Una aproximación lineal es un término matemático que se refiere al uso de una función lineal para aproximar una función genérica. Se usa comúnmente en el método de diferencias finitas para crear métodos de primer orden para resolver o aproximar ecuaciones. La fórmula de aproximación lineal se usa para obtener la estimación más cercana de una función para cualquier valor dado.
Fórmula de aproximación lineal
La aproximación lineal de una función se define como el uso de una línea para aproximar el valor de la función en una posición dada. El concepto de recta tangente está ligado al de la curva de una función con un punto sobre ella. El valor de la función en cualquier punto que esté muy cerca del punto proporcionado se puede aproximar usando la ecuación de la línea tangente si la ecuación de la línea tangente se encuentra en un punto dado. Esta noción se conoce como aproximación lineal, y también se conoce como aproximación de línea tangente porque se hace usando la línea tangente.
Fórmula
Supongamos que se dibuja una línea tangente a la curva y = f(x) en el punto (a, f(a)).
La ecuación de la tangente es la fórmula de aproximación lineal requerida. Se puede derivar utilizando la forma punto-pendiente ya que su pendiente es la derivada de la función f(x) en x = a, es decir, f ‘(a).
L(x) = f(a) + f'(a) (x – a)
dónde,
L(x) es la aproximación lineal de la función f(x) para x = a,
f'(a) es la primera derivada de f(x) para x = a.
Problemas de muestra
Problema 1. Encuentra la aproximación lineal de la función f(x) = x 3 si el valor de x se aproxima a 2.
Solución:
Tenemos, f(x) = x 3 .
Ahora, f'(x) = d(f(x))/dx
= 3×2
Para a = 2,
f(a) = 2 3 = 8
f'(a) = 3 (2) 2 = 3 (4) = 12
Usando la fórmula que tenemos,
L(x) = f(a) + f'(a) (x – a)
= 8 + 12 (x – 2)
= 8 + 12x – 24
= 12x – 16
Problema 2. Encuentra la aproximación lineal de la función f(x) = √x si el valor de x se aproxima a 4.
Solución:
Tenemos, f(x) = √x.
Ahora, f'(x) = d(f(x))/dx
= 1/(2√x)
Para a = 4,
f(a) = √4 = 2
f'(a) = 1/(2√4) = 1/4
Usando la fórmula que tenemos,
L(x) = f(a) + f'(a) (x – a)
= 2 + (1/4) (x – 4)
= 2 + (x – 4)/4
= (x + 4)/4
Problema 3. Encuentra la aproximación lineal de la función f(x) = sen x si el valor de x se aproxima a π/3.
Solución:
Tenemos, f(x) = sen x.
Ahora, f'(x) = d(f(x))/dx
= cos x
Para a = π/3,
f(a) = sen π/3 = √3/2
f'(a) = cos π/3 = 1/2
Usando la fórmula que tenemos,
L(x) = f(a) + f'(a) (x – a)
= √3/2 + (1/2) (x – π/3)
= (3 (√3 + x) – π)/6
Problema 4. Encuentra la aproximación lineal de la función f(x) = log x si el valor de x se aproxima a 1.
Solución:
Tenemos, f(x) = log x.
Ahora, f'(x) = d(f(x))/dx
= 1/x
Para a = 1,
f(a) = registro 1 = 0
f'(a) = 1/1 = 1
Usando la fórmula que tenemos,
L(x) = f(a) + f'(a) (x – a)
= 0 + 1 (x – 1)
= x – 1
Problema 5. Hallar la aproximación lineal de la función f(x) = tan x si el valor de x se aproxima a π/3.
Solución:
Tenemos, f(x) = tan x.
Ahora, f'(x) = d(f(x))/dx
= segundo 2 x
Para a = π/3,
f(a) = tan π/3 = √3
f'(a) = segundo 2 π/3 = 4
Usando la fórmula que tenemos,
L(x) = f(a) + f'(a) (x – a)
= √3 + (4) (x – π/3)
= (3 (√3 + 4x) – 4π)/3
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por gurjotloveparmar y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA