u}\frac{du}{dx}=x.(\frac{1}{x})+\log x.1$

du/dx = u(1 + log x)

du/dx = x ^x (1 + log x) ………(2)

Ahora tomamos v = 2 ^{sen x}

Al tomar el registro en ambos lados, obtenemos

log v = log (2 ^senx )

log v = sen x log2

Ahora, al derivar wrt x, obtenemos

$\frac{1}{v}.\frac{dv}{dx}=\log2(\cos x)$

dv/dx = v(log2cos x)

dv/dx = 2 ^{sen x} cos xlog2 ………(3)

Ahora ponga todos los valores de eq(2) y (3) en eq(1)

dy/dx = x ^x (1 + log x) – 2 ^{sen x} cos xlog2

Pregunta 5. (x + 3) ² .(x + 4) ³ .(x + 5) ⁴

Solución:

Consideremos y = (x + 3) ² .(x + 4) ³ .(x + 5) ⁴

Ahora tomando registro en ambos lados, obtenemos

logaritmo y = logaritmo[(x + 3) ³ .(x + 4) ³ .(x + 5) ⁴ ]

registro y = 2 registro (x + 3) + 3 registro (x + 4) + 4 registro (x + 5)

Ahora, al derivar wrt x, obtenemos

$\frac{1}{y}.\frac{dy}{dx}=\frac{2}{x+3}+\frac{3}{x+4}+\frac{4}{x+5}$

$\frac{dy}{dx}=y(\frac{2}{x+3}+\frac{3}{x+4}+\frac{4}{x+5})$

$\frac{dy}{dx}=(x+3)^2(x+4)^3(x+5)^4(\frac{2}{x+3}+\frac{3}{x+4}+\frac{4}{x+5})$

Pregunta 6. $(x+\frac{1}{x})^x+x(1+\frac{1}{x})$

Solución:

Dado: y = $(x+\frac{1}{x})^x+x(1+\frac{1}{x})$

Consideremos y = u + v

donde $u=(x+\frac{1}{x})^x$ y $v=x^{1+\frac{1}{x}}$

entonces, dy/dx = du/dx + dv/dx ………(1)

Ahora primero tomamos $u=(x+\frac{1}{x})^x$

Al tomar el registro en ambos lados, obtenemos

registro u = $\log(x+\frac{1}{x})^x$

registro u = $xlog(x+\frac{1}{x})$

Ahora, al derivar wrt x, obtenemos

$\frac{1}{u}.\frac{du}{dx}=x\frac{1}{(x+\frac{1}{x})}.\frac{d}{dx}(x+\frac{1}{x})+\log(x+\frac{1}{x})$

$\frac{1}{u}.\frac{du}{dx}=(\frac{x^2}{x^2+1})(\frac{x^2-1}{x^2})+\log(x+\frac{1}{x})$

$\frac{dy}{dx}=u[\frac{x^2-1}{x^2+1}+\log(x+\frac{1}{x})]$

$\frac{du}{dx}=(x+\frac{1}{x})^x(\frac{x^2-1}{x^2+1}+\log(x+\frac{1}{x}))$ ………(2)

ahora tomamos $v=x^{1+\frac{1}{x}}$

Al tomar el registro en ambos lados, obtenemos

registro v = $log x^{(1 + \frac{1}{x})}$

registro v = $(1 + \frac{1}{x})log x$

Ahora, al derivar wrt x, obtenemos

$\frac{1}{v}\frac{dv}{dx}=(1+\frac{1}{x})\frac{d}{dx}(\log x)\log x\frac{d}{dx}(1+\frac{1}{x})$

$\frac{dv}{dx}=v[(\frac{x+1}{x}).\frac{1}{x}+\log x(\frac{-1}{x^2})]$

$\frac{dv}{dx}=x^{1+\frac{1}{x}}.[\frac{1+1-\log x}{x^2}]$ ………(3)

Ahora ponga todos los valores de eq(2) y (3) en eq(1)

$\frac{dy}{dx}=(x+\frac{1}{x})^2(\frac{x^2-1}{x^2+1}+\log(x+\frac{1}{x}))+x^{(1+\frac{1}{x}).[\frac{x+1-\log x}{x^2}]}$

Pregunta 7. (log x) ^x + x ^{log x}

Solución:

Dado: y = (log x) ^x + x ^{log x}

Consideremos y = u + v

Donde u = (log x) ^x y v = x ^{log x}

entonces, dy/dx = du/dx + dv/dx ………(1)

Ahora primero tomamos u = (log x) ^x

Al tomar el registro en ambos lados, obtenemos

registro u = registro (registro x) ^x

registro u = x registro (registro x)

Ahora, al derivar wrt x, obtenemos

$\frac{1}{u}\frac{du}{dx}=x.\frac{d}{dx}\log(\log x)+\log(\log x).\frac{d}{dx}.x$

$\frac{1}{u}\frac{du}{dx}=u(\frac{x}{\log x}.\frac{1}{x}+\log(\log x))$

$\frac{du}{dx}=(\log x)^x(\frac{1}{\log x}+\log(\log x))$ ………(2)

Ahora tomamos v = x ^{log x}

Al tomar el registro en ambos lados, obtenemos

registro v = registro (x ^{registro x} )

log v = logx log(x)

registro v = logx ²

Ahora, al derivar wrt x, obtenemos

$\frac{1}{v}.\frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}(\log^2x)$

$\frac{1}{v}.\frac{dv}{dx}=2\log x\frac{d}{dx}(\log x)$

$\frac{dv}{dx}=v.(2\log x.\frac{1}{x})$

$\frac{dv}{dx}=x^{\log x}.\frac{2\log x }{x}$ ………(3)

Ahora ponga todos los valores de eq(2) y (3) en eq(1)

$\frac{dy}{dx}=(\log x)^x(\frac{1}{\log x}+\log(\log x))+x^{\log x}.\frac{2\log x}{x}$

Pregunta 8. (sen x) ^x + sin ^–1 √x

Solución:

Dado: y = (sen x) ^x + sin ^–1 √x

Consideremos y = u + v

Donde u = (sen x) ^x y v = sen ^–1 √x

entonces, dy/dx = du/dx + dv/dx ………(1)

Ahora primero tomamos u = (sen x) ^x

Al tomar el registro en ambos lados, obtenemos

log u = log(sen x) ^x

log u = xlog(sen x)

Ahora, al derivar wrt x, obtenemos

$\frac{1}{u}.\frac{du}{dx}=x\frac{d}{dx}(\log(\sin x))+\log(\sin x).\frac{d}{dx}x$

$\frac{1}{u}.\frac{du}{dx}=x.\frac{1}{\sin x}.\frac{d}{dx}.\sin x+\log(\sin x)$

$\frac{du}{dx}=u(\frac{x\cos x}{\sin x}+\log(\sin x))$

$\frac{du}{dx}=(\sin x)^x.(x\cot x+\log(\sin x))$ ………(2)

Ahora tomamos v = sen ^–1 √x

Al tomar el registro en ambos lados, obtenemos

log v = log sen ^–1 √x

Ahora, al derivar wrt x, obtenemos

$\frac{dv}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x}^2)}}.\frac{d}{dx}\sqrt{x}$

$\frac{dv}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x-x^2}}$ ………(3)

Ahora ponga todos los valores de eq(2) y (3) en eq(1)

$\frac{dy}{dx}=(\sin x)^x.(x\cot x+\log(\sin x))+\frac{1}{2\sqrt{x-x^2}}$

Pregunta 9. x ^{sen x} + (sen x) ^{cos x}

Solución:

Dado: y = x ^{sen x} + (sen x) ^{cos x}

Consideremos y = u + v

Donde u = x ^{sen x} y v = (sen x) ^{cos x}

entonces, dy/dx = du/dx + dv/dx ………(1)

Ahora primero tomamos u = x ^{sin x}

Al tomar el registro en ambos lados, obtenemos

log u = log x ^{sen x}

log u = sen x (log x)

Ahora, al derivar wrt x, obtenemos

$\frac{1}{u}.\frac{du}{dx}=\sin x\frac{d}{dx}\log x+\log x\frac{d}{dx}\sin x$

$\frac{du}{dx}=u.[\sin x.\frac{1}{x}+\log x(\cos x)]$

$\frac{du}{dx}=x^{\sin x}(\frac{\sin x}{x}+\log x(\cos x))$ ………(2)

Ahora tomamos v =(sen x) ^{cos x}

Al tomar el registro en ambos lados, obtenemos

log v = log(sen x) ^{cos x}

log v = cosx log(senx)

Ahora, al derivar wrt x, obtenemos

$\frac{1}{v}\frac{dv}{dx}=\cos x\frac{d}{dx}\log(\sin x)+\log(\sin x).\frac{d}{dx}\cos x$

$\frac{1}{v}\frac{dv}{dx}=(\cos x.\frac{1}{\sin x}.\frac{d}{dx}\sin x+\log(\sin x).(-\sin x))$

$\frac{dv}{dx}=\sin x^{\cos x}(\cot x.\cos x-\sin x\log(\sin x))$ ………(3)

Ahora ponga todos los valores de eq(2) y (3) en eq(1)

$\frac{dy}{dx}=x^{\sin x}(\frac{\sin x}{x}+\log X(\cos x)+\sin x^{\cos x}(\cot x\cos x-\sin x\log(\sin x)))$

Pregunta 10. $x^{x\cos x}+\frac{x^2+1}{x^2-1}$

Solución:

Dado: y = $x^{x\cos x}+\frac{x^2+1}{x^2-1}$

Consideremos y = u + v

Donde u = x ^xcosx y v = $\frac{x^2+1}{x^2-1}$

entonces, dy/dx = du/dx + dv/dx ………(1)

Ahora primero tomamos u = x ^xcosx

Al tomar el registro en ambos lados, obtenemos

registro u = registro (x x ^cos x )

log u = x.cosx.logx

Ahora, al derivar wrt x, obtenemos

$\frac{1}{u}\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(x).cosx.logx+x.\frac{d}{dx}(cosx).logx+x.cosx.\frac{d}{dx}(logx)$

$\frac{du}{dx}=u[1.cosx.logx+x.(-sinx).logx+x.cosx.\frac{1}{x}]$

$\frac{du}{dx}=x^{xcosx}[cosx(1+logx)-xsinxlogx]$ ………(2)

Ahora tomamos v = $\frac{x^2+1}{x^2-1}$

Al tomar el registro en ambos lados, obtenemos

registro v = registro $\frac{x^2+1}{x^2-1}$

registro v = registro (x ² + 1) – registro (x ² – 1)

Ahora, al derivar wrt x, obtenemos

$\frac{1}{v}\frac{dv}{dx}=\frac{1}{x^2+1}.\frac{d}{dx}(x^2+1)-\frac{1}{x^2-1}.\frac{d}{dx}(x^2-1)$

$\frac{fv}{dx}=v(\frac{2x}{x^2+1}-\frac{2x}{x^2-1})$

$\frac{dv}{dx}=\frac{(x^2+1)}{(x^2-1)}(2x).(\frac{(x^2-1)-(x^2+1)}{(x^2+1)(x^2-1)})$

$\frac{dv}{dx}=\frac{(2x)(-2)}{(x^2-1)^2}$

$\frac{dv}{dx}=\frac{-4x}{(x^2-1)^2}$ ………(3)

Ahora ponga todos los valores de eq(2) y (3) en eq(1)

$\frac{dy}{dx}=x^{xcosx}[cosx(1+logx)-xsinxlogx]-\frac{4x}{(x^2-1)^2}$