Este artículo se centra en discutir la prueba de que no existe un número racional cuyo cuadrado sea 2. Antes de comenzar la prueba, familiaricémonos con los términos básicos:
Números Racionales :
Un número que se puede expresar en forma de p/q, donde p y q son números enteros y q ≠ 0, se conoce como número racional. Los ejemplos son 0, 1, -1, 5/2, etc.
Declaración del problema:
No hay ningún número racional cuyo cuadrado sea 2.
Solución:
Comencemos con la prueba del enunciado del problema anterior. La prueba en este artículo se realizará utilizando una técnica matemática llamada Prueba por contradicción .
Prueba por contradicción
: es una técnica matemática, en la que primero se supone que la proposición que debe probarse es falsa y luego se deduce un resultado utilizando la proposición falsa, que resulta ser contradictoria con la suposición o con cualquier otra. resultado matemático comúnmente conocido. Por lo tanto, probar la validez de la proposición. Por eso esta técnica se conoce como Prueba por Contradicción.
Demostración-
En esta demostración se está utilizando la técnica de Demostración por Contradicción, donde primero se supone que existe un número racional, cuyo cuadrado es igual a 2, para luego deducir un resultado utilizando esta suposición, que resultará ser contradictorio con nuestra suposición. Asi que. Comencemos con la prueba-
1. Supongamos que existe un número racional, X = p/q cuyo cuadrado es igual a 2 tal que p y q están en su forma más simple, es decir, no tienen ningún factor común .
X2 = 2 (Assumption) (p/q)2 = 2 (Since X is a rational number)
2. Esto implica,
p2/q2 = 2 p2 = 2q2 ---(1)
3. De la ecuación anterior, se puede decir que p 2 es un número entero par , ya que se puede expresar en forma de 2k, donde k = q 2 . Ahora bien, se sabe que el cuadrado de un entero impar siempre es impar , lo que significa que p no puede ser un entero impar, por lo que p también es un entero par. Por lo tanto, p puede expresarse en la forma 2k, donde k es un número entero, es decir
p = 2k, for some integer k ---(2)
3. Ahora, después de sustituir el valor de p de la ecuación (2) en la ecuación (1), se obtiene la siguiente ecuación:
(2k)2 = 2q2 4k2 = 2q2 ---(3)
3. Dividiendo ambos lados por 2, en la ecuación (3), se obtiene la siguiente ecuación-
2k2 = q2 q2 = 2k2 ---(4)
4. De nuevo, se puede decir que q 2 es un entero par, y como se sabe que el cuadrado de un entero impar siempre es impar, entonces q no puede ser un entero impar. Esto implica que q también es un número entero par.
5. Ahora, a partir de la discusión anterior, se puede concluir que p y q son ambos números pares, es decir, tienen un factor común de al menos 2, pero esta declaración contradice la suposición al comienzo de esta prueba de que p y q están en su forma más simple, es decir, no tienen ningún factor común.
Esta contradicción significa que la suposición de que existe un número racional, X = p/q cuyo cuadrado es igual a 2 tal que p y q están en su forma más simple, es falsa . Por lo tanto, prueba que no existe ningún número racional, cuyo cuadrado sea igual a 2.
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Artículo escrito por ajaysharma132 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA