La geometría de coordenadas o geometría analítica es la rama de la geometría en la que se utilizan ecuaciones algebraicas para denotar puntos, líneas y curvas. La Geometría de Coordenadas es la unificación del álgebra y la geometría en la que se utiliza el álgebra en el estudio de las relaciones geométricas y las figuras geométricas se representan por medio de ecuaciones. El sistema de coordenadas más popular es el sistema cartesiano rectangular. Las coordenadas de un punto son las variables reales asociadas en un orden para describir su ubicación en el espacio. Aquí consideramos que el espacio es bidimensional. Echemos un vistazo a los siguientes términos.
- Origen: Por un punto O, denominado origen, tomamos dos rectas XOX’ y YOY’ perpendiculares entre sí, y las llamamos ejes x e y respectivamente.
- Abscisa & Ordenada: La posición de un punto está completamente determinada con referencia a estos ejes por medio de un par ordenado de números reales (x, y) llamados coordenadas de P donde | x | y | y | son las distancias del punto P desde el eje y y el eje x respectivamente, x se llama la coordenada x o la abscisa de P y y se llama la coordenada y o la ordenada del punto P.
Sea P un punto en un plano; trazar dos rectas perpendiculares X’OX, Y’OY en el plano, y trazar PM, PN paralelas a OX, OY respectivamente. X’OX, Y’OY se conocen como los ejes de coordenadas. MP es la coordenada x, llamada abscisa , y NP es la coordenada y llamada ordenada de P.
Coordenadas polares
Sea OX una línea dada y P cualquier punto en un plano dado. Sea 0 el ángulo que gira una recta al pasar de OX a la posición OP. Entonces, si r es la longitud de OP, la posición de P se conoce cuando se conocen r y θ. r se denomina radio vector, ángulo vectorial y (r, θ) son las coordenadas polares del punto P, al que se hace referencia brevemente como el punto (r, θ). OX se llama la línea inicial y O el polo.
La relación entre coordenadas cartesianas y polares
Sean P el punto (x, y) con referencia a los ejes rectangulares OX, OY, y el punto (r, θ) con referencia al polo O y la línea inicial OX. es decir, el eje X. Tenemos x = rcosθ; y = rsinθ Por lo tanto, tanθ = y/x y x 2 + y 2 = r 2 Х Estas relaciones nos permiten cambiar de un sistema de coordenadas a otro.
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) viene dada por
AB = √((x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 )
La distancia del punto P(x, y) al origen O(0, 0) está dada
OP = √((x – 0) 2 + (y – 0) 2 ), es decir, OP = √(x² + y²)
Ejemplos
Ejemplo 1: ¿Encuentra la distancia entre los puntos P(-4, 7) y Q(2, -5)?
Solución:
Los puntos dados son P(-4, 7) y Q(2, -5).
Entonces, (x1 = -4, y1 = 7) y (x2 = 2, y2 = -5). :
PQ = √((x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 )
= √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 7) 2 )
= √(6 2 + (-12) 2 )
= √(36 + 144)
= √180
= 6√5
Ejemplo 2: ¿Encuentra la distancia del punto P(6, -6) desde el origen?
Solución:
Sea P(6, -6) el punto dado y O(0, 0) el origen.
Entonces OP = √((6 – 0) 2 + (-6 – 0) 2 )
= √(6 2 + (-6) 2 )
= √72
= 6√2
Fórmula de sección
Las coordenadas del punto P(x, y) que divide el segmento de recta que une A(x1, y1) y B(x2, y2) internamente en la razón m:n están dadas por
x = (mx2 + nx1 ) / (m+n)
y = (mi 2 +ny 1 ) / (m+n)
Ejemplos
Ejemplo 1: ¿Encontrar las coordenadas del punto medio del segmento de línea que une los puntos A(-5, 4) y B(7,-8)?
Solución:
Sea M(x, y) el punto medio de AB. Después,
x = ((-5) + 7)/2 =1 y y = ((4 + (-8)) = -2
Por lo tanto, el punto requerido es M (1, -2).
Ejemplo 2: ¿Encontrar las coordenadas de los puntos de trisección del segmento de recta que une los puntos A(-5, 6) y B(4, -3)?
Solución:
Sean P y Q los puntos de trisección de AB.
Entonces, P divide a AB en la razón 1 : 2
Entonces, las coordenadas de P son
P((1 x 4 + 2 x (-5)/1 + 2, ((1 x (-3) + 2 x 6)/1 + 2) es decir, P(-2, 3).
Además, Q divide a AB en la razón 2:1.
Entonces, las coordenadas de Q son
Q((2 x 4 + 1 x (-5)/2 + 1, (2x(-3) +1 x 6/1 + 2)) es decir, Q(1, 0)
P(1, 0).
área del triángulo
El área de un triángulo ABC con vértices A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) está dada por
área(ABC) = |1/2 {x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3 (y1 – y2)}|
Ejemplos
Ejemplo 1: ¿Encontrar el área del triángulo cuyos vértices son A(2, 7), B(3, -1) y C(-5, 6)?
Solución:
Sean A(2, 7), B(3, -1) y C(-5, 6) los vértices del △ABC dado.
Después,
(x1 = 2, y1 = 7), (x2 = 3, y2 = -1) y (x3 = -5, y3 = 6).
Área de △ABC = 1/2|{x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)}|
= 1/2 |2(-1 – 6) + 3(6 – 7) – 5(7 +1)|
= 1/2| -14 – 3 – 40|
= 1/2|-57|
= 57/2
= 28,5 unidades cuadradas.
Ejemplo 2: Encuentra el área del cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(-4, -2), B(-3, -5), C(3, -2) y D(2, 3).
Solución:
Une A y C. Luego, el área del cuadrante. ABCD = ar(△ABC) + ar(△ACD)
Área de △ABC = 1/2|{(-4).(-5 + 2) -3(-2 + 2) + 3(-2 + 5)}|
= 21/2 unidades cuadradas.
Área de △ACD = 1/2|{ (-4).(-2 – 3) + 3(3 + 2) + 2(-2 + 2}|
= 35/2
Área de patio. ABCD = 21/2 + 35/2 unidades cuadradas = 28 unidades cuadradas.
Condición de Colinealidad de Tres Puntos
Sean los puntos dados A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3). Entonces A, B y C son colineales,
⇒ área de ABC = 0
⇒ 1/2.[x1(y2 – y1) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)] = 0
Ejemplos
Ejemplo 1: Muestre que los puntos A(-1, 1), B(5, 7) y C(8,10) son colineales.
Solución:
Sean A(-1, 1), B(5, 7) y C(8, 10) los puntos dados.
Entonces, (x1 = -1, y = 1), (x2 = 5, y2 = 7) y (x3 = 8, y3 = 10)
∴ x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)
= (-1) (7 – 10) + 5(10 -1) + 8(1 – 7)
= (3 + 45 – 48)
= 0
Por lo tanto, los puntos dados son colineales.
Ejemplo 2: Demostrar que los puntos A(a, b + c), B(b, c + a) y C(c, a + b) son colineales.
Solución:
Sean A(a, b + c), B(b, c + a) y C(c, a + b) los puntos dados.
Entonces, (x1 = a, y1 = b + c); (x2 = b, y2 = c + a); y (x3 = c, y3 = a + b).
∴ a(c + a – a – b) + b(a + b – b – c) + c(b + c – c – a)
= a(c – b) + b(a – c)+ c(b – a)
= 0
Por lo tanto, los puntos dados son colineales.
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Artículo escrito por portalpirate y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA