Clase 12 Soluciones NCERT – Matemáticas Parte I – Capítulo 5 Continuidad y diferenciabilidad – Ejercicio 5.8

Pregunta 1. Verifique el teorema de Rolle para la función f(x) = x 2 + 2x – 8, x ∈ [– 4, 2].

Solución:

Ahora f(x) = x² + 2x – 8 es un polinomio

Entonces, f(x) es continua en el intervalo [-4,2] y derivable en el intervalo (- 4,2)

f(-4) = (-4)² + 2(-4) – 8 = 16 – 8 – 8 = 0

f(2) = 2² + 4 – 8 = 8 – 8 = 0

f(-4) = f(2)

Como se cumplen las condiciones del teorema de Rolle .

Entonces existe algún c en (-4, 2) tal que f′(c) = 0

f'(x) = 2x + 2

f'(c) = 2c + 2 = 0

c = – 1, 

y -1 ∈ [-4,2]

Por lo tanto, f’ (c) = 0 en c = – 1.

Pregunta 2. Examinar si el teorema de Rolle es aplicable a alguna de las siguientes funciones. ¿Puedes decir algo sobre el inverso del teorema de Rolle a partir de este ejemplo?

(i) f(x) = [x] para x ∈ [5, 9] 

Solución:

En el intervalo [5, 9], 

Ahora, f (x) = [x] que no es continua ni derivable en enteros. 

f (x) no es continua ni derivable en x = 6,7,8 

Por lo tanto, el teorema de Rolle NO es aplicable

(ii) f(x) = [x] para x ∈ [– 2, 2]

Solución:

En el intervalo [– 2, 2],

Ahora, f (x) = [x] que no es continua ni derivable en enteros.

f (x) no es continua ni derivable en x = -1,0,1

Por lo tanto, el teorema de Rolle NO es aplicable

(iii) f(x) = x 2 – 1 para x ∈ [1, 2]

Solución:

Ahora f(x) = x² – 1 es un polinomio

Entonces, f(x) es continua en el intervalo [1, 2] y derivable en el intervalo (1,2)

f(1) = (1)² – 1 = 0

f(2) = 2² – 1 = 3

f(-4) ≠ f(2)

Como NO se cumplen las condiciones del teorema de Rolle .

Por lo tanto, el teorema de Rolle NO es aplicable

Pregunta 3. Si f : [– 5, 5] → R es una función diferenciable y si f′(x) no desaparece en ningún lugar, entonces demuestre que f(– 5) ≠ f(5).

Solución:

Por el teorema de Rolle

f es continua en [a, b] ………(1)

f es derivable en [a, b] ………(2)

f(a) = f(b) ………(3)

entonces f’ (c)=0, c ∈ (a, b)

Entonces como f es continua y derivable

pero f'(c) ≠ 0 

Concluye, f(a) ≠ f(b) 

 f(-5) ≠ f(5)

Pregunta 4. Verifique el teorema del valor medio, si f(x) = x 2 – 4x – 3 en el intervalo [a, b], donde a = 1 y b = 4.

Solución:

Ahora f(x) = x² – 4x -3 es un polinomio

Entonces, f(x) es continua en el intervalo [1,4] y derivable en el intervalo (1,4)

f(1) = (1)² – 4(1) – 3 = -6

f(4) = 4² – 4(4) – 3 = -3

f′(c) = 2c – 4

Como se cumplen las condiciones del teorema del valor medio.

Entonces existe alguna c en (1,4) tal que 

f′(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

\frac{-3-(-6)}{4-1}

= 1

2c – 4 = 1

c = 5/2

y c = 5/2 ∈ (1,4)

Pregunta 5. Verifique el teorema del valor medio, si f(x) = x 3 – 5x 2 – 3x en el intervalo [a, b], donde a = 1 y b = 3. Halle todo c ∈ (1, 3) para el cual f'(c) = 0.

Solución:

Ahora f(x) = x 3 – 5x 2 – 3x es un polinomio

Entonces, f(x) es continua en el intervalo [1,3] y diferenciable en el intervalo (1,3)

f(1) = (1) 3 – 5(1) 2 – 3(1) = -7

f(3) = 3 3 – 5(3) 2 – 3(3) = -27

f′(c) = 3c 2 – 5(2c) – 3

f′(c) = 3c 2 – 10c – 3

Como se cumplen las condiciones del teorema del valor medio.

Entonces existe alguna c en (1,3) tal que

f′(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

\frac{f(3)-f(1)}{b-a}

\frac{-27-(-7)}{3-1}

\frac{-20}{2}

3c 2 – 10c – 3 = -10

3c 2 – 10c + 7 = 0

3c2 – 3c – 7c + 7 = 0

3c (c-1) – 7(c-1) = 0

(3c -7) (c-1) = 0

c = 7/3 o c = 1

Como, 1 ∉ (1,3)

Entonces, c = 7/3 ∈ (1,3)

Según el teorema de Rolle

Como, f(3) ≠ f(1), Entonces no existe algún c ∈ (1,3) tal que f′(c) = 0

Pregunta 6. Examine la aplicabilidad del teorema del valor medio para las tres funciones dadas en el ejercicio 2 anterior.

(i) f(x) = [x] para x ∈ [5, 9]

Solución:

En el intervalo [5, 9],

Ahora, f (x) = [x] que no es continua ni derivable en enteros.

f (x) no es continua ni derivable en x = 6,7,8

Por lo tanto, el teorema del valor medio NO es aplicable

(ii) f(x) = [x] para x ∈ [– 2, 2]

Solución:

En el intervalo [– 2, 2],

Ahora, f (x) = [x] que no es continua ni derivable en enteros.

f (x) no es continua ni derivable en x = -1,0,1

Por lo tanto, el teorema del valor medio NO es aplicable

(iii) f(x) = x 2 – 1 para x ∈ [1, 2]

Solución:

Ahora f(x) = x² – 1 es un polinomio

Entonces, f(x) es continua en el intervalo [1,2] y diferenciable en el intervalo (1,2)

f(1) = (1)² – 1 = 0

f(2) = 2² -1 = 3

f′(c) = 2c

Como se cumplen las condiciones del teorema del valor medio.

Entonces existe alguna c en (1,2) tal que

f′(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

\frac{f(2)-f(1)}{2-1}

\frac{3-0}{2-1}

= 3

2c = 3

c = 3/2

y c = 3/2 ∈ (1,4)

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por _shinchancode y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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