Pregunta 1. Verifique el teorema de Rolle para la función f(x) = x 2 + 2x – 8, x ∈ [– 4, 2].
Solución:
Ahora f(x) = x² + 2x – 8 es un polinomio
Entonces, f(x) es continua en el intervalo [-4,2] y derivable en el intervalo (- 4,2)
f(-4) = (-4)² + 2(-4) – 8 = 16 – 8 – 8 = 0
f(2) = 2² + 4 – 8 = 8 – 8 = 0
f(-4) = f(2)
Como se cumplen las condiciones del teorema de Rolle .
Entonces existe algún c en (-4, 2) tal que f′(c) = 0
f'(x) = 2x + 2
f'(c) = 2c + 2 = 0
c = – 1,
y -1 ∈ [-4,2]
Por lo tanto, f’ (c) = 0 en c = – 1.
Pregunta 2. Examinar si el teorema de Rolle es aplicable a alguna de las siguientes funciones. ¿Puedes decir algo sobre el inverso del teorema de Rolle a partir de este ejemplo?
(i) f(x) = [x] para x ∈ [5, 9]
Solución:
En el intervalo [5, 9],
Ahora, f (x) = [x] que no es continua ni derivable en enteros.
f (x) no es continua ni derivable en x = 6,7,8
Por lo tanto, el teorema de Rolle NO es aplicable
(ii) f(x) = [x] para x ∈ [– 2, 2]
Solución:
En el intervalo [– 2, 2],
Ahora, f (x) = [x] que no es continua ni derivable en enteros.
f (x) no es continua ni derivable en x = -1,0,1
Por lo tanto, el teorema de Rolle NO es aplicable
(iii) f(x) = x 2 – 1 para x ∈ [1, 2]
Solución:
Ahora f(x) = x² – 1 es un polinomio
Entonces, f(x) es continua en el intervalo [1, 2] y derivable en el intervalo (1,2)
f(1) = (1)² – 1 = 0
f(2) = 2² – 1 = 3
f(-4) ≠ f(2)
Como NO se cumplen las condiciones del teorema de Rolle .
Por lo tanto, el teorema de Rolle NO es aplicable
Pregunta 3. Si f : [– 5, 5] → R es una función diferenciable y si f′(x) no desaparece en ningún lugar, entonces demuestre que f(– 5) ≠ f(5).
Solución:
Por el teorema de Rolle
f es continua en [a, b] ………(1)
f es derivable en [a, b] ………(2)
f(a) = f(b) ………(3)
entonces f’ (c)=0, c ∈ (a, b)
Entonces como f es continua y derivable
pero f'(c) ≠ 0
Concluye, f(a) ≠ f(b)
f(-5) ≠ f(5)
Pregunta 4. Verifique el teorema del valor medio, si f(x) = x 2 – 4x – 3 en el intervalo [a, b], donde a = 1 y b = 4.
Solución:
Ahora f(x) = x² – 4x -3 es un polinomio
Entonces, f(x) es continua en el intervalo [1,4] y derivable en el intervalo (1,4)
f(1) = (1)² – 4(1) – 3 = -6
f(4) = 4² – 4(4) – 3 = -3
f′(c) = 2c – 4
Como se cumplen las condiciones del teorema del valor medio.
Entonces existe alguna c en (1,4) tal que
f′(c) =
=
= 1
2c – 4 = 1
c = 5/2
y c = 5/2 ∈ (1,4)
Pregunta 5. Verifique el teorema del valor medio, si f(x) = x 3 – 5x 2 – 3x en el intervalo [a, b], donde a = 1 y b = 3. Halle todo c ∈ (1, 3) para el cual f'(c) = 0.
Solución:
Ahora f(x) = x 3 – 5x 2 – 3x es un polinomio
Entonces, f(x) es continua en el intervalo [1,3] y diferenciable en el intervalo (1,3)
f(1) = (1) 3 – 5(1) 2 – 3(1) = -7
f(3) = 3 3 – 5(3) 2 – 3(3) = -27
f′(c) = 3c 2 – 5(2c) – 3
f′(c) = 3c 2 – 10c – 3
Como se cumplen las condiciones del teorema del valor medio.
Entonces existe alguna c en (1,3) tal que
f′(c) =
=
=
=
3c 2 – 10c – 3 = -10
3c 2 – 10c + 7 = 0
3c2 – 3c – 7c + 7 = 0
3c (c-1) – 7(c-1) = 0
(3c -7) (c-1) = 0
c = 7/3 o c = 1
Como, 1 ∉ (1,3)
Entonces, c = 7/3 ∈ (1,3)
Según el teorema de Rolle
Como, f(3) ≠ f(1), Entonces no existe algún c ∈ (1,3) tal que f′(c) = 0
Pregunta 6. Examine la aplicabilidad del teorema del valor medio para las tres funciones dadas en el ejercicio 2 anterior.
(i) f(x) = [x] para x ∈ [5, 9]
Solución:
En el intervalo [5, 9],
Ahora, f (x) = [x] que no es continua ni derivable en enteros.
f (x) no es continua ni derivable en x = 6,7,8
Por lo tanto, el teorema del valor medio NO es aplicable
(ii) f(x) = [x] para x ∈ [– 2, 2]
Solución:
En el intervalo [– 2, 2],
Ahora, f (x) = [x] que no es continua ni derivable en enteros.
f (x) no es continua ni derivable en x = -1,0,1
Por lo tanto, el teorema del valor medio NO es aplicable
(iii) f(x) = x 2 – 1 para x ∈ [1, 2]
Solución:
Ahora f(x) = x² – 1 es un polinomio
Entonces, f(x) es continua en el intervalo [1,2] y diferenciable en el intervalo (1,2)
f(1) = (1)² – 1 = 0
f(2) = 2² -1 = 3
f′(c) = 2c
Como se cumplen las condiciones del teorema del valor medio.
Entonces existe alguna c en (1,2) tal que
f′(c) =
=
=
= 3
2c = 3
c = 3/2
y c = 3/2 ∈ (1,4)
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Artículo escrito por _shinchancode y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA