¿Por qué el valor de la proporción áurea es 1,618 y cómo se relaciona con la fórmula de Binet?

Proporción áurea: Se dice que dos números, digamos A y B , están en la proporción áurea si su proporción es igual a la proporción de la suma de dos números al número mayor, es decir,

Supongamos que A > B, entonces
si A/B = (A + B)/A = ∅ = 1,618 (proporción áurea),
entonces se dice que estos dos números están en proporción áurea. 

Se denota por ∅ y su valor es igual a 1.6180339… , que es un Número Irracional .

Fórmula de Binet : esta fórmula se utiliza para encontrar el término N en la ^sucesión de Fibonacci , que viene dada por:

donde, F _N es el término N en la sucesión de ^Fibonacci .

Para la ecuación: (x ² – x – 1 = 0) A continuación se muestra la relación que se puede deducir:

=> x ² – x – 1 = 0
=> x ² = x + 1
=> x ³ = x*x ² = x*(x+1) = x ² + x = 2x + 1
=> x ⁴ = x *x ³ = x*(2x+1) = 2x ² + x = 2(x+1) + x = 3x + 2
=> x ⁵ = x*x ⁴ = x*(3x+2) = 3x ² + 2x = 3(x+1) + 2x = 5x + 3

El siguiente término para la próxima potencia de x se puede adivinar observando el patrón anterior. Observe que el coeficiente de x ^N es igual a la suma del coeficiente de x ^{(N – 1)} y x ^{(N – 2)} . El mismo patrón se puede observar en el término restante también. Entonces, la siguiente potencia de x se puede expresar directamente como:

=> x = x
=> x ² = x+1
=> x ³ = 2x + 1
=> x ⁴ = 3x + 2
=> x ⁵ = 5x + 3
=> x ⁶ = 8x + 5
=> x ⁷ = 13x + 8
…

La Secuencia de Fibonacci está dada por {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, }, y existe una relación entre los dos, luego de observar las dos secuencias anteriores. Se puede decir que:

x ^N = f _N x + f _{(N – 1)}
donde, f _N es el n-ésimo término en la secuencia de Fibonacci (n > 0).

Ahora, sean las raíces de la ecuación: (x ² – x – 1 = 0) ∝ y β, entonces

∝ = (1 + √5)/2
β = (1 – √5)/2

Se puede decir que:

=> ∝ ² – ∝ – 1 = 0 y β ² – β – 1 = 0
=> ∝ ⁿ = f _n ∝ + f _n-1 y β ⁿ = f _n β + f _n-1
=> ∝ ⁿ – β ^norte = F _norte (∝ – β)
=> F _norte = (∝ ^norte – β ^norte ) / (∝ – segundo)

Después de sustituir los valores de ∝ y β en la ecuación anterior:

La ecuación anterior se conoce como Fórmula de Binet . Y el valor (1+√5)/2 se conoce como la Proporción Áurea , que es igual a 1.618 . Por lo tanto, el número N de ^Fibonacci está dado por:

F _N ≈ ∅ ^N
donde, donde, ∅ es la proporción áurea y F _n es el enésimo término de Fibonacci.

Aplicaciones:

• Proporción áurea: se usa en arquitectura, pintura, fotografía y también está presente en muchas formas en la naturaleza misma, como en la concha de Nautilos, el girasol, etc.
• Fórmula de Binet: se usa para encontrar el término N en la secuencia de ^Fibonacci , lo que la hace realmente útil en Matemáticas y también en muchos campos de la informática.
• Proporción áurea y fórmula de Binet: también se utilizan para calcular las complejidades temporales de algoritmos como el algoritmo de Euclides , etc.