Pregunta 1. Demuestra que √5 es irracional.
Solución:
Sea √5 un número racional.
√5 = p/q sea un número racional, donde p y q son coprimos y q≠0.
Entonces, √5q = p
=> 5q 2 = p 2 (por, elevando al cuadrado ambos lados) …. (i)
Por lo tanto, 5 divide a p 2 , y según el teorema de los números racionales, para cualquier número primo p que divide a 2 también divide a a. Entonces, podemos escribir
pag = 5k
Poniendo el valor de p en la ecuación (i) , obtenemos
5q 2 = (5k) 2
5q2 = 25k2 _
Dividiendo por 25,
q2 / 5 = k2
Del mismo modo, podemos concluir que q será divisible por 5, y ya sabemos que p es divisible por 5
Pero p y q son números coprimos. Entonces, hay una contradicción y se debe a la suposición incorrecta que hicimos en primer lugar.
√5 no es un número racional, es irracional.
Pregunta 2. Demuestra que 3+2√5 es irracional.
Solución:
Sea 3+2√5 un número racional.
es decir, 3+2√5= p/q sea un número racional, donde p y q son coprimos y q≠0.
Restando 3 de ambos lados,
2√5=p/q-3
2√5=(p-3q)/q
Ahora dividiendo ambos lados por 2, obtenemos
√5=(p-3q)/2q
Aquí, p y q son números enteros, por lo que (p-3q)2q es un número racional. Implica que √5 debería ser un número racional pero √5 es un número irracional y, por lo tanto, hay una contradicción.
Es debido a la suposición incorrecta.
3+2√5 es un número irracional.
Pregunta 3. Demuestre que los siguientes son irracionales.
(i) 1/√2 (ii) 7√5 (iii) 6+√2
Solución:
(i) Supongamos que 1/√2 es un racional.
Por lo tanto, existen enteros coprimos p y q (q ≠ 0) tales que
1/√2=p/q ⇒ √2=q/p
Dado que p y q son números enteros, obtenemos que q/p es racional y, por lo tanto, √2 es racional.
Pero esto contradice el hecho de que √2 es irracional.
Esta contradicción ha surgido debido a nuestra suposición incorrecta de que 1/√2 es racional.
Por lo tanto, 1/√2 es irracional.
(ii) Supongamos que 7√5 es un racional.
Por lo tanto, existen enteros coprimos p y q (q ≠ 0) tales que
7√5=p/q ⇒ √5=q/7p
Dado que p y q son números enteros, obtenemos que q/7p es racional y, por lo tanto, √5 es racional.
Pero esto contradice el hecho de que √5 es irracional.
Esta contradicción ha surgido debido a nuestra suposición incorrecta de que 7√5 es racional.
Por lo tanto, 7√5 es irracional.
(iii) Supongamos que 6+√2 es un racional.
Por lo tanto, existen enteros coprimos p y q (q ≠ 0) tales que
6+√2 = p/q ⇒ √2 = q/p – 6
Dado que p y q son números enteros, obtenemos que q/p – 6 es racional y, por lo tanto, √2 es racional.
Pero esto contradice el hecho de que √2 es irracional.
Esta contradicción ha surgido debido a nuestra suposición incorrecta de que 6+√2 es racional.
Por lo tanto, 6+√2 es irracional.
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Artículo escrito por ashwinicoded y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA