Fórmula de distancia: geometría de coordenadas | Clase 10 Matemáticas

La fórmula de la distancia es uno de los conceptos importantes en la geometría de coordenadas que se usa ampliamente. Mediante el uso de la fórmula de la distancia podemos encontrar la distancia más corta, es decir, trazar una línea recta entre los puntos. Hay dos formas de encontrar la distancia entre puntos:

1. Teorema de pitágoras
2. Fórmula de distancia

Teorema de pitágoras

Este teorema es similar al teorema de Pitágoras, pero su uso aquí es un poco diferente. Normalmente por el teorema de Pitágoras, encontraremos la longitud que falta en el triángulo rectángulo. Aquí también hacemos lo mismo pero antes tenemos que encontrar las coordenadas del triángulo.

Supongamos que desde un punto un niño camina 4 m hacia el oeste y gira hacia el sur y camina 3 m. Ahora para calcular la distancia más corta del punto inicial al punto final sería la hipotenusa del triángulo formado como se muestra a continuación.

En el diagrama anterior, como puede ver, los puntos inicial y final son A y C respectivamente. La distancia dada entre los puntos A, B es de 4 m y entre los puntos B, C es de 3 m. Para encontrar la distancia más corta que no es más que AC usaremos el teorema de Pitágoras.

Esto se calcula usando el teorema de Pitágoras de la siguiente manera:

=> AC ² = AB ² + BC ²

=> CA = √(16 + 9)

=> CA = √25 = 5 m

Por lo tanto, la distancia más corta es de 5 m .

Ejemplos de problemas sobre el teorema de Pitágoras

Problema 1: Utilizando el teorema de Pitágoras, encuentra la distancia entre los puntos (-5, 2) y (7, 2)?

Solución: Tratemos de visualizar las coordenadas en la gráfica

Ahora, unamos los puntos A y B con una línea recta y también dibujemos las líneas horizontales y verticales desde los puntos A y B respectivamente.

Las líneas horizontales y verticales coinciden en el punto C. Ahora tenemos que encontrar la distancia horizontal y vertical, es decir, la longitud de AC y BC.

=> CA = (x2 – x1) = (7 – (-5)) = 12

=> BC = (y2 – y1) = (2 – 7) = -5 [Como la distancia no puede ser negativa, solo debemos considerar el valor numérico]

Como ves en el diagrama anterior, ahora el problema se convierte en el teorema básico de Pitágoras.

=> AB ² = AC ² + BC ²

=> AB ² = 5 ² + 12 ²

=> AB = √(25 + 144)

=> AB = √169 = 13 unidades cuadradas

Por lo tanto, la distancia entre los puntos dados es de 13 unidades cuadradas .

Problema 2 : Utilizando el teorema de Pitágoras, encuentra la distancia entre los puntos (4, 8) y (6, 4)?

Solución: Lo primero que tienes que hacer después de ver la pregunta es dibujar un diagrama. A veces dibujar simplifica el problema.

Como tenemos que encontrar la distancia entre los puntos A y B, primero une esos puntos, luego desde el punto A dibuja una línea vertical y desde el punto B dibuja una línea horizontal y deja que el punto donde se unen ambas líneas extendidas sea C.

Ahora, para encontrar las coordenadas del punto C, debemos observar con atención que el punto C está al mismo nivel que el punto B, es decir, la coordenada Y será la misma y, de manera similar, el punto A y el punto C tendrán la misma coordenada X.

Entonces las coordenadas de AC se convertirán en (4, 4)

La longitud de la línea BC será (6 – 4) = 2 cm

La longitud de la línea AC será (8 – 4) = 4 cm

Ahora, usando el teorema de Pitágoras,

=> AB ² = AC ² + BC ²

=> AB ² = 4 ² + 2 ²

=> AB = √(16 + 4)

=> AB = √20 = 4,47 (aprox.)

Por lo tanto, la distancia entre el punto A y B es de 4,47 cm.

Problema 3: Dada la distancia entre los puntos M (x, 2) y N (2, 5) es de 5 cm. ¿Encuentra el valor de x?

Solución: El primer paso es dibujar el diagrama para una comprensión clara del problema.

Este problema es diferente de los problemas anteriores porque aquí tenemos que encontrar la coordenada x del punto M donde está dada la distancia entre los puntos MN

El punto N es fijo pero M no es fijo. Pero conocemos la coordenada y del punto M.

Entonces dibujaremos una horizontal en y = 2. Pero no sabemos la coordenada x, tendremos varias posibilidades.

Ahora dibuja una línea vertical desde el punto N y nombra el punto C donde ambas líneas se encuentran.

Longitud de NC = (5 – 2) = 3 cm

Longitud de MC = (x – 2) cm

Y ya esta dado NM = 5 cm

Aplicando el teorema de Pitágoras,

=> NM ² = NC ² + MC ²

=> 5 ² = 3 ² + (x – 2) ²

=> 25 – 9 = (x – 2) ²

=> 16 = (4) ² = (x – 2) ²

Después de cancelar cuadrados en ambos lados 

=> x – 2 = 4

=> x = 6

Por lo tanto el valor de x es 6 y el punto M es ( 6, 2 )

Fórmula de distancia

La fórmula de la distancia se usa para encontrar la distancia entre dos puntos dados. Por el teorema de Pitágoras, podemos derivar la fórmula de la distancia. Usar la fórmula de la distancia es mucho más fácil que el teorema de Pitágoras.

AB = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]
 
where points are A(x1, y1) and B(x2, y2)

Veamos cómo se obtiene esta fórmula.

En el diagrama anterior, hay 2 puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) para los cuales tenemos que encontrar la distancia entre ellos. Une los puntos A y B con una línea recta. Ahora dibuja líneas horizontales desde los puntos A y B, y ambas se encuentran en el punto C.

Ahora las coordenadas del punto C se convertirán en C (x1, y2).

Ahora parece un triángulo rectángulo ACB donde el lado AC es la perpendicular, CB es la base y AB es la hipotenusa.

Ahora necesitamos encontrar la distancia entre los puntos A y C. Ahora, al ver el diagrama, la distancia entre ellos será la diferencia entre su coordenada y.

=> CA = y2 – y1 …….(1)

Del mismo modo, la distancia entre los puntos C y B será la diferencia entre las coordenadas x.

=> CB = x2 – x1 ……..(2)

ACB es un triángulo rectángulo. Necesitamos encontrar la hipotenusa AB, por el teorema de Pitágoras

=> AB² = BC² + AC²

De (1) y (2),

=> AB² = (x2 – x1)² + (y2 – y1)²

Tomando raíces cuadradas en ambos lados,

=> AB = √{(x2 – x 1)² + (y2 – y1)²}

Entonces la fórmula de la distancia es, 

AB = √[(x2 – x1)² + (y2 – y1)²]

Ejemplos de problemas sobre la fórmula de la distancia

Problema 1: Las coordenadas del punto A son (-4, 0) y las coordenadas del punto B son (0, 3). Encuentra la distancia entre estos dos puntos.

Solución: 

Las coordenadas de A son = (-4, 0)

Las coordenadas de B son = (0, 3)

Sean las coordenadas de A y B (x1, y1) y (x2, y2) respectivamente

Por fórmula de distancia,

=> AB = √[(x2 – x1)² + (y2 – y1)²] = √[{0 – (-4)}²+ (3 – 0)²]

=> √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25

=> 5 unidades

Por lo tanto, la distancia entre los puntos A y B es de 5 unidades .

Problema 2: Encuentra la distancia entre los puntos (7, 3) y (8, 9).

Solución:

Sean las coordenadas de P = (7, 3) = (x1, y1)

Sean las coordenadas de Q = (8, 9) = (x2, y2)

Por fórmula de distancia,

=> PQ = √[(x2 – x1)² + (y2 – y1)²]

=> PQ = √[(8 – 7)² + (9 – 3)²] 

=> PQ = √(1 + 6 ² ) 

=> PQ = √37 = 6,08 cm (aprox.)

Por tanto, la distancia entre los puntos P y Q es de 6,08 cm .

Problema 3: Si la distancia entre los puntos (x, 10) y (1, 5) es de 13 cm entonces encuentra el valor de x.

Solución:

Sean las coordenadas de M = (x, 10) = (x1, y1)

Sean las coordenadas de N = (1, 5) = (x2, y2)

Por fórmula de distancia,

=> MN = √[(x2 – x1)² + (y2 – y1)²]

=> 13 = √[(1 – x)² + (5 – 10)²]

(cuadrado en ambos lados)

=> 169 = (1 – x) ²  + 25

=> (1 – x) ² = 144 

=> 1 – x = √144

=> x = 13 o x = -11  

Aquí podemos 2 valores de x, son 13 y -11