Clase 9 Soluciones RD Sharma – Capítulo 10 Triángulos congruentes – Ejercicio 10.2

Pregunta 1: En la figura se da que RT = TS, ∠1 = 2∠2 y ∠4 = 2(∠3). Demuestre que ΔRBT ≅ ΔSAT .

Solución: 

En la figura,
Dado:
RT = TS —-> (ecuación 1)
∠1 = 2 ∠2 —-> (ecuación 2)
∠4 = 2 ∠3 —->(ecuación 3)

Demostrar: 
ΔRBT ≅ ΔSAT

Sea el punto de intersección RB y SA denotado por O
∠AOR = ∠BOS [Ángulos verticalmente opuestos]
Entonces, ∠1 = ∠4
2 ∠2 = 2 ∠3 [De (ecuación 2) y (ecuación 3)]
o 
∠ 2 = ∠3 —->(ecuación 4)

Ahora en Δ TRS, 
tenemos RT = TS
Δ TRS es un triángulo isósceles
∠TRS = ∠TSR —->(ecuación 5)
Pero, ∠TRS = ∠TRB + ∠2 —->(ecuación 6)
∠TSR = ∠TSA + ∠3 —->(ecuación 7)
Poniendo (ecuación 6) y (ecuación 7) en (ecuación 5) obtenemos
∠TRB + ∠2 = ∠TSA + ∠3
∠TRB = ∠TSA [De (ecuación 6)]
Considere ΔRBT y ΔSAT
RT = ST [De (ecuación 1)]
∠TRB = ∠TSA [De (ecuación 6)]
Por el criterio de congruencia de ASA, tenemos
ΔRBT ≅ ΔSAT

Pregunta 2: Dos rectas AB y CD se cortan en O de manera que BC es igual y paralela a AD. Demuestre que las rectas AB y CD se bisecan en O.

Solución: 

Dado:
Las rectas AB y CD se cortan en O
Tal que BC ∥ AD y
BC = AD —->(ecuación 1)

Para probar:
AB y CD se bisecan en O.

Primero tenemos que probar que ΔAOD ≅ ΔBOC
∠OCB =∠ODA {AD||BC y CD es transversal}
AD = BC {de (ecuación 1)}
∠OBC = ∠OAD {AD||BC y AB es transversal}
Por Criterio ASA:
ΔAOD ≅ ΔBOC
OA = OB y ​​OD = OC (Por las partes correspondientes de un triángulo congruente)
Por lo tanto,
AB y CD se bisecan en O.
Por lo tanto, Demostrado.

Pregunta 3: BD y CE son bisectrices de ∠B y ∠C de un isósceles Δ ABC con AB = AC. Demuestre que BD = CE.

Solución:

Dado:
ΔABC es isósceles
Donde,
AB = AC
BD y CE son bisectrices de ∠ B y ∠ C 

Demostrar:
BD = CE

Como AB = AC (dado)
∠ABC = ∠ACB —->(ecuación 1) {Los ángulos opuestos a lados iguales son iguales}
Como BD y CE son bisectrices de ∠ B y ∠ C
∠ABD = ∠DBC =∠ BCE =ECA =  ∠B  = ∠C   —-> (ecuación 2)
                                                      2 2
Ahora, considere ΔEBC = ΔDCB
∠EBC = ∠DCB {De (ecuación 1)}
BC = BC {Lado común}
∠BCE = ∠CBD {De (ecuación 2) )}
Por el criterio de congruencia ASA, 
Δ EBC ≅ Δ DCB
Dado que las partes correspondientes de triángulos congruentes son iguales.(cpct)
CE = BD
o, 
BD = CE
Por lo tanto, demostrado.