Clase 12 Soluciones NCERT – Matemáticas Parte I – Capítulo 6 Aplicación de derivadas – Ejercicio misceláneo en el Capítulo 6

Capítulo 6 Aplicación de Derivadas – Ejercicio Misceláneo del Capítulo 6 | Serie 1

Pregunta 12. Un punto en la hipotenusa de un triángulo está a la distancia ayb de los lados del triángulo. Demuestre que la longitud mínima de la hipotenusa es $(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$

Solución:

Class 12 NCERT Mathematics Part 1 Chapter 6 Miscellaneous Exercise

Dado, un triángulo ABC

Sea PE = a y PD = b

En el △ABC, ∠B = 90

Sea ∠C = θ, entonces, ∠ DPA = θ

PD|| ANTES DE CRISTO.

Ahora en △ADDP,

cosθ = DP/AP = b/AP

AP = b/cosθ

En △EPC,

senθ = EP/CP = a/CP

CP = a/sen θ

Ahora AC = h = PA + PC

h = $\frac{b}{\cos θ}+\frac{a}{\sin θ}$

h(θ) = b sec θ + a cosec θ

Poner h'(θ) = $\frac{\sqrt{a^{2/3}+b{2/3}}}{b^{1/3}}$

$\frac{b}{\cos θ}.\frac{\sin θ}{\cos θ}=\frac{a}{\sin θ}.\frac{\cos θ}{\sin θ}$

b sen ³ θ = a cos ³ θ

tan3θ = a/b

tanθ = (a/b) ^1/3

segθ = $\frac{\sqrt{a^{2/3}+b^{2/3}}}{b^{1/3}}$

cosecθ = $\frac{\sqrt{a^{2/3}+b{2/3}}}{b^{1/3}}$

h _máx = $b.\frac{\sqrt{b^{2/3}+a^{2/3}}}{b^{1/3}}+a.\frac{\sqrt{b^{2/3}+a^{2/3}}}{a^{1/3}}$

h _máx = (b ^2/3 +a ^2/3 ) ^3/2

Pregunta 13. Encuentra los puntos en los que la función f dada por f (x) = (x – 2) ⁴ (x + 1) ³ tiene

(i) máximos locales

(ii) mínimos locales

(iii) punto de inflexión

Solución:

f(x) = (x – 2) ⁴ (x + 1) ³

Al derivar wrt x, obtenemos

f'(x) = 4(x – 2) ³ (x + 1) ³ + 3(x + 1) ² (x – 2) ⁴

Pon f'(x) = 0

(x – 2) ³ (x + 1) ² [4 (x + 1) + 3 (x – 2)] = 0

(x – 2) ³ (x + 1) ² (7x – 2) = 0

Ahora,

Alrededor de x = -1, el signo no cambia, es decir

x = -1 es un punto de inflación

Alrededor de x = 2/7, el signo cambia de +ve a -ve, es decir,

x = 2/7 es un punto de máximos locales.

Alrededor de x = 2, el signo cambia de -ve a +ve, es decir,

x = 2 es un punto de mínimos locales

Pregunta 14. Encuentra los valores absolutos máximo y mínimo de la función f dada por f(x) = cos ² x + sen x, x ∈ [0, π]

Solución:

f(x) = cos ² x + sen x; x ϵ [0, π]

Al derivar wrt x, obtenemos

f'(x) = 2cos x(-sen x) + cos x = cos x – sen2x

Pon f'(x) = 0

cos x(1 – 2sen x) = 0

cos x = 0; sen x = 1/2

En x ϵ[0, π] si cos x = 0, entonces x = π/2

y si sen x = 1/2, entonces x = π/6 & 5π/6

Ahora, f”(x) = -sen x – 2 cos2x

f”(π/2) = -1 + 2 = 1 > 0

x = π/2 es un punto de mínimos locales f(π/2) = 1

f”(π/6) = $\frac{-1}{2}-2.\frac{1}{2}=\frac{-3}{2}<0$

x = π/6 es un punto de máximos locales f(π/6) = 5/4

$f''(\frac{5π}{6})=\frac{-1}{2}-2.(\frac{-1}{2})>0$

x = 5 π/6 es un punto de mínimos locales f(5 π/6) = 5/4

Máximos globales/absolutos = ma{f(0), f(π/6), f(π)}

= máx{1, 5/4, 1}

= 5/4 = valor máximo absoluto

Mínimos globales/absolutos = min{f(0), f(π/2), f(π/6), f(π)}

= min{1, 1, 5/4, 1}

= 1 = Valor mínimo absoluto

Pregunta 15. Demostrar que la altura del cono circular recto de máximo volumen que se puede inscribir en una esfera de radio r es 4π/3

Solución:

Sea ABC el cono

y o es el centro de la esfera.

AO = BO = CO = R

AO = h = altura del cono

BD = CD = r = radio del cono.

∠DOC = θ -(Propiedades del círculo)

En △ DOC,

OD = R cosθ & CD = Rsenθ,

r = R sen θ

AD = AO + OD = R + Rcosθ

h = R(1 + cosθ)

Ahora, el volumen del cono es

V = $\frac{1}{3}πr^2h$

v(θ) = $\frac{1}{3}.πR^2\sin{-2}θ.R(1+\cosθ)$

$v'(θ)=\frac{}{}[\sin{-2}θ(-\sinθ)+(1+\cosθ)(2\sinθ\cosθ)]$

Poner v(θ) = 0

sen θ [2cos θ + 2cos ²θ − sen2 θ ] = 0

sen θ [2cos θ + 2cos ²θ − 1] = 0

sen θ (3cos θ − 1)(1 + cos θ ) = 0

sen θ = 0, cos = 1/3, cos θ = −1

Si senθ = 0, entonces el volumen será 0.

Si cosθ = -1, entonces sinθ = 0 y nuevamente el volumen será 0.

Pero si cosθ = 1/3; senθ = 2√2/3 y

Volumen, v = 32/81 πR ³ , que es máximo.

Altura, h = R(1 + cosθ) = R( $1+\frac{1}{3}$ )

h = 4r/3

Por lo tanto probado

Pregunta 16. Sea f una función definida en [a, b] tal que f′(x) > 0, para todo x ∈ (a, b). Luego demuestre que f es una función creciente en (a, b).

Solución:

Dado que en [a, b] f'(x) > 0, para todo x en el intervalo I.

Así que consideremos x1, x2 pertenece a I con x1 < x2

Para probar: f(x) es creciente en (a, b)

Según el teorema de la media de Lagrange

f(x2) – f(x1)/ x2 – x1 = f'(c)

f(x2) – f(x1) = f'(c)(x2 – x1)

Donde x1 < c < x2

Como sabemos que x1 < x2

entonces x1 < x2 > 0

Se da que f'(x) > 0

entonces, f'(c) > 0

Por lo tanto, f(x2) – f(x1) > 0

f(x2) < f(x1)

Por lo tanto, para todo par de puntos x1, x2 pertenece a I con x1 < x2

f(x2) < f(x1)

f(x) es estrictamente creciente en I

Pregunta 17. Demuestra que la altura del cilindro de máximo volumen que se puede inscribir en una esfera de radio R es 2R/√3. Además, encuentre el volumen máximo.

Solución:

En △ABC,

CA ² = BC ² + AB ²

4R2 = 4r2 ⁺^h2^_

r ² = R ² – $\frac{h^2}{4}$ ……….(1)

Ahora, volumen del cilindro = πr ² h

Ponga el valor de ov r ² de eq(1), obtenemos

V = π( $R^2\frac{-h^2}{4}$ ).h

V(h) = $πR^2h-\frac{πh^3}{4}$

Al diferenciar ambos lados obtenemos

V'(h) = $πR^2h-\frac{3πh^3}{4}$

Ahora pon V'(h) = 0

πR2 = ^_ $\frac{3}{4}πh^2$

$h=\frac{2R}{\sqrt{3}}$

Ahora el volumen máximo del cilindro = π[R ² . 2R/√3 – 1/4,4R ² /3,2R/ √3]

= 4πR ³ / 3√3

Pregunta 18. Demostrar que la altura del cilindro de mayor volumen que se puede inscribir en un cono circular recto de altura h y ángulo semivertical α es un tercio de la del cono y el mayor volumen del cilindro es 4/27 πh ³ tan ² α .

Solución:

Class 12 NCERT Mathematics Part 1 Chapter 6 Miscellaneous Exercise

Dejar,

XQ = r

XO = h’

AO = h

CO = r’

∠XAQ = α

En el triángulo AXQ y AOC = XQ/OC = AX/AO

Entonces, r’/r = h-h’/h

hr’ = r(h-h’)

hr’ = rh – rh’

rh’ = rh – hr’

rh’ = h(r – r’)

h’ = h(r – r’)/r

El volumen del cilindro = πr’ ² h’

v = πr’ ² (h(r – r’)/r)

= π(h(rr’ ² – r’ ³ )/r)

Al diferenciar obtenemos

v’ = πh/r(2rr’ – 3r’ ² )

Nuevamente al diferenciar obtenemos

v” = πh/r(2r – 6r’) ………(1)

Ahora pon v’ = 0

πh/r(2rr’ – 3r’ ² ) = 0

(2rr’ – 3r’ ² ) = 0

2r’r = 3r’ ²

r’ = 2r/3

Entonces, v es máximo en r’ = 2r/3

El volumen máximo del cilindro = πh/r[r. 4r ^2/9 – 8r ^2/27 ]

= πhr ² [4/27]

= 4/27πh(h tanα) ²

= 4/27πh ³ tan ² α

Pregunta 19. Un tanque cilíndrico de 10 m de radio se llena con trigo a razón de 314 metros cúbicos por hora. Entonces la profundidad del trigo aumenta a razón de

(A) 1 m/h (B) 0,1 m/h (C) 1,1 m/h (D) 0,5 m/h

Solución:

Dado,

Radio del cilindro = 10 m [el radio es fijo]

Tasa de aumento de volumen = 314m ³ /h

es decir, dv/dt = 314m ³ /h

Ahora, el volumen del cilindro = πr ² h

v = π.(10) ² .h

v = 100πh

Al diferenciar wrt t, obtenemos

dv/dt = 100π $\frac{dh}{dt}$

$\frac{dh}{dt}=\frac{1}{100π}.\frac{dv}{dt}=\frac{1}{314}.314$

$\frac{dh}{dt}=1m/h$

Entonces la opción A es correcta

Pregunta 20. La pendiente de la tangente a la curva x = t ² + 3t – 8, y = 2t ² – 2t – 5 en el punto (2,– 1) es

(A) 22/7 (B) 6/7 (C) 7/6 (D) -6/7

Solución:

Dado que la pendiente de la tangente a la curva x = t ² + 2t – 8 y y = 2t ² – 2t – 5

Al diferenciar obtenemos

$\frac{dy}{dx}=2t+3 ;\frac{dy}{dt}=4t-2$

Ahora, cuando x = 2,

t ² + 3 – 8 = 2

t ² + 3 – 10 = 0

t ² – 2t + 5t – 10 = 0

(t – 2)(t + 5) = 0

Aquí, t = 2, t = -5 ……….(1)

Cuando y = -1

2t ² – 2t – 5 = -1

2t ² – 2t – 4 = 0

t ² – t – 2 = 0

(t + 1)(t – 2) = 0

t = -1 o t = 2 ……….(2)

De eq(1) & eq(2) satisface ambos,

Ahora, $\frac{dy}{dx}=slope=\frac{dy}{dt}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{4t-2}{2t+3}=\frac{4(2)-2}{2(2)+3}=\frac{6}{7}$

Entonces, la opción B es la correcta.

Pregunta 21. La recta y = mx + 1 es tangente a la curva y ² = 4x si el valor de m es

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)1/2

Solución:

La curva si y ² = 4x …….(1)

Al diferenciar obtenemos

$2y\frac{dy}{dx}=4$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{y}$

La pendiente de la tangente a la curva dada en el punto (x, y)

$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{y}$

m = 2/año

y = 2/m

La ecuación de la recta es y = mx + 1

Ahora pon el valor de y, obtenemos el valor de x

2/m = mx + 1

x = 2 – m/m

Ahora pon el valor de y y x en la ecuación (1), obtenemos

(2/m) ² = 4(2 – m/m)

metro = 1

Por lo tanto, la opción A es correcta.

Pregunta 22. La normal en el punto (1, 1) de la curva 2y + x ² = 3 es

(A) x + y = 0 (B) x – y = 0

(C) x + y +1 = 0 (D) x – y = 1

Solución:

La ecuación de la curva 2y + x ² = 3

Al derivar wrt x, obtenemos

2 $\frac{dy}{dx}+2x=0$

dy/dx = -x

La pendiente de la tangente a la curva dada en el punto (1, 1)

dy/dx = -x = -1

metro = -1

Y pendiente de normal = 1

Ahora la ecuación de la normal

(y-1) = 1(x-1)

x – y = 0

Entonces, la opción B es correcta

Pregunta 23. La normal a la curva x ² = 4y pasando (1, 2) es

(A) x + y = 3 (B) x – y = 3 (C) x + y = 1 (D) x – y = 1

Solución:

La ecuación de la curva es x ² = 4y …….(1)

Al derivar wrt x, obtenemos

2x = $4\frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{2}$

La pendiente de la normal en (x, y)

-dx/dy = -2/x = m

La pendiente en el punto dado (1, 2)

m = (y – 2)/(x – 1)

-2/x = (y – 2)/(x – 1)

y = 2/x

Ahora pon el valor de y en la ecuación (1)

x2 = 4( ² /x)

x = 2

y y = 1

Entonces el punto es (2, 1)

Ahora la pendiente de la normal en el punto (2, 1) = -2/2 = -1

La ecuación de la normal es

(y-1) = -1(x-2)

x + y = 3

Entonces la opción A es correcta

Pregunta 24. Los puntos en la curva 9y ² = x ³ , donde la normal a la curva hace intersecciones iguales con los ejes son

(A) $(4,&pm;\frac{8}{3})$ (B) $(4,\frac{-8}{3})$

(C) $(4,&pm;\frac{3}{8})$ (D) $(&pm;4,\frac{3}{8})$

Solución:

Dada la ecuación 9y ² = x ³

Al derivar wrt x, obtenemos

18y dy/dx = 3x ²

dy/dx = 3x ² /18y

dy/dx = x ² /6y

Ahora, la pendiente de la normal a la curva dada en el punto (x ₁ , y ₁ ) es

$-1=\frac{6y_1}{x^2_1}$

Por lo tanto, la ecuación de la normal a la curva en el punto (x ₁ , y ₁ ) es

$y-y_1=\frac{-6y_1}{x^2_1}(x-x_1)$

$x^2_1y-x_1^2y=-6xy_1+6x_1y_1$

$\frac{6xy_1}{6x_1y_1+x_1^2y_1}+\frac{x_1^2y}{6x_1y_1+x^2_1y_1}$

$\frac{\frac{x}{x_1(6+x_1)}}{6}+\frac{\frac{y}{y_1(6+x_1)}}{x_1}=1$

De acuerdo a la pregunta se da que lo normal

hacer intersecciones iguales con los ejes.

Asi que,

$\frac{x_1(6+x_1)}{6}+\frac{y_1(6+x_1)}{x_1}$

$x_1^2=6y_1$ …………(1)

El punto (x ₁ , y ₁ ) se encuentra en la curva,

$9_1^2=x_1^22$ …………(2)

De la ecuación (1) y (2), obtenemos

$9(\frac{x_1^2}{6})^2=x_1^3=\frac{x_1^4}{4}=x^3_1=x_1=4$

De la ecuación (2), obtenemos

$9y_1^2=(4)^3=64$

$y_1^2=\frac{64}{9}$

$y_1=&pm;\frac{8}{3}$

Por lo tanto, los puntos requeridos son $(4,&pm;\frac{8}{3})$

Entonces, la opción A es correcta.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ysachin2314 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 12 Soluciones NCERT – Matemáticas Parte I – Capítulo 6 Aplicación de derivadas – Ejercicio misceláneo en el Capítulo 6 | conjunto 2

Capítulo 6 Aplicación de Derivadas – Ejercicio Misceláneo del Capítulo 6 | Serie 1

Pregunta 12. Un punto en la hipotenusa de un triángulo está a la distancia ayb de los lados del triángulo. Demuestre que la longitud mínima de la hipotenusa es $(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$

Pregunta 13. Encuentra los puntos en los que la función f dada por f (x) = (x – 2) ⁴ (x + 1) ³ tiene

(i) máximos locales

(ii) mínimos locales

(iii) punto de inflexión

Pregunta 14. Encuentra los valores absolutos máximo y mínimo de la función f dada por f(x) = cos ² x + sen x, x ∈ [0, π]

Pregunta 15. Demostrar que la altura del cono circular recto de máximo volumen que se puede inscribir en una esfera de radio r es 4π/3

Pregunta 16. Sea f una función definida en [a, b] tal que f′(x) > 0, para todo x ∈ (a, b). Luego demuestre que f es una función creciente en (a, b).

Pregunta 17. Demuestra que la altura del cilindro de máximo volumen que se puede inscribir en una esfera de radio R es 2R/√3. Además, encuentre el volumen máximo.

Pregunta 18. Demostrar que la altura del cilindro de mayor volumen que se puede inscribir en un cono circular recto de altura h y ángulo semivertical α es un tercio de la del cono y el mayor volumen del cilindro es 4/27 πh ³ tan ² α .

Pregunta 19. Un tanque cilíndrico de 10 m de radio se llena con trigo a razón de 314 metros cúbicos por hora. Entonces la profundidad del trigo aumenta a razón de

Pregunta 20. La pendiente de la tangente a la curva x = t ² + 3t – 8, y = 2t ² – 2t – 5 en el punto (2,– 1) es

Pregunta 21. La recta y = mx + 1 es tangente a la curva y ² = 4x si el valor de m es

Pregunta 22. La normal en el punto (1, 1) de la curva 2y + x ² = 3 es

Pregunta 23. La normal a la curva x ² = 4y pasando (1, 2) es

Pregunta 24. Los puntos en la curva 9y ² = x ³ , donde la normal a la curva hace intersecciones iguales con los ejes son

(A) $(4,&pm;\frac{8}{3})$ (B) $(4,\frac{-8}{3})$

(C) $(4,&pm;\frac{3}{8})$ (D) $(&pm;4,\frac{3}{8})$

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Capítulo 6 Aplicación de Derivadas – Ejercicio Misceláneo del Capítulo 6 | Serie 1

Pregunta 12. Un punto en la hipotenusa de un triángulo está a la distancia ayb de los lados del triángulo. Demuestre que la longitud mínima de la hipotenusa es

Pregunta 13. Encuentra los puntos en los que la función f dada por f (x) = (x – 2) 4 (x + 1) 3 tiene

(i) máximos locales

(ii) mínimos locales

(iii) punto de inflexión

Pregunta 14. Encuentra los valores absolutos máximo y mínimo de la función f dada por f(x) = cos 2 x + sen x, x ∈ [0, π]

Pregunta 15. Demostrar que la altura del cono circular recto de máximo volumen que se puede inscribir en una esfera de radio r es 4π/3

Pregunta 16. Sea f una función definida en [a, b] tal que f′(x) > 0, para todo x ∈ (a, b). Luego demuestre que f es una función creciente en (a, b).

Pregunta 17. Demuestra que la altura del cilindro de máximo volumen que se puede inscribir en una esfera de radio R es 2R/√3. Además, encuentre el volumen máximo.

Pregunta 18. Demostrar que la altura del cilindro de mayor volumen que se puede inscribir en un cono circular recto de altura h y ángulo semivertical α es un tercio de la del cono y el mayor volumen del cilindro es 4/27 πh 3 tan 2 α .

Pregunta 19. Un tanque cilíndrico de 10 m de radio se llena con trigo a razón de 314 metros cúbicos por hora. Entonces la profundidad del trigo aumenta a razón de

Pregunta 20. La pendiente de la tangente a la curva x = t 2 + 3t – 8, y = 2t 2 – 2t – 5 en el punto (2,– 1) es

Pregunta 21. La recta y = mx + 1 es tangente a la curva y 2 = 4x si el valor de m es

Pregunta 22. La normal en el punto (1, 1) de la curva 2y + x 2 = 3 es

Pregunta 23. La normal a la curva x 2 = 4y pasando (1, 2) es

Pregunta 24. Los puntos en la curva 9y 2 = x 3 , donde la normal a la curva hace intersecciones iguales con los ejes son

(A) (B)

(C) (D)

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Pregunta 12. Un punto en la hipotenusa de un triángulo está a la distancia ayb de los lados del triángulo. Demuestre que la longitud mínima de la hipotenusa es $(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$

Pregunta 13. Encuentra los puntos en los que la función f dada por f (x) = (x – 2) ⁴ (x + 1) ³ tiene

Pregunta 14. Encuentra los valores absolutos máximo y mínimo de la función f dada por f(x) = cos ² x + sen x, x ∈ [0, π]

Pregunta 18. Demostrar que la altura del cilindro de mayor volumen que se puede inscribir en un cono circular recto de altura h y ángulo semivertical α es un tercio de la del cono y el mayor volumen del cilindro es 4/27 πh ³ tan ² α .

Pregunta 20. La pendiente de la tangente a la curva x = t ² + 3t – 8, y = 2t ² – 2t – 5 en el punto (2,– 1) es

Pregunta 21. La recta y = mx + 1 es tangente a la curva y ² = 4x si el valor de m es

Pregunta 22. La normal en el punto (1, 1) de la curva 2y + x ² = 3 es

Pregunta 23. La normal a la curva x ² = 4y pasando (1, 2) es

Pregunta 24. Los puntos en la curva 9y ² = x ³ , donde la normal a la curva hace intersecciones iguales con los ejes son

(A) $(4,&pm;\frac{8}{3})$ (B) $(4,\frac{-8}{3})$

(C) $(4,&pm;\frac{3}{8})$ (D) $(&pm;4,\frac{3}{8})$