Teorema 10.1 (NCERT): La tangente en cualquier punto de un círculo es perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto.
Teorema 10.2 (NCERT): Las longitudes de las tangentes trazadas desde un punto externo a un círculo son iguales.
En P.1 a P.3, elija la opción correcta y justifique.
Pregunta 1. Desde un punto Q, la longitud de la tangente a un círculo es de 24 cm y la distancia de Q al centro es de 25 cm. el radio del circulo es
(A) 7cm
(B) 12 cm
(C) 15cm
(D) 24,5 cm
Solución:
Según el teorema 10.1 , OP⊥ PQ entonces ∆OPQ es un triángulo rectángulo
OQ 2 = PQ 2 + OP 2 ( Teorema de Pitágoras )
25 2 = 24 2 + PO 2
PO 2 = 25 2 – 24 2
OP 2 = (25+24) (25-24) (usando la identidad a 2 – b 2 = (a+b)(ab) )
PO = √49
OP = 7 cm
Por lo tanto, la opción A es correcta.
Pregunta 2. En la figura 10.11, si TP y TQ son las dos tangentes a un círculo con centro O de modo que ∠ POQ = 110°, entonces ∠ PTQ es igual a
(A) 60°
(B) 70°
(C) 80°
(D) 90°
Solución:
En el cuadrilátero OPTQ,
∠P = 90°, ∠Q = 90° (Teorema 10.1)
∠O = 110°
La suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360° ( propiedad de la suma de ángulos del cuadrilátero ), por lo tanto
∠P + ∠Q + ∠T + ∠O = 360°
90° + 90° + ∠T + 110° = 360°
∠T = 180 – 110° = 70°
Por lo tanto, la opción B es correcta.
Pregunta 3. Si las tangentes PA y PB desde un punto P a un círculo con centro O están inclinadas entre sí en un ángulo de 80°, entonces ∠ POA es igual a
(A) 50°
(B) 60°
(C) 70°
(D) 80°
Solución:
En el cuadrilátero OAPB,
∠A = 90°, ∠B = 90° (Teorema 10.1)
∠P = 80°
La suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360° ( propiedad de la suma de ángulos del cuadrilátero ), por lo tanto
∠A + ∠B + ∠P + ∠O = 360°
90° + 90° + 80° + ∠O = 360°
∠O = 180° – 80° = 100° …………………..(1)
Considerando, ∆OAP y ∆OBP
OA = OB …………..(radio del círculo)
AP = BP ……………(Teorema 10.2)
∠OAP = ∠OBP …….(Teorema 10.1)
∴ ∆OAP ≅ ∆OBP [ Por congruencia SAS ]
Entonces, ∠AOP = ∠BOP [Por CPCT] …………..(2)
De (1) y (2), concluimos que,
∠AOP + ∠BOP = 100°
∠POA = 50°
Por lo tanto, la opción A es correcta.
Pregunta 4. Demuestra que las tangentes dibujadas en los extremos de un diámetro de un círculo son paralelas.
Solución:
P y Q son puntos de contacto de las rectas tangentes l y m respectivamente.
O es el centro del círculo.
OP⊥ l , OQ⊥ m y PQ es el diámetro (teorema 10.1)
∠PQm + ∠QPl = 90° + 90° = 180°
Como la suma de los ángulos adyacentes es suplementaria (180°), por lo tanto, los lados opuestos son paralelos.
Pregunta 5. Demostrar que la perpendicular en el punto de contacto con la tangente a un círculo pasa por el centro.
Solución:
P es el punto de contacto de la recta tangente l.
Sea OP⊥ l en el punto de contacto P y pasa por el punto O.
Como, La tangente en cualquier punto de un círculo es perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto. (teorema 10.1)
De acuerdo con el teorema 10.1, la línea OP debe pasar por el centro del círculo con seguridad.
Pregunta 6. La longitud de una tangente desde un punto A a una distancia de 5 cm del centro del círculo es de 4 cm. Encuentra el radio del circulo.
Solución:
Según el teorema 10.1, OB⊥ AB entonces ∆OAB es un triángulo rectángulo
OA 2 = AB 2 + OB 2 (Teorema de Pitágoras)
5 2 = 4 2 + OB 2
OB 2 = 5 2 – 4 2
OB 2 = (5+4) (5-4) (usando la identidad a 2 – b 2 = (a+b)(ab))
BO = √9
OB = 3 cm
Por lo tanto, Radio del círculo = 3 cm
Pregunta 7. Dos círculos concéntricos tienen radios de 5 cm y 3 cm. Encuentra la longitud de la cuerda del círculo más grande que toca el círculo más pequeño.
Solución:
Considerando, ∆OAD y ∆OBD
OA = OB …………..(radio del círculo grande)
OD = OD ……………(lado común)
∠ADO = ∠BDO …….(cada 90°)…….(Teorema 10.1)
∴ ∆OAD ≅ ∆OBD [ Por congruencia SAS ]
Entonces, AD = BD [Por CPCT]…………….(1)
Tomando ∆OAD, que 90° en ∠D
OA = OB = 5 cm (radio del círculo grande)
OD = 3 cm (radio del círculo más pequeño)
OA 2 = AD 2 + OD 2 (Teorema de Pitágoras)
5 2 = AD 2 + 3 2
DA 2 = 5 2 – 3 2
DA 2 = (5+3) (5-3)
DA = √16
DA = 4 cm
AB = 2 × AD (desde 1)
AB = 2 × 4
AB = 8cm
Por lo tanto, longitud de la cuerda del círculo mayor que toca al círculo menor = 8 cm
Pregunta 8. Se dibuja un cuadrilátero ABCD para circunscribir un círculo (ver Fig. 10.12). Demostrar que AB + CD = AD + BC.
Solución:
Sean P, Q, R y S puntos de contacto para las tangentes AB, BC, CD y DA respectivamente.
AP = AS (teorema 10.2)……..(1)
BP = BQ (teorema 10.2)……..(2)
CR = CQ (teorema 10.2)……..(3)
DR = DS (teorema 10.2)……..(4)
Al sumar (1), (2), (3) y (4) RHS = LHS, obtenemos
AP + BP + CR + DR = AS + BQ + CQ + DS
(AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ) (reordenando)
AB + CD = AD + BC
Por lo tanto, probado !!
Pregunta 9. En la figura 10.13, XY y X′Y′ son dos tangentes paralelas a un círculo con centro en O y otra tangente AB con punto de contacto C que interseca a XY en A y X′Y′ en B. Demuestre que ∠ AOB = 90°.
Solución:
Como podemos observar aquí,
AP y AC son tangentes en el mismo punto externo A.
y, QB y BC son tangentes en el mismo punto externo B.
Teniendo en cuenta ∆OAP y ∆OAC
OP = OC …………..(radio del círculo)
OA = OA ……………(lado común)
∠OPA = ∠OCA …….(cada 90°)…….(Teorema 10.1)
∴ ∆OAP ≅ ∆OAC [ Por congruencia SAS ]
Entonces, ∠POA = ∠COA [ Por CPCT ]
podemos concluir que, ∠COP = 2 ∠COA………………..(1)
De manera similar, ∠COQ = 2 ∠COB ………….(2)
Sumando (1) y (2), RHS = LHS obtenemos,
2 ∠COA + 2 ∠COB = ∠COQ + ∠COP
2 (∠COA + ∠COB) = 180° ( Ángulo formado por una recta = 180° )
2 (∠AOB) = 180°
∠AOB = 90°.
Por lo tanto, probado !!
Cuestión 10. Demostrar que el ángulo formado por las dos tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia es suplementario al ángulo subtendido por el segmento de recta que une los puntos de contacto por el centro.
Solución:
En el cuadrilátero OPTQ,
∠P = 90°, ∠Q = 90° (Teorema 10.1)
La suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360° ( propiedad de la suma de ángulos del cuadrilátero ), por lo tanto
∠P + ∠Q + ∠T + ∠O = 360°
90° + 90° + ∠T + ∠O = 360°
∠T + ∠O = 180°
Por lo tanto, demostrado, el ángulo entre las dos tangentes trazadas desde un punto exterior a un círculo es suplementario al ángulo subtendido por el segmento de línea que une los puntos de contacto en el Centro.
Pregunta 11. Demuestra que el paralelogramo que circunscribe un círculo es un rombo.
Solución:
ABCD es un paralelogramo y sean P, Q, R y S los puntos de contacto de la circunferencia y el paralelogramo.
AP = AS (teorema 10.2)……..(1)
BP = BQ (teorema 10.2)……..(2)
CR = CQ (teorema 10.2)……..(3)
DR = DS (teorema 10.2)……..(4)
Al sumar (1), (2), (3) y (4) RHS = LHS, obtenemos
AP + BP + CR + DR = AS + BQ + CQ + DS
(AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ) (reordenando)
AB + CD = AD + BC
Como ABCD es un paralelogramo, AB = CD y AD = BC ( los lados opuestos del paralelogramo son iguales )
Por lo tanto, 2 AB = 2 BC
AB = BC
Si los lados adyacentes del paralelogramo son iguales, entonces es un rombo.
Por lo tanto, ABCD es un rombo!!
Pregunta 12. Se dibuja un triángulo ABC para circunscribir un círculo de 4 cm de radio tal que los segmentos BD y DC en los que se divide BC por el punto de contacto D tienen longitudes de 8 cm y 6 cm respectivamente (ver Fig. 10.14). Encuentra los lados AB y AC.
Solución:
ABC es un Triángulo y sean M, D y N los puntos de contacto de la circunferencia y el Triángulo.
BD = BM = 8 cm (teorema 10.2)……..(1)
CN = CD = 6 cm (teorema 10.2)……..(2)
AN = AM = p cm (teorema 10.2)……..(3)
AB = p+8cm
BC = 6+8 = 14 cm
CA = p+6 cm
Como podemos observar aquí que,
Área de ∆ABC = Área de ∆AOC+ Área de ∆COB + Área de ∆BOA
Entonces, Área de ∆ABC = ar( ∆ABC )
√(s (s-AB) (s-AC) (s-BC)) …………(Fórmula de Heron) donde s = (suma de los lados) / 2
s = (AB+BC+AC)/2
s = (p+8+14+p+6)/2
s = (2p+28)/2
s = p+14
ar(∆ABC) = √( (p+14) (p+14-(p+8)) (p+14-(p+6)) (p+14-14) )
= √( (p+14) (6) (8) (p) )
= √48p (p+14) cm2 ………………………………………………… (1)
Área de ∆AOC+ Área de ∆COB + Área de ∆BOA = (½ × ON × AC) + (½ × OD × BC) + (½ × OM × AB)
= (½ × 4 × (p+6)) + (½ × 4 × 14) + (½ × 4 × (p+8))
= ½ × 4 (p+6+14+p+8)
= ½ × 4 × (2p+28)
= 4 × (p+14) cm2 …………………………………………………… (2)
(1) = (2)
√48p (p+14) = 4 × (p+14)
Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos
48 × p × (p+14) = (4 × (p+14)) 2
48 × p (
p+14) = 16 × (p+14)2(anulando (p+14) de ambos lados)48 × pag = 16 (pag+14)
48p = 16p+ 224
32 × p = 224
p = 7 cm
Por lo tanto, AB = p+8 = 7+8 = 15 cm
CA = p+6 = 7+6 = 13 cm
Pregunta 13. Demostrar que los lados opuestos de un cuadrilátero que circunscribe un círculo subtienden ángulos suplementarios en el centro del círculo.
Solución:
En el cuadrilátero OPBQ,
∠OPB = 90° , ∠OQB = 90° (Teorema 10.1)
Considerando, ∆OPB y ∆OQB
OP = OQ …………..(radio del círculo)
OB = OB ……………(Común)
∠OPB = ∠OQB …….(cada 90°)……..(Teorema 10.1)
∴ ∆OPB ≅ ∆OQB [ Por congruencia SAS ]
Entonces, ∠POB = ∠QOB [ Por CPCT ]
Por lo tanto, ∠1 = ∠2 ……………..(1)
Del mismo modo, ∠3 = ∠4 ……………..(2)
∠5 = ∠6 ……………..(3)
∠7 = ∠8 ……………..(4)
Al hacer una revolución completa,
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 = 360° ( Una revolución completa hace 360° )
∠1 + ∠1 + ∠4 + ∠4 + ∠5 + ∠5 + ∠8 + ∠8 = 360°
2 (∠1 + ∠4 + ∠5 + ∠8) = 360°
2 ((∠1 + ∠8) + (∠4 + ∠5) ) = 360°
∠AOB + ∠COD = 360° / 2 = 180°
Por lo tanto, probado, que los lados opuestos de un cuadrilátero que circunscribe un círculo subtienden ángulos suplementarios en el centro del círculo.
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Artículo escrito por _shinchancode y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA