Congruencia de Triángulos

El teorema de Pitágoras es una especie de pilar de la geometría. En matemáticas, el teorema de Pitágoras, o teorema de Pitágoras, es una relación fundamental en la geometría euclidiana entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Veamos el concepto actual y ejemplos del teorema de Pitágoras.

Declaración del teorema de Pitágoras

Si tenemos un triángulo y el triángulo tiene que ser un triángulo rectángulo, es decir, uno de los tres ángulos en un triángulo tiene que ser de 90 grados. Ahora, con el teorema de Pitágoras, si conocemos dos lados de un triángulo rectángulo podemos encontrar el tercer lado. 

El lado más largo de un triángulo rectángulo es el lado opuesto al ángulo recto, que es la hipotenusa. Además, podemos ver en el diagrama anterior que el cuadrado de dos lados adyacente al ángulo de 90 grados es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Ejemplos del teorema de Pitágoras

Veamos algunos ejemplos básicos del teorema de Pitágoras.

Ejemplo 1: ¿Determinar la altura de un triángulo equilátero de 16 unidades de lado?

Solución:

Para el problema dado, podemos dividir el triángulo en dos partes iguales de las cuales podemos obtener que la longitud de la hipotenusa es de 16 unidades. Y el otro tramo es de 8 unidades, es decir, la mitad de 16 unidades. Entonces, sea la altura x.

Según pregunta,

x ² + 8 ² = 16 ²

=>x2 ⁼ 192

=> x = √192

Tomando valor positivo de x

=> x = 13,86 unidades

Por lo tanto, la altura requerida es de 13,86 unidades.

Ejemplo 2: Un hombre recorre 60 m hacia el oeste y luego 60 m hacia el norte. ¿Encuentra su distancia desde el punto de partida?

Solución: 

De acuerdo con la pregunta dada, podemos dibujar el diagrama como se muestra arriba y tenemos que encontrar la distancia AC.

Ahora, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, podemos obtener la ecuación como

                                 AB ² + BC ² = AC ²

                                   => CA ² = 60 ²  + 60 ²

                          => CA ²  = 7200

                          => CA = √7200

                          => AC = 84,85 m (ya que es una unidad de distancia. Por lo tanto, toma un valor positivo de la raíz cuadrada)

Por lo tanto, la distancia requerida es de 84,85 m.

Postulados/Criterios de Congruencia de Triángulos

 una. SSS (Lado, Lado, Lado) 

En el postulado de SSS, si los tres lados de un triángulo son iguales a los tres lados correspondientes de otro triángulo, entonces se cumple la condición de SSS.

En la figura anterior, podemos ver que, AB = DE, AC = DF y BC = EF. Por lo tanto, Δ ABC ≅ ΔDEF

b. SAS (Lado, Ángulo, Lado)

En el postulado de SAS, en comparación entre dos triángulos, si dos lados y el ángulo comprendido entre dos lados son iguales. Entonces cumple la condición de SAS.

En la figura anterior, podemos ver que AC = PR, BC = QR y ∠C = ∠R. Por lo tanto, ΔACB ≅ ΔPRQ.

C. ASA (Ángulo, Lado, Ángulo)

Aquí, si tenemos dos triángulos, donde dos ángulos y lados cualesquiera incluidos entre los dos ángulos de un triángulo son iguales a los ángulos y lados del triángulo correspondiente. Entonces los dos triángulos satisfarán la congruencia ASA.

En la figura anterior, podemos ver que BC = YZ, ∠B = ∠Y y ∠C = ∠Z. Por lo tanto, ΔACB ≅ ΔXZY.

d. AAS (ángulo, ángulo, lado)

Si dos ángulos cualesquiera de un triángulo y lado no incluido son iguales a los dos ángulos y lado del triángulo correspondiente. Entonces satisfará la congruencia AAS. 

De la figura dada, podemos decir que, 

             CA = DF,

            ∠B = ∠E , 

y ∠C = ∠F

Por lo tanto, ΔACB ≅ ΔDFE

mi. RHS (Ángulo recto- Hipotenusa- Lado)

Los criterios de RHS solo se satisfacen con un triángulo rectángulo. Entonces, en congruencia RHS, si solo dos lados, es decir, la hipotenusa y un lado de un triángulo rectángulo, son iguales a la hipotenusa correspondiente y al lado de otro triángulo rectángulo. Entonces podemos decir que RHS satisfecho.

Del ejemplo anterior de un triángulo rectángulo, obtenemos AC = DF y BC = EF. Por lo tanto, ΔACB ≅ ΔDFE.

¿Por qué SSA no es un postulado/criterio de congruencia?

Prueba:

Veamos primero en Δ ABC y Δ DEG

∠B = ∠E, AB= DE y AC = DG    

Entonces, a partir de esta condición anterior, no podemos justificar que Δ ABC ≅ ΔDEG. Para entender esto, construyamos una línea DF en Δ DEG como se muestra arriba, y DF es congruente con AC y DG. Tenemos un nuevo triángulo, es decir, Δ DEF.

Ahora, podemos ver que AC es congruente con DF, ∠B = ∠E y AC = DE. Pero, Δ ABC no es congruente con ΔDEF. Por lo cual podemos llegar a la conclusión de que SSA no solo es suficiente para decir que los triángulos son congruentes. Por lo tanto, es importante saber que ∠A y ∠D significan el ángulo entre los dos lados.

Solo hay un caso excepcional que hemos visto en el postulado RHS, en el que se cumplirá el postulado SSA o ASS. De ahora en adelante, en un escenario general o común, el postulado SSA o ASS no será satisfactorio.