Clase 10 Soluciones NCERT – Capítulo 1 Números reales – Ejercicio 1.1

Pregunta 1. Usa el algoritmo de división de Euclides para encontrar el HCF de:

(i) 135 y 225 (ii) 196 y 38220 (iii) 867 y 255

Solución:

i)135 y 225

Necesitamos aplicar el algoritmo de Euclid, para encontrar HCF, ahora el primer paso para tomar el divisor, siempre tomamos el divisor como más pequeño que el dividendo. 
Divisor=135 
Dividendo=225 
Cociente=225/135=1(el cociente es un valor entero) 
Div de Euclides. Algo: 225 = 135 * 1 + 90 
Desde 90! = 0 eso significa que tenemos que volver a aplicar el lema de división para el resto: 90, ahora el resto se convertirá en divisor y el divisor 
se convertirá en dividendo. 
División de Euclides. Algo: 135 = 90 * 1 + 45 
Nuevamente, necesitamos aplicar el lema de división porque el resto no es igual a 0 (45! = 0) y es similar al anterior. maneras obtendremos 
Divisor = 45 y Dividendo = 90 
Div de Euclides. Algo: 90 = 45 * 2 + 0 
Aquí Remanente = 0 eso significa que debemos detenernos aquí, 
Cuando Resto = 0 Entonces HCF = Divisor => HCF(225,135)=HCF(135,90) 
=HCF(90,45) 
=45.

ii) 196 y 38220

Divisor=196 
Dividendo=38220 
Cociente=38220/196=195 
Div. de Euclides Algo: 38220=196*195+0 
Resto=0, no necesitamos aplicar más el lema de división, 
HCF(38220,196)=196

iii) 867 y 255

Divisor=255 
Dividendo=867 
Cociente=867/225=3 
Div. de Euclides algo: 867 = 255 * 3 + 102 
Resto = 102 (! = 0) Eso significa que nuevamente debemos aplicar el método del lema de división, Divisor = 102, Dividendo = 255, Cociente = 255/102 = 2 
Div de Euclides. algo: 255 = 102 * 2 + 51 
De nuevo Resto = 51 (! = 0), Necesitamos aplicar el método del lema de división nuevamente, Divisor = 51, Dividendo = 102, Cociente = 102/51 = 2 
Euclid’S Div. algo:102=51*2+0 
Resto =0, tenemos que parar aquí, 
HCF(867,255)=HCF(255,102) 
= HCF(102,51) 
= 51

Pregunta 2. Muestre que cualquier número entero impar positivo es de la forma 6q + 1, o 6q + 3, o 6q + 5, donde q es un número entero.

Solución:

**Sabemos que cualquier número entero impar no es divisible por 2, 

Cuando dividimos 6q por 2, entonces es perfectamente divisible por 2 y da como resultado 3q sin resto, => 6q es un número par 

tomemos cualquier número entero positivo x e y=6 
como el algoritmo Div de Per Euclid x=6q+r, q>=0 & 0<=r<6 
si r=0 => x=6q, antes concluimos que 6q es divisible por 2 =>x=6q es un entero par positivo 

si r=2, 4 =>x=6q+2, x=6q+4 también Un entero par positivo porque 6q es par tan bien como 2,4 también par e incluso dividido entre par da 
par 

si r=1 
Dividiendo 6q+1 por 2: 
Dividendo=6q+1,Divisor=2 
Cociente = (6q+1)/2 =3q 
según el algoritmo div de Euclides 6q+1=3q*2+1 
Como obtuvimos el resto = 1 después de dividir por 2 significa que 6q+1 es un número impar, como q>=0 significa que 6q+1 es un número impar positivo 

si r=3 
Dividiendo 6q+3 por 2: 
Dividendo=6q+3,Divisor=2 
Cociente = (6q+3)/2 =3q+1 
según el algoritmo div de Euclides 6q+3=(3q+1)*2+ 1 
Como obtuvimos el resto = 1 después de dividir por 2, eso significa que 6q+3 es un número impar. Como q>=0, eso significa que 6q+3 es un número entero impar positivo. 

si r=5 
Dividiendo 6q+5 por 2: 
Dividendo=6q+5,Divisor=2 
Cociente = (6q+5)/2 =3q+2 
según el algoritmo div de Euclides 6q+5=(3q+2)*2+ 1 
Como obtuvimos el resto = 1 después de dividir por 2, eso significa que 6q+5 es un número impar, Como q>=0 eso significa que 6q+5 es un número entero impar positivo 
Conclusión general: cualquier número entero positivo x puede tener la forma 6q+1,6q +3 o 6q+5 si es impar, de lo contrario tiene la forma 6q, 6q+2, 6q+4 

Pregunta 3. Un contingente del ejército de 616 miembros marchará detrás de una banda del ejército de 32 miembros en un desfile. Los dos grupos deben marchar en el mismo número de columnas. ¿Cuál es el número máximo de columnas en las que pueden marchar?

Solución:

Dado, 
Número total de miembros del contingente del ejército = 616 
Número total de miembros de la banda del ejército = 32 

Dado que dos grupos deben marchar en el mismo número de columnas, el número máximo de columnas será el factor común más alto entre dos 
grupos, es decir, HCF (616,32) 

Hallar HCF(616,32) 
——————— 
Divisor=32,Dividendo=616,cociente=616/32=19 
Div. de Euclides. Algo: 616 = 32 * 19 + 8 
Resto = 8 (! = 0), nuevamente aplique el lema de división 

Divisor=8,Dividendo=32,Cociente=32/8=4 
Div. de Euclides. Algo: 32=8*4+0 
Resto = 0, tenemos que parar aquí 
HCF(616,32)=8 

Por tanto, el Número Máximo de Columnas será de 8 en las que ambos grupos pueden marchar

Pregunta 4. Usa el lema de división de Euclides para mostrar que el cuadrado de cualquier número entero positivo es de la forma 3m o 3m + 1 para algún número entero m.

Solución:

Sea x cualquier número entero positivo, y y=3, 
según el algoritmo Div de Euclides. x=3q+r;q>=0 && 0 <= r < 3 => r=(0,1,2) 

Si r=0: x=3q Elevando al cuadrado 
ambos lados: x ² =3*3*q ² 
Supongamos que m1=3q ² , aquí m1 será cualquier número entero positivo porque q>=0. 
=>x ² =3m1 
si r=1: x=3q+1 Elevando al cuadrado 
ambos lados:x ² =(3q+1) ² 
=>x ² =3(3q ² + 2q)+1 
Supongamos que m2=3q ² + 2q 
=> x ² = 3m2 + 1, aquí m2 será cualquier número entero positivo porque q>=0. 
si r=2 : x=3q+2 Elevando al cuadrado 
ambos lados:x ² =(3q+2) ² 
=>x ² =3(3q ² + 4q+1)+1 
supongamos m3=3q² +4q+1 
=> x ² = 3m3 + 1, aquí m3 será cualquier número entero positivo porque q>=0. 
Dado que m1,m2,m3 son enteros positivos, podemos concluir que x ² = 3m o 3m+1, donde m es un entero. 
Esto demostró que el cuadrado de cualquier entero positivo (x) es de la forma 3m o 3m + 1 para algún entero m

Pregunta 5. Usa el lema de división de Euclides para mostrar que el cubo de cualquier número entero positivo es de la forma 9m, 9m + 1 o 9m + 8.

Solución:

Sea x cualquier número entero positivo, y y=3 
Según el algoritmo Div de Euclid. x=3q+r; q>=0 && 0 <= r < 3 => r=(0,1,2) 

si r=0: x=3q 
Cubicando ambos lados: x ³ =9*3*q ³ 
Supongamos que m1=3q ³ , Aquí m1 será cualquier número entero positivo porque q>=0. 
=>x2=9m1 
si r=1: x=3q+1  Cubo de
ambos lados: x ³ =(3q+1) ³ 
=>x ³ =9(3q ³ +3q ² +q)+1 
Supongamos que m2=3q ³ +3q ² +q 
=> x ³ = 9m2 + 1 ,Aquí m2 será cualquier entero positivo porque q>=0. 
si r=2 : x=3q+2  Cubo de
ambos lados: x ³ =(3q+2) ³ 
=>x ³ =9(3q ³ + 6q² +4q)+8 
supongamos m3=3q ³ +6q ² +4q 
=> x ³ = 9m3 + 8, aquí m3 será cualquier número entero positivo porque q>=0. 
Dado que m1,m2,m3 son enteros positivos, podemos concluir que x ³ = 9m,9m+1 o 3m+8, donde m es un entero. 
Esto probó que el cubo de cualquier entero positivo es de la forma 9m, 9m + 1 o 9m + 8.