Una recta numérica se puede usar para representar un número o la solución de una ecuación que solo tiene una variable. Es suficiente describir la solución de ecuaciones de un solo valor porque todas son unidimensionales. Pero a medida que aumenta el número de variables en una ecuación, no es suficiente. Por ejemplo, cuando el número de variables en una ecuación se convierte en dos, habrá un par de números como solución. Por eso es necesario ampliar el concepto de recta numérica. Debería haber 2 rectas numéricas ahora, pero ¿cómo mostraremos nuestra solución en ellas?
Entonces, en lugar de una línea, definamos un plano para trazar las soluciones ahora.
Plano cartesiano, coordenadas y líneas
Plano cartesiano:
Un plano cartesiano está definido por dos rectas numéricas perpendiculares, X e Y. Se extiende hasta el infinito en ambas direcciones. Tiene un centro generalmente denotado por O.
La línea horizontal se llama eje X, mientras que la línea vertical se llama eje Y.
Coordenadas cartesianas:
Las coordenadas cartesianas se utilizan para marcar el plano sobre un punto. Qué tan arriba/abajo o qué tan lejos a la izquierda/derecha está.
Siempre se escriben en un cierto orden:
- Distancia horizontal
- Distancia vertical
Esto se llama un «par ordenado» (un par de números en un orden especial) y, por lo general, los números están separados por una coma y los paréntesis se colocan alrededor de todo como (5,4) .
Abscisa y ordenada:
Son solo nombres diferentes para los valores de x e y:
- Abscisa: El valor de x en un par de coordenadas.
- Ordenada: El valor y en un par de coordenadas.
Pregunta 1: ¿Cuál es la distancia del punto A (5,4) al eje X?
Responder:
El punto A (5,4) en el plano XY está situado de tal manera que está a 5 unidades del eje Y ya 4 unidades del eje X.
Por lo tanto, el Punto A (5,4) está a 4 Unidades de distancia del Eje X.
Pregunta 2: ¿Cuál es la distancia del punto B (54, 36) al eje Y?
Respuesta :
El punto B (54,36) se encuentra en el Plano XY. Está claro que el punto B está a 54 unidades del eje Y ya 36 unidades del eje X.
Por lo tanto, el Punto B (54, 36) está a 54 Unidades del eje Y.
Ecuación Lineal en dos Variables
Una ecuación lineal en dos variables se puede expresar como,
Hacha + Por = C,
donde A, B no son iguales a cero.
Estas ecuaciones tienen más de una solución.
Por ejemplo: x + 2y = 6
x = 2 y y = 2 satisfacen esta ecuación. De manera similar, (0,3) también es una solución. Hay infinitas soluciones como esta. Todos los puntos que satisfacen esta ecuación se encuentran en una línea recta. Significa que las ecuaciones en dos variables representan una línea en el plano cartesiano.
Todos los puntos que satisfacen la ecuación x + 2y = 6 forman una recta.
Una ecuación lineal en dos variables también se puede escribir en forma de pendiente-intersección para que sea más fácil de trazar e interpretar en el gráfico. El punto donde una línea se cruza con el eje y se llama intercepto. Se puede encontrar poniendo x = 0 y descubriendo la «y» a través de la ecuación de una sola variable. El ángulo que forma la línea con el eje x positivo se llama pendiente.
Formulario de intercepción de pendiente
Por lo general, una ecuación lineal en dos variables se escribe de esta forma, ya que es la forma más fácil de encontrar la pendiente de la línea que representa la ecuación mientras se dibuja el gráfico.
Formulario de intercepción de pendiente
- (0, C) = Intersección del eje Y.
- (x, y) = Un punto en la recta.
La forma pendiente-intersección es:
Y = mX + C
donde ‘m’ es la pendiente de la línea y ‘C’ es la intersección (punto de intersección de la línea con el eje y).
Nota: Si la intersección ‘C’ es cero, entonces la ecuación de las líneas se convierte en y = mx y pasa por el origen.
Pregunta: Trace la línea 3x + 2y = 6 en el gráfico.
Responder:
Esta ecuación debe reducirse a la forma de intersección de pendiente para que podamos dibujar esto en el gráfico.
3x + 2y = 6
⇒ 2y = 6 – 3x
⇒ y= 3 – (3/2)x
⇒ y = -(3/2)x + 3
Ahora esta ecuación se puede trazar en el gráfico.
Aquí, intercepta ‘c’ = 3 y pendiente ‘m’ = -(3/2)
Punto Pendiente Forma:
Se utiliza para describir la recta cuando tenemos disponible la pendiente ‘m’ y un punto de la recta.
y – y 1 = m(x – x 1 )
Formulario de intercepción:
Se utiliza para describir la línea cuando están disponibles las intersecciones de los ejes x e y.
Forma de dos puntos:
Se utiliza cuando se dispone de dos puntos que satisfacen la ecuación de las rectas.
Ecuaciones de rectas paralelas al eje x o al eje y
Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas al eje x o al eje y.
Digamos que hay una línea XY que es paralela al eje x y está a una distancia de «5» del eje x. Esto significa que todos los puntos de la línea están a 5 unidades del eje x. Por lo tanto, todos los puntos en la línea XY satisfacen una condición, es decir, todos están a 5 unidades del eje x.
Sea (x, y) cualquier punto en la línea XY, entonces debería satisfacer, y = 5.
Entonces, todas las líneas que son paralelas al eje x tendrán una forma de y = c donde ‘c’ es la distancia de la línea al eje x.
De manera similar, todas las líneas que son paralelas al eje y tendrán una forma de x = c, donde ‘c’ es la distancia de la línea al eje y.
Sistema de Ecuaciones Lineales
Un sistema de ecuaciones lineales se forma cuando dos o más ecuaciones lineales trabajan juntas. Dado que cada ecuación representa una línea en el plano cartesiano. Geométricamente, encontrar la solución del sistema significa encontrar un punto que satisfaga ambas líneas, es decir, encontrar la intersección de las líneas.
Por ejemplo:
2x + y = 5
-x + y = 2
Ahora, uno podría pensar en encontrar algunos valores de x e y tales que ambas ecuaciones se satisfagan. Tales valores pueden o no existir. Pero si existen, se llaman solución de este sistema de ecuaciones lineales .
Resolver sistema de ecuaciones lineales
Hay tres casos posibles que pueden surgir cuando se resuelve un sistema de ecuaciones lineales:
- Sin solución
- Solución única
- Solución Infinita
Solución única: este tipo de solución existe solo cuando las líneas se cruzan en algún punto. Solo hay una solución y esto solo es posible cuando las pendientes de las dos líneas son diferentes, es decir, m 1 ≠ m 2 .
Sin solución: este tipo de solución existe solo cuando las líneas son paralelas. Si son paralelas, no tendrán ningún punto de intersección entre ellas. Entonces, para este caso, m 1 = m 2 .
Solución Infinita: Cuando dos rectas coinciden en este caso dado que las rectas coinciden, son infinitos los puntos comunes que satisfacen ambas rectas. Entonces existen infinitas soluciones.
(De izquierda a derecha) Solución única , Sin solución e Infinidad de soluciones.
Pregunta 1: Encuentra la intersección entre dos líneas dadas a continuación:
3x + 4y = 12
x + y = 3
Responder:
Tal sistema se resuelve usando el método de sustitución.
x = 3 – y
Poniendo este valor en la ecuación 1,
3(3 – y) + 4y = 12
9 – 3 años + 4 años = 12
y = 3
Entonces, x = 0,
Por lo tanto, la solución es (0,3).
Pregunta 2: Encuentra la solución de las dos rectas.
x + y = 5
3x + 3y = 15
Responder:
Tomando 3 comunes de las segundas Ecuaciones,
Se convertirá en: 3 (x + y) = 3 (5)
x + y = 5
Esta ecuación es exactamente igual a la primera ecuación. Por lo tanto, podemos concluir que estas dos líneas son paralelas entre sí.
Por lo tanto, el sistema de ecuaciones antes mencionado no tiene solución.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por anjalishukla1859 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA