Derivadas de Funciones Implícitas – Continuidad y Diferenciabilidad | Clase 12 Matemáticas

Las funciones implícitas son funciones en las que una variable específica no se puede expresar como una función de la otra variable. Una función que depende de más de una variable. La diferenciación implícita nos ayuda a calcular la derivada de y con respecto a x sin resolver la ecuación dada para y, esto se puede lograr usando la regla de la string que nos ayuda a expresar y como una función de x. 

 La diferenciación implícita también se puede usar para calcular la pendiente de una curva, ya que no podemos seguir el procedimiento directo de derivar la función y = f(x) y poner el valor de la coordenada x del punto en dy/dx para obtener el Pendiente. En cambio, tendremos que seguir el proceso de diferenciación implícita y resolver para dy/dx.

El método de diferenciación implícita utilizado aquí es una técnica general para encontrar las derivadas de cantidades desconocidas.

Ejemplo

x ² y ² + xy ² + e ^xy = abc = constante

La función anterior es una función implícita, no podemos expresar x en términos de y o y en términos de x.

Derivada de Funciones Implícitas

Dado que las funciones no se pueden expresar en términos de una variable específica, tenemos que seguir un método diferente para encontrar la derivada de la función implícita:

Al calcular la derivada de la función implícita, nuestro objetivo es resolver dy/dx o cualquier derivada de orden superior según la función. Para resolver dy/dx en términos de x e y, tenemos que seguir ciertos pasos:

 Pasos para calcular la derivada de una función implícita

• Dada una función implícita con la variable dependiente y y la variable independiente x (o al revés).
• Derive toda la ecuación con respecto a la variable independiente (podría ser x o y).
• Después de diferenciar, necesitamos aplicar la regla de la string de diferenciación.
• Resuelva la ecuación resultante para dy/dx (o dx/dy igualmente) o diferencie nuevamente si se necesitan las derivadas de orden superior.

 “Alguna función de y y x es igual a otra cosa”. Saber x no nos ayuda a calcular y directamente. Por ejemplo, 

x ² + y ² = r ^{2 (} Función implícita) 

Diferenciar con respecto a x:
d(x ² ) /dx + d(y ² )/ dx = d(r ² ) / dx 

Resuelve cada término:

Usando la regla de la potencia : d(x ² ) / dx = 2x

Usando la regla de la string : d(y ² )/ dx = 2y dydx

r ² es una constante, por lo que su derivada es 0: d(r ² )/ dx = 0

Lo que nos da:

2x + 2y dy/dx = 0

Recoge todos los dy/dx en un lado

y dy/dx = −x

Resolver para dy/dx:

dy/dx = −xy     

Ejemplos de problemas sobre la derivada de la función implícita

Ejemplo 1. Encuentra la expresión de la primera derivada de la función y(x) dada implícitamente por la ecuación: x ² y ³ – 4y + 3x ³ = 2.

Solución:

Paso 1: Diferenciar la ecuación o función dada con respecto a x.

              x ² y ³ – 4y + 3x ³ = 2.
  
    d(x ² y ³ – 4y + 3x ³ ) / dx = d(2) / dx 

Paso 2: La derivada del lado derecho simplemente será 0 ya que es una constante.

El lado izquierdo después de la diferenciación:

2xy ³ +3x ² y ² * dy/dx – 4 * dy/dx + 9x ² = 0.

Paso 3: Recoja los términos que involucran dy/dx en un lado y tome los términos restantes en el otro lado para obtener:

dy/dx * (3x ² y ² – 4) = -9x ² – 2xy ³

dy/dx = – ( 9x ² + 2xy ³ ) / (3x ² y ² – 4 )

Esta es la expresión de la primera derivada en cualquier punto de la curva. Esta expresión también nos ayuda a calcular la pendiente de una tangente trazada en el punto (x, y) de la curva.

Ejemplo 2. Hallar la primera derivada de y, dada implícitamente como: y – tan ^-1 y = x.

Solución:

d(y – tan ^-1 y) /dx = d(x)/ dx.

dy/dx – (1/(1 + y ² ) * dy/dx = 1

dy/dx =1/(1 / (1–1/ (1 + y ² )))

dy/dx = 1/y ² + 1

Ejemplo 3. Encuentra dy/dx si x ² y ³ − xy = 10.

Solución:

2xy ³ + x ² . 3 años ² . dy/dx – y – x . dy/dx = 0

(3x ² y ² – x ) . dy/dx = y – 2xy ³

dy/dx = (y – 2xy ³ ) / (3x ² y ² – x) 

Ejemplo 4. Encuentra dy/dx si y = senx + cosy 

Solución:

y – acogedor = senx

dy/dx + seno. dy/dx = cosx

dy/dx = cosx / (1 + seno)

Ejemplo 5. Encuentra la pendiente de la recta tangente a la curva x ² + y ² = 25 en el punto (3,−4).

Solución:

Tenga en cuenta que la pendiente de la línea tangente a una curva es la derivada, diferencie implícitamente con respecto a x, lo que produce,

2x + 2a. dy/dx = 0

dy/dx = -x/y

Por lo tanto, en (3,−4), y′ = −3/−4 = 3/4, y la recta tangente tiene una pendiente de 3/4 en el punto (3,−4).