Probabilidad de cortar una cuerda en tres pedazos tales que los lados formen un triángulo

Dada una cuerda. Tenemos que encontrar la probabilidad de cortar una cuerda en 3 pedazos de manera que formen un triángulo.

Respuesta: 0.25

Explicación:
Sea 1 unidad la longitud de la cuerda. Elegimos dos puntos X e Y en la cuerda.

Nota: La formación del triángulo se basa en la desigualdad del triángulo , es decir, la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo debe ser mayor que la longitud del tercer lado.

Hay dos posibilidades de elegir los puntos X e Y en la cuerda:
Caso 1: X < Y

Longitud de las piezas después de elegir los puntos X e Y:
unidades X, unidades (YX), unidades (1-Y)
El siguiente diagrama de líneas muestra la cuerda divisoria.

Las 3 combinaciones posibles para satisfacer la Desigualdad del Triángulo

1. X + (YX) > (1-Y)
=> 2Y > 1
=> Y > (1/2)

2. X + (1-Y) > (YX)
=> 2X + 1 > 2Y
=> Y < X + (1/2)

3. (YX) + (1-Y) > X
=> 2X < 1
=> X < 1/2

Formando un gráfico usando las 3 condiciones anteriores y X<Y

El área en la región 1 del gráfico es el área requerida que es: 1/2*1/2*1/2 = 1/8

Caso 2: X > Y

Longitud de las piezas después de elegir los puntos X e Y:
unidades Y, unidades (XY), unidades (1-X)
El siguiente diagrama de líneas muestra la cuerda divisoria.

Las 3 combinaciones posibles para satisfacer la Desigualdad del Triángulo

1. Y + (XY) > (1-X)
=> 2X > 1
=> X > (1/2)

2. Y + (1-X) > (XY)
=> 2Y + 1 > 2X
=> X < Y + (1/2)

3. (XY) + (1-X) > Y
=> 2Y < 1
=> Y < 1/2

Formando un gráfico usando 3 condiciones y Y<X

El área en la región 5 del gráfico es el área requerida que es: 1/2*1/2*1/2 = 1/8

En ambos casos obtenemos la misma área requerida, por lo que el área requerida será: 1/8.
Entonces, la probabilidad de romper una cuerda en tres pedazos de manera que los lados formen un triángulo
está dada por:
Área requerida/Área total = (1/8)/(1/2*1*1) = 1/4 = 0.25.